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최근 수정 시각 : 2024-12-17 04:43:26

위상수학

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1. 개요2. 이론3. 역사4. 학습5. 세부 분야
5.1. 위상공간론(point-set topology)5.2. 대수적 위상수학(algebraic topology)5.3. 미분 위상수학(differential topology)5.4. 기하 위상수학(geometric topology)
6. 다른 학문과의 연관성7. 교재
7.1. 기초 교재7.2. 심화 교재
8. 기타

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1. 개요

위상수학( 位 相 數 學), 영어로 토폴로지(Topology)는 위상동형사상에 따른, 연속적인 변환에 의해 변하지 않는 성질을 연구하는 수학의 한 갈래이다. 찢거나 접착하지 않고 구부리고, 비틀고, 늘리고, 수축하는 공간 상의 객체의 움직임을 주 관심 분야로 다루기 때문에 '고무 시트 기하학(rubber sheet geometry)'이라는 별명으로도 불린다.[1]

2. 이론

공간 속의 점·선·면 및 위치 등에 관하여, 양이나 크기와는 별개의 형상이나 위치 관계를 연구하는 수학 분야. 역사적으로는 기하학에서 출발했지만, 현대 수학에서는 위상기하학, 미분위상수학 등 기하학과 직접적으로 연관이 있는 하위 분야가 아닌 이상 기하학과의 접점이 많다고 볼 수는 없고 오히려 점집합위상수학(Point-Set Topology) 같은 경우는 수학 전반에 쓰이는 도구로서 수학 기초론적인 성향을 띤다.
파일:위상수학.gif
위상수학에서 도넛과 머그컵은 같은 모양이다.

위상수학에서는 선을 끊거나, 면을 자르거나, 구멍의 개수를 변화시키는 방법을 제외한 변형을 같은 모양으로 취급한다. 이를테면 손잡이 달린 컵과 구멍 뚫린 도넛은 같은 모양(동위체, Isotope)으로 생각한다. 임의의 방법으로 찌그러뜨리거나 늘려도 되지만, 표면을 터뜨리면 안 된다. 이 경우 원래 구멍이 난 물건은 어떻게 뭉그러뜨려도 구멍을 없앨 수 없고, 원래 구멍이 없는 물건은 표면을 터뜨리지 않는 이상 어떻게 찌그러뜨려도 구멍을 낼 수 없다는 걸 쉽게 상상할 수 있다.

위상수학에서는 다음의 8개를 기본적인 위상으로 다룬다.
반면에 학문 외적으로는 다음의 4개를 위상수학의 상징으로 여긴다.

3. 역사

오늘날 위상수학이 집합 위에서 위상공간을 추상적으로 정의하고 그 성질을 연구하는 것과 달리, 역사적으로는 말 그대로 도형의 모양을 연구하는 데에서 출발했다. 대개 출발을 라이프니츠[2]의 서신이나 오일러가 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제를 해결한 것으로 생각하는데, 이는 레온하르트 오일러가 도형을 그 정확한 크기 등을 무시하고 형태만을 '개략적으로' 나타낸 것을 들어, 위상수학적 접근이 나타났다고 말한다.

이후 19C 후반부터 20C 초반에 이르러, 펠릭스 클라인, 앙리 푸앵카레로 이어지며 대수적 위상수학(algebraic topology)의 기본개념인 호모토피(homotopy), 호몰로지(homology)에 대한 개념이 정립되면서 본격적으로 도형의 연속적인 성질을 연구할 수 있는 대수학적 도구가 만들어졌다.

한편, 19C 후반부터 해석학에서도 수직선 위의 연속함수와 부분집합에 대한 다양한 성질이 연구되고 있었다. 라이프니츠와 뉴턴 시대부터 미적분이 워낙 막장으로 정립됐어서 코시, 바이어슈트라스, 볼차노, 보렐 등 많은 수학자에 의해 미적분학의 내용을 (극한부터) 제대로 설명하는 시도가 있었고, 그 중 많은 성질이 실수의 열린집합(open set)의 성질에 의존한다는 것을 밝혔다.

또한, 평행선 공준(parallel postulate)에 대한 "반례"로, 가우스와 리만을 필두로 한 구면기하학(spherical geometry) 혹은 쌍곡기하학(hyperbolic geometry)이 제시되었고, 이들 역시 등장변환(isometry)이라는 연속성에 대해 변하지 않는 성질이 몇몇 있음이 밝혀졌다.
등장변환(등거리사상)이 보존하는 몇 가지 성질은 이름에서부터 알 수 있듯 거리 개념, 각, 그리고 가우스 곡률 이외에도 최소 두 가지 정도가 더 있는데, 등거리사상과 상술한 쌍곡 및 구면기하학을 통틀어 일컫는 리만기하학과의 연관성은 학부에서는 배우지 않는다.[3]

이 따로 노는 듯한 아이디어가, 게오르크 칸토어의 집합론 관점 하에서 모두 묶는 과정이 20세기 초에 수학기초론에 대한 연구가 활발히 이루어지면서 차차 진행되었다. 그 결과,

4. 학습

점집합위상수학의 주요 개념은 수학과 고학년생을 위한 위상수학 수업에 앞서 저학년생을 위한 집합론과 해석학 등 다른 과목에서도 미리 한번쯤 다루게 된다. 그러나 저학년 때 다들 한번쯤 섭렵했지만 다른 내용과 아주 끈적하게 연계되지는 않다보니 기말시험 끝나면 다 까먹기 일쑤이다. 그러나 위상수학의 이러한 주요 개념은 고학년이 되어 수강하는 다변수해석학, 실해석학, 복소해석학, 미분기하학 등 여러 쟁쟁한 과목에서 폭우처럼 쏟아져내리며 넋나간 학생을 먼 바다까지 떠내려보낸다. 위상수학이라는 이름의 수업을 제대로 시작하기도 전부터!

학술적인 개념을 전개하는 방식은 '도넛' 비유와는 조금 다르고, 이러한 예시는 위상수학을 배우지 않은 사람들도 쉽게 이해할 수 있도록 덜 엄밀하지만 쉬이 이해할 수 있게 서술한 것이므로 읽을 때 주의를 요한다. 저 머그컵과 도넛 담론조차도 어떤 서로 달라보이는 공간들이 위상적 성질을 보존하는 위상동형사상(Homeomorphism)에 의해 서로 위상동형이라고 주장하고 증명하기 위해서는 반학기~한학기 가까이 빌드업을 거쳐야 할 정도이니 만만한 과목이 절대 아니다. 또한 위상수학이 선을 끊거나, 면을 자르거나, 구멍의 개수를 변화시키는 방법을 제외한 변형만을 다루는 것도 아니다. 거리개념을 배제함으로써[4][5] 수학적 대상들을 분류하는 쪽에 초점이 맞춰져 있다. 상술한 변형들은 사실 위상수학을 바탕으로 논리를 전개하는 미분기하학에서 위상적 불변량을 통해 3차원 다양체들을 분류할 때 좀 더 직접적으로 다루는 경우가 많으나, 위상수학 수업에서까지 먼저 다루는 교수는 많지 않다. 물론 미분기하학을 배울 때라면... 어금니 꽉 깨물고 각오하자.

위상수학에서 나오는 문제가 항상 증명하는 문제만 있는 건 아니다. 값을 구하는 문제도 일부 있다.

위 설명에서도 알 수 있듯이 애초에 중등교육이나 흔한 대학 1학년생 수준에서는 개념을 정확히 이해하기에도 상당히 무리가 있으며, 그로 인해 전공자들에겐 '또모르지'라는 별명으로도 불리는 애증의 과목이다. 대학에서도 수학과 및 수학교육과생이 아니면 인접 전공에서도 접할 기회가 드물다. 수학을 좋아하지만 주로 응용분야를 써먹는 다른 분야의 이공학도들이 위상수학은 뭔가 하고 들어가봤다가 놀라는 경우도 있다. 이러한 위상수학에 대한 생경한 시각은 외국도 딱히 다르지 않아서, 위상부도체가 주제였던 2016년 노벨물리학상 시상식에서 스웨덴 한림원 심사위원들이 기사를 어찌 써야 할지조차 막막해하는 기자들 앞에서 도넛과 빵조각을 들고 속성 강의를 벌인 바 있었다. 이런 비전공자들이 위상수학 수업을 듣게 되면 보통은 퀵손절 및 수강포기가 대부분이지만, 의외로 수학과 학부과정에서 가장 매운맛 수업인 이 위상수학을 수강하며 수학의 매력에 빠져들고 전공까지 바꿔버리는 햇병아리 수학도들도 있다. 학부에서는 F투성이 물리학도였던 허준이 박사는 위상수학을 처음 수강하던 시절을 이렇게 회상했다.
처음 들었던 과목은 기억이 안 나지만, ‘위상수학’ 수업이 가장 기억에 많이 남는다. 졸업은 해야겠고, 한번 손을 놨던 전공과목들은 자신이 없어서 새 출발 해야겠다는 생각에 수학 수업을 신청했고 시간표가 맞아 위상수학을 들었다. 도넛과 컵이 수학적으로 같다는 걸 알려주는 위상수학은 굉장히 재밌는 학문인데, 위상수학책 첫 장은 이해하기 어려운 내용으로 가득하다. 그런데 당시 마음이 복잡했던 내게 딱 맞는 공부였다. 마음을 비우고 집중했더니 오히려 정신이 평안해졌다. 힐링이었다.
- 허준이 (동아사이언스 인터뷰)

학습자에게 해석학과 선형대수학에서 고교 수학의 직관과 논리가 충돌한다면, 위상수학은 현대대수학과 함께 다루는 대상의 직관성과 추상성이 맞붙는 과목이다.[6] 하지만 학부생들의 입장에서는 저러한 대상의 추상성이 도저히 납득이 안된다는 것이 문제. 그나마 현대대수학은 정수론에서 다뤘던 아기자기한 합동식들을 떠올리며 첫 시험까지는 잘 버티는 학생들도 많지만, 위상수학은 첫 수업에서부터 고정관념에 사로잡혀있는 학생들을 사정없이 두들겨팬다. 특히 교수의 강의가 거리공간의 성질을 추상화해가는 방식이 아닌 밑바닥부터 하나하나 쌓아올리는 방식이라면 괴리감은 더욱 커진다. 결국 이해는 포기하고 달달달 외우는 학생들이 다반사. 학부 수준에선 다른 과목과 달리 시험도 숙제도 계산 노가다는 거의 없다고 봐도 된다. 크기를 다루는 문제가 없으니까![7] 대신 위상수학 시험은 영 작문 시험이라고 봐도 될 정도로 장문의 글을 (대부분의 경우) 영어로 써야 한다. ㅆㅂ 한국어로도 글 잘 안쓰는데[8] 거의 모든 답안은 충분조건 또는 필요충분조건을 맞추기 위한 양방향은 기본이고, 3각, 심지어는 4각 이상의 동치관계 화살표[9]나 집합의 양방향 포함기호로 단락이 구분되며, 교수와 조교들은 그런 장문의 글에서도 틀린 점을 하나하나 다 뽑아내기 때문에 분명 답안지를 제출할 때엔 완벽하게 쓴 것 같은데도 성적표를 받아들면 점수가 우수수 깎여있는 상당히 엄밀하고 깐깐한 과목이라 할 수 있다.

그렇지만 시험에서는 완벽하게 알고 있지 않더라도 조금이라도 적는 것이 낫다. 필요충분조건임을 증명하는 문제에서 쉬운 한 쪽 방향만 보이고, 어려운 방향을 보이지 못한 경우에도 부분점수가 약간씩 있는 경우가 많다.

5. 세부 분야

5.1. 위상공간론(point-set topology)

일반위상수학(general topology)이라고도 한다. 모든 위상수학의 시작이라 부를 수 있는 개념을 다룬다. 어떻게 보면 대수학보다도 더 추상적인 내용이 많은지라 이해하는 데 어려움을 겪을 수도 있다. 다만, 너무 일반적인 경우를 다루고 있어, 해석학 중에서는 함수해석학 정도에서만 심도있게 사용하는 분야이다. (위상공간 중에서 가지고 있는 성질 중에서 함수해석학에서 다루는 공간들에 적용이 가능하다.)

가장 기본적인 형태로써, 공간(space)을 집합(set)으로, 공간상에 있는 하나의 점(point)을 집합상에 있는 하나의 원소(element)로 해석하는 것에서부터 논리 전개를 시작한다. 결국 우리가 말하는 위상공간(topological space)또한 ‘특정한 정보’가 주어진 ‘집합’일 뿐이다. 우리가 이 공간에 대해서 해석하거나 특징을 이끌어 낼려면 이 ‘특정한 정보’는 반드시 있어야 한다.

근데 이 ‘특정한 정보’라는 것이 처음 배우는 사람에게 있어서 참 묘한데다 이해의 어려움이 생길 수 있다. 이 ‘특정한 정보’는 열린집합(open set)의 모임이라는, 해당 공간의 부분집합들을 모아둔 녀석들이다. 다만 서로 특정한 특징을 만족시키게끔 모아둔 녀석들인데, 이게 바로 해당 공간을 해석하는 원천, 근거가 된다. 이렇게 모아둔 집합을 바로 이 공간의 위상(topology)이라고 부른다. 즉, 위상의 정의는 하나의 집합에 정의된 열린집합 카탈로그에 지나지 않는다. 그리고 위상에 대한 정보를 가진 공간(집합)이 위상 공간이다.

오직 위상(topology)의 기본정리에 기반해서만 이야기를 이어나가기에는 어렵기 때문에 여기에 여러가지 제약조건이나 형태를 추가하여 우리에게 익숙한 공간의 성질이나 형태를 이끌어내기도 한다. 예를 들어 하우스도르프 공간(Hausdorff space) 성질이나 완비성(completeness)를 추가하여(이때는 측도공간(measure space)이라는 보장이 필요하지만...) 우리가 익숙한 실수체계기반의 공간에 대한 광범위한 해석이 가능하다. 또는 콤팩트성(compactness)과 연속함수(continuous function)에 관한 정의를 추가해서 넓은 범위에서의 최대·최소 정리(extreme value theorem)를 증명하는 것도 가능하다.

재미있는 것은, 열린 집합(open set)이 아닌 닫힌 집합(closed set)을 선언하더라도 위의 여러 성질을 갖춘 위상공간을 무리 없이 정의할 수 있으며, 근방(近方, neighbo(u)rhood)로도 가능하며, 더 나아가 폐포 함수(closure function), 수렴성(convergence) 등을 선언함으로써도 위의 개념이 잘 정의되는 위상공간을 정의할 수 있다는 것이다. 초심자 입장에서 접할 수 있는 가장 대표적인 예는 여유한·여가산위상공간으로, 이들은 각각 유한집합과 가산집합을 폐집합으로 정의하되 잘 정의되게끔 공집합과 전체집합까지 폐집합으로 끼워준 위상공간인데, 이를 초보 학습자들에게 위상공간을 처음 가르치는 과정에서 개집합 위주의 서술만 고집하면 사고가 복잡해지기 십상이다. 이외에도 대학원 이상 수준의 고급 과목을 공부하고 연구를 하다보면 편의를 위해 closed set 등을 선언함으로써 위상공간을 설정하고 빌드업을 시작하는 예가 생각보다 자주 관찰된다. 고급과정에서의 대표적인 예로는 대수 다양체를 공부할 때 등장하는 자리스키 위상이 있다. 하지만 그런 특이한 분야를 제외하면 보통은 open set을 선언함으로써 위상공간을 정의하는 것이 암묵의 룰이다.

직접 위상공간의 성질만을 다루는 것 외에도 거리공간(metric space)[10], uniform space 등 위상공간과 연관되어 있는 다른 공간의 성질도 다루기도 한다. 이런 성질은 주로 해석학에서 쓰일 것을 염두에 두고 다루는 것이다.

위상수학의 시작은 도형이지만, 집합론으로 정의된 이후부터는 도형과 전혀 관련없는 분야들에서 많이 쓰인다. 정의 자체가 그냥 집합이기만 하면 되는 식으로 엄청나게 일반적이기 때문에, 논리학 등 이산 집합에도 자주 쓰인다. 이런 경우에는 도형에서 다져진 직관력이 전혀 안 통하기 때문에 처음보는 사람들은 추상성에 이해의 어려움을 겪는다. 이런 부류의 증명중 가장 쉬우면서도 대표적인 것이, 소수가 무한대로 많이 존재한다는 유클리드 정리의 Furstenberg 버전 증명이다. 정수집합에 기발하게 위상을 정의하고 그것을 통해 간단히 증명을 하였다. 힐렐 퓌르스텐베르크(Hillel Fürstenberg) 교수가 위상을 배운 직후 20살에 아직 학부생일 때 발표한 증명이다.

간과하기 쉽지만 수학을 깊이 공부할수록 약방의 감초처럼 여기저기 적용될 수 있기에 소홀히 할 수 없는 분야가 바로 이 점집합위상수학이다. 아래의 '기하학적인' 위상수학과는 달리 이건 수학기초론에 가까운 분야이기 때문에 하위 수학 분야마다 용도에 맞는 적절한 위상을 설정해서 사용하는 경우가 많다. 전공자들의 커리큘럼에서는 학부 4학년, 빨라야 3학년에나 위상수학이라는 수업을 시작하는게 보통이지만 위상수학의 세부 챕터 중 하나인 이 위상공간론만큼은 2학년, 정말 빠르게는 1학년 때부터 배우는 해석학 입문과정에서 (훨씬 다루기 쉽고 익숙한 조건으로나마) 처음 소개되곤 한다. 교수가 위상수학의 기본 중의 기본인 이 위상공간론을 신나서 각 잡고 다룰수록 2학년 새싹들은 크게 좌절하는게 보통이지만, 이 부분은 일찍부터 단련시켜놓으면 본격적으로 위상수학을 배우기 전에 1~2년간 배울 많은 과목에서 큰 도움이 되기 때문에 해석학을 배울 때 교수가 진지하게 다루지 않더라도 따로 예습을 해두는 것이 좋다.

5.2. 대수적 위상수학(algebraic topology)

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파일:external/upload.wikimedia.org/HomotopySmall.gif
경로의 연속적 변형. 출처

위상공간의 대수적 불변량에 대해 공부한다.

위상공간 중에서도 특히 성질이 좋은 것, 가령 다양체(manifold)나 CW 복합체(CW complex)의 경우 보통 '도형' 하면 떠올리는 구, 다면체, 혹은 그래프[11]와 같은 것을 위주로 공부하는데 좀더 일반적으로는 compactly generated weak Hausdorff space까지만 공부한다. 그 이유는 이 조건이 수반함자를 공부할때 매우 중요하게 쓰이기 때문.

이들의 성질은 대개의 경우 위상공간의 위상동형 보다는 호모토피류에만 의존하는데, 기초적인 예시로는 호모토피군, 호몰로지군, 코호몰로지환 등이 있다.
좀더 구체적인 예로, 공간 위의 원이 연속적으로 변형되어(continuously deform; homotopy) 한 점이 될 수 없을 경우, 이 경로는 공간 내의 '구멍'에 의해 이러한 변형이 막힌다고 해석할 수 있다.

경로의 시작점과 끝점이 같은 경우, 경로의 연속적인 변형에 대한 동치류를 정의할 수 있는데, 이 동치류의 집합을 가지고 군(群, group)을 만들어 "계산"할 수 있고, 이러한 성질은 또한 공간의 호모토피류에 따른 불변량 중 하나이다.

이러한 조작을 하고 나면, 대수학에서 군, 모듈 등에 대한 성질을 가지고 공간에 대한 성질을 계산만으로 예측할 수 있고, 그에 따른 결과로 브라우베르 고정점 정리(Brouwer fixed point theorem), 보르수크-울람 정리(Borsuk-Ulam theorem)[12]등이 있다.

푸앵카레 추측 역시 3차원인 공간의 대수위상학적 성질에 대한 내용이다.[13]

5.3. 미분 위상수학(differential topology)

미분위상수학이란, 미분 다양체의 불변량을 공부하는 학문이다. 두 개의 미분다양체가 위상동형이라 하더라도 미분동형이 아닐 수 있는데, 그 구체적인 예시를 찾는 법은 쉽지 않다.

1956년 밀너는 7차원 구가 적어도 4개 이상의 미분구조를 가진다는 연구 결과를 발표하고 그 업적으로 1962년 필즈상을 수상했다. (그 후 밀너는 7차원 구가 정확히 28개의 미분구조를 가진다는 것을 증명했다.)

유클리드 공간의 경우 4차원을 제외하고는 모두 유일한 미분구조를 가지지만, 4차원의 경우 비가산무한개 만큼의 미분구조를 가진다는 결과를 도날슨이 증명하고 1986년 필즈메달을 수상했다.

5.4. 기하 위상수학(geometric topology)

현재 위상수학 연구의 주 대상. 저차원 다양체를 분류하는 문제에 대한 분야이다.

다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 비슷한 위상공간이다. 구를 예로 들어보자면, 구를 국소적으로 확대하면 평면처럼 생각할 수 있다. 지구는 구형이지만 이 위에서 지구의 몹시 작은 부분만 보고 있는 사람이 보기에 땅이 평평한 평면처럼 보이는 것에 대해 생각해 보면 이해가 쉬울 것이다. 즉 다양체는 유클리드 공간이 아닐 수도 있지만, 그 위의 아주 조그만 영역에서는 유클리드 공간처럼 보이는 위상공간이다.

이런 다양체는 일반적인 위상공간보다 훨씬 좋은 성질을 가진다. 1,2차원의 다양체는 너무 자명한 성질 밖에 가지고 있지 않고, 5차원 이상의 다양체들은 h-cobordism 정리에 의해 모두 비슷한 성질을 가지게 되어 수학적인 의미가 적지만, 3차원과 4차원 다양체에 대해서는 굉장히 특이한 성질을 많이 발견할 수 있다.

매듭이론이 3차원 다양체를 다루는 기하학적 위상수학의 분야 중 하나이다.

6. 다른 학문과의 연관성

1900년대 초 일반 상대성 이론에서 '공간의 휘어짐'이란 개념을 수학적으로 표현하는 데 (그 당시에는 수학자들한테도 최첨단의 학문이었던) 미분기하학이 상당수 쓰였으며, 지금도 물리학과, 천문학과 쪽에서는 천체물리학, 우주론은 물론 근래들어 고체물리학 전공자들에게도 모르면 안되는 개념이 되어가고 있다. 그래핀의 발견과 맞물려 나오기 시작한 위상부도체(topological insulator)의 대두로 기존에 밴드이론으로 물질을 이해하던 것에서 위상적인 개념이 추가되어버렸기 때문이다.

이런 배경이 생겨난 이후 전자공학에도 쓰이기 시작했다. AMD ZEN 시리즈의 칩간 통신에도 위상수학적 요소가 들어가 있다고 한다. 또한 회로이론 중 등가 회로를 분석하는 문제 상황에서도 이 위상수학을 이용한 해결 감각이 크게 요구된다.

최근 기계학습, 통계학 쪽의 고차원 데이터 분석을 할 때도 사용되기 시작했다. 이러한 분야를 위상 데이터분석혹은 topological data analysis라고 한다.

분자생물학에서도 DNA의 전사와 번역, 단백질의 구조( 단백질 접힘)를 연구하는 데 위상수학의 하위 과목인 매듭이론을 접목하고 있다.

경제학과 박사에 유학할 의향이 있는 학생들도 듣고 있다. 수학적 배경을 보여주는 신호로서 어필하기도 좋고, 실제로 미시경제학 등에서 fixed-point theorem( 부동점 정리) 등이 사용되는데 위상수학을 이용하여 증명하면 아주 아름답다. 또한, 일반균형 (General Equilibrium)을 분석할 때도 미분위상수학이 쓰이는 경우가 있으므로 미시경제학의 미학을 느끼고 싶다면 들어두는 것이 좋다.

7. 교재

교재는 여러 가지가 있으나 문제만 풀기 위해서라면 문제가 많은 교재를 무엇을 봐도 무방하다. 위상수학은 고도로 추상화된 학문이다 보니 교재별 문제가 별 차이가 없으며 난이도도 상 중 하 단계별로 나누기가 까다롭기 때문이다. 대부분 문제가 푼다, 못푼다로 간단하게(?) 나뉘는 만큼 교재 자체의 난이도를 보고 구매하는 것이 중요하지만, 강의를 맡은 교수자의 취향에 따라 조금씩 구성이 다른[14], 교재를 여럿 써먹기도 한다.

아래는 많이 추천되는 책들이다.

7.1. 기초 교재


7.2. 심화 교재

보통 대학원 이상 수준에서 사용되는 교재들이다 .

8. 기타

위상수학을 이용한 문제풀이의 예시
위상수학의 기괴한 풀이를 맛볼 수 있는 영상. 폐곡선 위에 있는 점을 꼭짓점으로 하는 직사각형이 존재한다는 정리를 뫼비우스의 띠 모서리를 2차원 평면에 붙이는 과정에서 교차점이 생긴다는 점을 이용해 증명하고 있다.[16]

모두가 잊어버리고 있지만 한국에서는 중학교 1학년 수학 시간에서 배우는 다면체에 잠깐 등장한다.[17] 단일폐곡선의 개념, 뫼비우스의 띠, 오일러의 공식, 한붓그리기 규칙 등을 간단히 언급하고 지나가는 정도이지만 그 내용이 얼마나 심오하고 혁신적인가는 잘 이야기되지 않는다.[18] 애초에 가르치는 수학 선생님들조차도 대수학, 고전기하학, 해석학 등 중고등학교 수학의 다른 분야에 비해 이 쪽에는 정통한 경우가 드물다.[19] 가끔 수학에 큰 애착을 가진 선생님들이 수학 잘하는 제자들에게 신나서 가르치는 정도.

지하철 노선도가 지금처럼 '간결하게' 그려질 수 있게 된 것은 이 위상수학의 발달 덕분이다.[20] 처음에는 지도에다가 본을 떠서 그린 것처럼 상당히 '복잡하게' 그려졌었는데, 이로 인하여 오히려 승객이 감소하게 되자 지금과 같은 형태의 노선도가 나오게 되었다. 이후 전세계 지하철 노선도는 지금처럼 간결한 형태로 나오게 된다. 물론 지도를 본떠서 만든 노선도도 존재한다.[21] 뉴욕 지하철의 경우는 공식 노선도가 지도형 노선도이며, 홍콩 지하철도 원래 영국 식민지 시절 영국식 위상노선도였으나 중국으로 넘어간 이후 대륙의 기상으로 노선이 늘어나면서 위상노선도를 폐지하고 지도형으로 바꿨다. 산까이(신계)지역 노선도 표기문제 때문에 바꿀 수밖에 없었다고.

한때 인터넷을 달군 빨대 구멍 개수 문제의 키워드로 주목받기도 했다.

해석학을 뛰어넘는 기괴한 반례들이 많은 분야로도 유명하다. 아예 해당 반례들을 모은 책(Counterexamples in Topology)도 있을 정도.

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위상부도체의 등장으로 위상수학 이론이 물리학에서도 쓰이기 시작하였다.
[1] Stephan C. Carlson, "Topology - introduction". Encyclopaedia Britannica "…referred to as “rubber sheet geometry,” in which two objects are considered equivalent if they can be continuously deformed into one another through such motions in space as bending, twisting, stretching, and shrinking while disallowing tearing apart or gluing together parts. The main topics of interest in topology are the properties that remain unchanged by such continuous deformations." 발췌 후 번역 인용. [2] Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Hrsg. von C. I. Gerhardt. Mit Unterstützung der Königl. Preussischen Akademie der Wissenschaften. p. 569-578 참고. [3] 도저히 못 배울 과목인 것은 아니지만, 미분기하학에서 곡면을 제대로 공부하고 위상수학도 깊이 공부해야 한다는 진입장벽을 오르는데 오랜 기간이 걸리느라 리만기하학을 제대로 공부하려는 학생들도 제대로 공부하기 전에 졸업 및 대학원 입시와 진학까지 끝내버리기 때문이다. [4] 다시 말해 위상수학에서만큼은 크기(크기는 거리에서 자연스럽게 정의되는 개념이다)라는 것을 망각해야 한다. 까마득하겠지만 초등학교 1학년 때 공 모양, 세모 모양, 네모 모양 등을 분류해본 적이 있을 것이다. 여기서는 '크기'를 묻는 문제가 없다는 점에서 위상수학적으로 접근함을 알 수 있다. [5] 위상수학 교과서에서 '크기'라는 말은 오히려 다른 뉘앙스로 쓰이곤 한다. 예를 들어 폐포의 정의는 어떤 집합을 포함하는 '가장 작은' 폐집합이라고 간단히 서술되곤 하는데, 이는 '어떤 집합을 포함하는 모든 폐집합'들의 교집합이라는 뜻이다. 또한 자명위상 Trivial Topology(비이산위상 Indiscrete Topology)은 가장 작은 위상이고 이산위상 Discrete Topology은 가장 큰 위상이라는 서술도 교과서나 교수에 따라 간혹 나오곤 하는데, 여기서의 크고 작음은 위상이 거친지 세밀한지에 대한 의미이다. 흔히 크기 하면 떠올리는 '거리'에 관한 개념이 위상수학 책에서 아예 안 나오는 것은 또 아닌데, 이것은 4가지 거리공리를 만족하는 거리함수에 의한 '거리공간 Metric Space'이라는 내용으로 일반화한 채 다뤄진다. 허나 이런 거리공간을 다루는 챕터에서도 계산의 비중은 해석학개론이나 선형대수학 등의 전공기초 과목에 비하면 매우 적은 편. [6] 학부 해석학은 주로 실/복소 해석이기에 나름 직관적인 대상을 다루고 선형대수학 또한 나름 익숙한 사칙연산이 자연스레 성립하는 체와 벡터 공간을 다룬다. 하지만 위상수학과 현대대수학의 입장에서 저런 주제들은 매우 좋은 성질을 추출했을 뿐 어디까지나 다루는 대상의 예시에 불과하다. 쉽게 말해 선형대수학와 해석학에서는 논리적인 방법으로 직관적인 대상을 다루는데 반해 위상수학과 현대대수학은 논리적인 방법으로 추상적인 대상을 다루는 정도의 차이가 있다. [7] 해석학의 주요 토픽을 일반화한다고 함수공간 같은 주제까지 위상수학스럽게 다루는 경우 엡실론과 델타를 어딘가 나사빠진 이상한 성질의 거리공간(...)에서 짜내야 하는 지옥을 맛볼 수는 있다. 박대희저 교과서 극후반부 16단원에서 아스콜리 정리와 스톤-바이어슈트라스 정리까지 행군하며 벌어지는 혈투는 그야말로 장관이다. 물론 대개의 학부 수업에선 시간이 없어서라도 여기까지 달리진 못한다. 실해석학 시간에 실수로만 공부하기에도 숨막히는 내용을 3학년 나부랭이가 위상수학의 언어로 능숙히 해낼거라 기대하는 교수도 없고... [8] 사실 수학 교과서의 영어 문장은 대부분 천편일률적인 구조로 이뤄져 있기 때문에 쌩으로 에세이를 써내야 하는 수준으로까지 어렵지는 않다. 국내 대학에서 영어 교과서를 쓰되 강의는 한국어로만 진행하더라도 몇년을 반복하다보면 시험 답안에 필요한 영어 문장과 단락 정도는 그럭저럭 써낼 수 있다. 그리고 전공수학 시험은 한국어로 답한다고 더 쉬워지는 시험도 아니라서... [9] 예를 들어 위상수학의 기초가 되는 집합론의 내용 중 정렬원리, 선택공리, 하우스도르프의 극대원리, 조른의 보조정리가 모두 동치임을 4단계에 걸친 순환 증명으로 깔끔하게 써보면 매우 아름답다. 한국교원대학교 수학교육과의 한 학생이 작성한 문서를 보면 그 참맛을 느낄 수 있다. (박대희저 교과서에도 비슷한 증명이 나온다.) 귀류법 증명을 시도하면서 증명과정에 필요한 보조정리를 확보하기 위해 또 귀류법을 꺼내들며 두뇌가 360도 돌아버리는 아스트랄한 증명도 심심찮게 나온다. 보통의 학부 집합론 커리큘럼에서는 이런 선택공리 부분을 제외하면 증명이 나뉘어봤자 양방향, 3방향 선에서 끝나는 경우가 많지만, 위상수학 커리큘럼에서는 동치 명제들의 순환적 증명이 이렇게까지 많이 늘어지는 경우가 심심찮게 나온다. 비슷한 예로는 선형대수학에서 가역행렬의 성질을 다루면서 십수개 이상의 동치조건들을 책 전체에 걸쳐 쌓아나가는 경우가 있다. 사실 위상수학이나 대수학에서도 공부를 더 하다보면 선택공리와 동치인 정리가 여러개 더 나오기는 하지만 다소 챕터간 간격이 벌어져있기 때문에 일단 초반부에서는 4각 고리로 끊어주고 선택공리와 동치인 다른 명제를 확보하려면 필요한 재료를 조립하는 진도를 나가는 것이 일반적. [10] 집합 위에 거리함수(metric function)를 준 구조. 그 자체로 위상공간을 하나 만들기 때문에 위상공간의 성질에 의존하는 부분이 많지만, 거리공간이기 때문에 가지는 독특한 성질도 있다. 완비성(completeness), 베르의 범주 정리(Baire category theorem) 등. [11] 점과 선으로 이루어진 도형 [12] 어느 순간이든 지구 위에서 반대편과 온도가 같은 지점이 있다. [13] 그런데 재미있는 건 이 문제를 증명한 그리고리 페렐만은 이 문제를 대수위상수학이 아닌 미분기하학을 이용하여 풀었다는 것이다. 서스턴의 기하화 추측을 증명함으로써 그것의 필요조건에 해당하는 푸앵카레 추측 역시 참임을 증명한 것인데, 미분기하학은 1990년대 이후로는 대수기하학이 크게 뜨는 반작용으로 기하학자들이 다소 경시하는 방법론이었기 때문에 페렐만의 논문을 보고 당황하는 학자들이 꽤 있었다. 사실 난제를 생판 다른 분야를 이용해 푸는 예는 꽤 있다. 당장 페르마의 마지막 정리의 최초의 증명법은 순수 정수론이 아닌 타원곡선과 모듈러성 정리로 이루어졌는데, 이는 원래 대수기하학에 나오는 떡밥이다. 미분위상수학이라는 분야도 있으니만큼 FLT의 증명에 비하면 페렐만의 접근은 오히려 평범(?)한 편이라 할 수도 있을 것이다. [14] T3와 T4 공리를 다루는 단원에서 정칙, 정규공간을 어떻게 정의하느냐와 같은 소소한 차이가 있고, 연결성, 컴팩트성, 가산성, 분리성 등의 챕터 순서를 달리 가져가기도 한다. 여러 성질을 거리공간만을 대상으로 쫙 설명한 후 일반적인 위상공간을 대상으로 한바퀴 더 도는 구성으로 시작하는 책들도 있다. [15] 응용에 대해 소개하느라 섭렵하는 토픽을 열거해보면, 우선 대표적으로 매듭 챕터와 관련된 탈리도마이드 같은 생화학 내용이 있고, 심방세동 피실험자 사망사건 같은 의학 내용이 대수학의 기본정리 바로 직전 단원으로 나오고, 브라우어 고정점 정리의 응용을 소개하는 의미에서 경제학으로 눈을 돌려 게임 이론과 내쉬 균형이 등판하며, 디지털 위상과 디지털 화상처리에 대해서도 언급한다. 대미를 장식하는 다양체와 우주론 챕터 같은 경우 푸앵카레 정리를 증명한 그리고리 페렐만을 언급함은 물론 우주배경복사 및 그를 다루는 COBE, WMAP 같은 노벨물리학상급 NASA 프로젝트들까지 소개한다. [16] 다만 영상에서도 언급하지만, 정사각형이 존재하냐는 질문은 아직도 미해결이다. [17] 아닌게 아니라 다면체에 위상수학의 많은 개념을 그대로 적용할 수 있다! [18] 화학(특히 유기화학)에서 분자의 루이스 전자점식을 그릴 때도 이 내용을 알면 요긴하다. 가령 사슬형 포화 탄화수소의 분자식이 왜 CnH2n+2인지를 이걸로 증명할 수 있다. [19] 임용고시에서 위상수학도 범위에 들어가지만 수학교사들도 임용고시 합격하면 포맷행이다. 게다가 그리 심도 있는 내용은 거의 다루지 않고 범위 또한 위상공간론을 크게 벗어나지 않기에 임용수준에서는 위상수학을 잘했다한들 정통했다고 하기는 어렵다. [20] 위상기하학이 등장하기 오래전 로마제국의 도로 지도인 포이팅거 테이블은 지하철 노선도와 비슷하게 방위와 축척을 무시하고 그려져있다. 여행자들이 지도를 휴대하기 편리하도록 길고 좁은 두루마리로 제작되었기 때문인데, 로마 제국의 주도 도로는 대단히 잘 정비되어 있었기 때문에 방위와 축척을 무시한 도로지도 만으로도 로마제국 전역을 여행하는 것이 가능했다. [21] 주로 역 플랫폼에서 볼 수 있다.

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