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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
Euclidean Geometry그리스 수학자인 유클리드에 의해 체계화된 기하학의 한 분야이다. 유클리드의 저서 원론의 제일 처음에 등장한다.[1] 이 원론은 수학의 논리적 근원이라 할 수 있는 ' 공리 체계'를 도입하는 것으로부터 시작했는데, 이 유클리드의 기하학은 오랜 세월 동안 아리스토텔레스의 연역적 논리 체계에 대한 모범이자, 수학의 증명법 및 형식적 이론의 모범이 되었다. 유클리드 이전에도 많은 수학자들이 유클리드가 증명해낸 성과들을 알고 있었지만, 유클리드는 이러한 명제가 포괄적이고 연역적이며 논리적인 시스템에 어떻게 들어갈 수 있는지를 처음으로 보여 주었다.
유클리드 기하학은 좌표를 사용하지 않고 공리에서 명제로 논리적으로 진행된다는 점에서 순수 기하학, 공리 기하학, 논증 기하학, 합성 기하학 등으로 불리기도 하며,[2] 좌표를 사용하는 해석기하학과 대조적이다.
요즘은 후술할 유클리드 공간에서의 공리를 뜻하는 것으로 의미로 한정되어 사용되는 경우도 있다.
유클리드 기하학이 적용되는 위상 공간을 유클리드 공간(Euclidean space)이라고 한다.[3] 이를 무한차원으로 확장한 것이 힐베르트 공간(Hilbertraum)이며, 함수해석학에서는 바나흐 공간(Przestrzeń Banacha)이라는 이름으로 더 일반화시켜 다룬다.
2. 23개의 정의
원론에는 23개의 정의가 등장하는데 다음과 같다.
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3. 5개의 공준
이어서 5개의 공준(=공리[4])가 등장하는데 다음과 같다.한 가지 재밌는 내용을 덧붙이자면, 유클리드 본인도 기하학 공리 중 앞의 4개는 명백해 보였으나, 마지막 평행선 공리는 이것이 정말 공리가 맞는지, 아니면 혹시 앞의 4개로부터 연역적으로 추론할 수 있는 것은 아닌지 확신하지 않았다고 한다.[9] 그래서 유클리드를 포함한 후세의 수학자들은 기하학의 문제를 증명할 때 가급적 평행선 공리를 쓰지 않고 증명하고자 하는 경향이 있었다. 평행선 공리가 공리인지 아닌지 밝히고자 하는 노력이 잘 되지 않자, 19세기 수학자들은 전략을 바꿔, 귀류법을 사용하여 평행선 공리가 거짓이라고 가정하면 모순이 발생함을 보여 평행선 공리가 참임을 증명하여 공리인 것을 밝히고자 했다. 그런데 원래 의도와는 달리, 유클리드 기하학의 전제조건인 2차원 평면에서 정의되는 유클리드 평행선 공리 자체의 모순은 밝혀내지 못했지만 평행선 공리를 거짓으로 하는 새로운 공리계를 만들었더니 유클리드 기하학 체계를 벗어난 새로운 체계에서는 아무런 모순이 발견되지 않았다![10] 그리하여 19세기에 이르러 니콜라이 로바체프스키와 보여이 야노시 등에 의해 제5공준을 벗어나는 기하학이론 체계가 완성[11]되면서 비유클리드 기하학이라는 이름이 붙고, 제5공준을 받아들이는 기하학을 유클리드 기하학이라고 부르게 된다. 엄밀히 말해서 유클리드 기하학을 부정하려했지만 비유클리드 기하학은 모든 학문의 발전처럼 기하학에서 기존 유클리드 기하학에 비유클리드 기하학 하나가 더 더해져서 유클리드 기하학을 기반으로 발전한 기하학을 확장하는 개념이다. 비유클리드 기하학의 간단한 예로 공 위의 세 점을 잇는 삼각형을 그리면 각각의 선분은 직선이 아니라 곡선이며 삼각형의 세 내각의 합은 180도보다 크다(구면기하학 or 리만기하학[12]). 또한 말 안장 위의 세 점을 잇는 삼각형을 그리면 세 내각의 합은 180도 보다 작게 된다.[13]
4. 같이 보기
- 벡터(유클리드 기하학) - 유클리드 공간 위에 정의된 벡터이다. 고등학교 과정이나 물리학에서 말하는 '벡터'가 이것.
- 비유클리드 기하학
- 기하학 원론
- 사영기하학
- 위상수학
- 힐베르트 공간
- 바나흐 공간
[1]
프로젝트 구텐베르크 The Elements of Euclid by John Casey 1885 The First Six Books -
https://www.gutenberg.org/ebooks/21076
[2]
유클리드 기하학, 합성 기하학, 논증 기하학 등은 의미나 범위에서 약간의 차이를 두는 경우도 있지만, 대체로 같은 의미로 혼용되어 사용되는 경우가 많다.
[3]
데카르트 공간(Cartesian space)이라고도 하는데, 좌표계를 발명한
르네 데카르트의 이름을 땄다. 유클리드 공간에 비해 잘 쓰이지 않으며, 용례도 유클리드 공간+직교좌표계라는 것을 강조하는 정도이다.
[4]
엄연히 따지자면 다르다. 하지만 대부분 같이 쓴다.
[5]
여기서 직선이란, 현대적 의미의 선분을 의미한다.
[6]
이미 알고 있는 점 B에 대한 것이라는 점을 유의해야 한다. 즉, 이 공리 자체는 점 A에서 임의의 양수값 반지름의 원을 그릴 수 있다는 진술보다 약한 것이다.
[7]
제5공준과 동치인 명제는 '직선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 단 하나 존재한다.'이며 현대에는 이 표현을 더 많이 사용한다.
[8]
'삼각형의 세 내각의 합은 두 직각이다.' 같은 표현도 동치임은 증명되어 있지만, 삼각형을 별도로 정의해야 할 필요가 있다.
[9]
참고로 공리는 개수가 적을수록 좋다.
[10]
여기서 착각하지 말아야 할 것이 제5공준을 부정했을때 모순이 없다고 해서 절대로 유클리드 기하학이 틀렸다는 말이 아니다. 제5공준을 부정한 새로운 공리계를 모순이 없게 만들 수 있다는 뜻이다. 만약 유클리드 기하학 자체에 오류가 있음을 보이려면 '직선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선이 존재한다.'에 모순이 있음을 증명해야 한다.
[11]
사실 이전에도
리만이나
가우스가 비유클리드 기하학의 논의를 시작하기도 했다. 또 보이어가 비유클리드 기하학의 개념을 제시하기도 했으나 묻혔다...
[12]
구면기하학을 리만기하학으로 부르던 시기도 있었으나, 현대에 들어서 리만기하학은 이보다 훨씬 더 일반적인
미분기하의 형식을 이르는 용어가 되었다.
[13]
구면과 쌍곡면 등 2차원 다양체에서는 두 선이 이루는 각을
교점을 만드는 두 곡선이 교점에서 뻗어나가는 벡터가 형성하는 각으로 정의하였기 때문이다.