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[[대수학|대수학 Algebra ]]
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1. 개요2. 정의3. 점들을 모은 함자 (functor of points)4. 스킴의 더 많은 성질들 (more properties on category of schemes)5. 사영 스킴 (projective spaces)6. 스킴 위 스킴 (scheme over a scheme)7. 베유 약수와 스킴8. 세르 쌍대성 (Serre duality)9. 형식 스킴과 그로텐디크 존재 정리 (formal schemes and Grothendieck's existence theorem)10. 세르의 GAGA와 복소기하와의 관계 (Serre's GAGA and relations with complex geometry)
1. 개요
스킴이란 대수기하학에 나오는 용어로 아주 간단하게 말하면 " ring들의 Zariski gluing"이라고 볼 수 있다.처음에 알렉산더 그로텐디크가 소개한 개념이다. 그 후 이 개념은 유명한 개념이 되었으며 보통 대학교의 대수기하학에서 이 개념을 가르친다.
2. 정의
[math(X)]가 위상공간이라고 하고 [math({\cal O}_X)]를 [math(X)]의 어떤 환들의 층이라고 하자. 그렇다면 [math((X,{\cal O}_X))]를 환달린 공간(ringed space)이라고 하고 [math({\cal O}_X)]의 모든 줄기(stalk)가 국소환일 때 이를 국소적 환이 달린 공간(locally ringed space)라고 하자.[math(A)]를 환이라고 하자. 그렇다면 함수해석의 스펙트럼 정리를 만족하는 다음 집합을 정의하자.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Spec}\,A=\{\text{Prime ideals of }A\} \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Spec}\,C=\{h:C\to \mathbb{C}\} \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Spec}\,C=\{\text{Maximal ideals of }C\} \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
C\cong C_0({\rm Spec}\,C) \end{aligned})] |
[math({\rm Spec}\,A)]란 것은 그저 함수해석의 스펙트럼 이론을 배끼는 것으로 생각할 수 있다. 근데 여기에서 극대 이데알이 아니라 소수 이데알을 모았는데 이는 환의 원소(nilpotent)를 위해서다. 가환 대수학에선 다음과 같은 정리가 존재한다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\bigcap_{\mathfrak{p}\subseteq A}\mathfrak{p}=\{\text{Nilpotent elements of }A\} \end{aligned})] |
이제 [math({\rm Spec}\,A)]에 위상을 줘야 하는데, 우리는 다음과 같은 직관을 생각하자. 여기에서 [math(f\in A)]라고 하자.
"[math(A)]를 작게 본 것은 그 국소화 [math(A_{(f)})]와 다름 없다."
그래서, 우리는 다음을 정의한다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
D(f)=\{\mathfrak{p}\in {\rm Spec}\,A|(f)\nsubseteq \mathfrak{p}\}\\ D(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in {\rm Spec}\,A|\mathfrak{a}\nsubseteq \mathfrak{p}\} \end{aligned})] |
[math( a_{i_1}f_{i_1}+\cdots+a_{i_k}f_{i_k}=1)]가 되고 따라서 [math(D((f_{i_1})+\cdots+(f_{i_k}))={\rm Spec}\,A)]가 되므로 [math({\rm Spec}\,A)]는 준 컴팩트(quasi-compact)가 된다.
[math({\rm Spec}\,A)]에 층을 하나 주자. 이를 구조 층(structure sheaf)이라고 한다. 주는 방법은 다음과 같다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\cal O}_A(D(f))=A_{(f)} \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
({\rm Spec}\,A,{\cal O}_A) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
({\rm Spec}\,A)_{\mathfrak{p}}=A_{\mathfrak{p}} \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\cal O}_A({\rm Spec}\,A)=A \end{aligned})] |
이제 스킴을 정의할 때가 되었다. 스킴이란 단순히 아핀 스킴으로 이루어진 열린 덮개를 가지는 국소적으로 환달린 공간일 뿐이다. 여기에서 국소적으로 환달린 공간에 대해서 열린 덮개를 가진다는 말은 [math(({\rm Spec}\,A_i,{\cal O}_{A_i}))]가 있어서 [math(\bigcup {\rm Spec}\,A_i=X)]고, 아래를 뜻한다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\cal O}_X|_U={\cal O}_{A_i} \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
(0),2\mathbb{Z},3\mathbb{Z},5\mathbb{Z},7\mathbb{Z},\cdots \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\cal{O}_{\mathbb{Z}}((0))=\cal{O}_{\mathbb{Z}}(0)=\mathbb{Q} \end{aligned})] |
다른 예제를 보자. 이젠 [math(A=\mathbb{C}[x])]라고 해보자. 그러면
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Spec}\,\mathbb{C}[x]=\{(0),(x),(x-1),(x-2),(x-i),\cdots\} \end{aligned})] |
또 다른 예제를 보자. 이젠 [math(A=\mathbb{C}[x,y])]를 생각하자. 그러면
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Spec}\,\mathbb{C}[x,y]=\{(0),(x+y),(2x^2+y^3+1),(x-a,y-b),\cdots\} \end{aligned})] |
스킴들의 사상을 생각해보자. 이는 스킴 이론에서 가장 중요한 요소인데, 그로덴티크는 스킴을 상대적 관점에서 바라봤다고 한다.
먼저 국소적으로 환달린 공간 사이의 사상을 생각해보자. 이는 다음과 같은 두 쌍으로 정의된다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
f:X\to Y,f^{\sharp}:{\cal O}_X\to f^*{\cal O}_Y \end{aligned})] |
우리는 [math(f:A\to B)]라는 사상을 알고 있다고 해보자. 그렇다면 이걸로 스킴들의 사상, [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]을 만들고자 한다. 이걸 만드는 방법은 쉬운데, 단순히 [math(\mathfrak{P})]가 [math(B)]의 소수 이데알이라면
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
f(\mathfrak{P})(\in {\rm Spec}\,A)=f^{-1}(\mathfrak{P})(\subseteq A) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Ring}^{{\rm op}}\longrightarrow \{\text{Affine schemes}\} \end{aligned})] |
3. 점들을 모은 함자 (functor of points)
이제 [math(S)]-지점에 대해서 알아보자. [math(X)]-지점이란 단순히 스킴의 사상 [math(S\to X)]일 뿐이다. 그리고 아래와 같이 정의한다.|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
X(S)={\rm Hom}(S,X) \end{aligned})] |
즉 이 준동형 사상의 체 사이의 사상 [math(k(x) \to k)]을 만드는데, 체 사이의 준동형 사상은 반드시 단사여야 한다.(zero map일 수 있으나 1을 1로 보내는 경우만 생각한다.) 즉 체 k에 대해 k-지점은 유수 체가 k의 부분체인 점을 찾는 것과 동일함을 알게 된다.
공간에서 정의된 함수들의 층을 구조 층으로 인식하면, [math({\cal O}_{S,s})]를 [math(s)] 주위에서 정의되는 모든 유리 함수로, 이것의 극대 이데알은 [math(s)]에서 소거되는 유리 함수들이라고 볼 수 있다. 미분기하학의 경우를 생각해보면, 모든 함수는 테일러 전개를 가지는데, 이 중 1차 이상의 모든 항이 극대 이데알에 포함되고, 따라서 남는 상수항은 이 점에서의 함수값이 된다.
따라서 층의 단면인 함수를 유수 체에서 계산하면 그 점에서의 "함수값"(evaluation)으로 보는 게 자연스럽다. 이것이 k-지점이라는 의미는 유수체가 k의 부분체라는 의미이므로, 이 함수값이 항상 k에 들어있어야 한다는 것.
3.1. 유리수
좀 더 명확한 예제를 들어보자. 우리는 [math(A={\rm Spec}\,\mathbb{Q}[x])]라고 해보자. [math(\mathbb{Q})]는 [math(\mathbb{C})]완 달리 대수적으로 닫힌것이 아니고, 따라서 여러가지 현상이 나온다. 예를 들면 [math({\rm Spec}\,\mathbb{Q}[x])]의 원소들을 나열해보면|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Spec}\,\mathbb{Q}[x]=\{(0),(x-a),(x^2+ax+b),(x^3+ax^2+bx+c),\cdots\} \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Spec}\,\mathbb{Q}\to {\rm Spec}\mathbb{Q}[x] \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
({\rm Spec}\,\mathbb{Q}[x])(\mathbb{Q})=({\rm Spec}\,\mathbb{Q}[x])({\rm Spec}\,\mathbb{Q})=\{a\in \mathbb{Q}\} \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Spec}\,\mathbb{Q}(\sqrt{2})\to {\rm Spec}\,\mathbb{Q}[x] \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
({\rm Spec}\,\mathbb{Q}[x])(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))=\{\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})\} \end{aligned})] |
"[math({\rm Spec}\,\mathbb{Q}[x])]는 [math(\mathbb{Q})] 위의 정보 뿐만 아니라 [math(\mathbb{Q})]의 유한 체 확장(finite field extension)위의 정보도 가지고 있고 이런 정보들은 [math(S)]-지점이란 개념으로 알아낼 수 있다.
3.2. 유리수와 위상공간
이제 우리는 특별히 [math({\rm Spec}\,k)]-지점을 [math(k)]-유리수 지점이라고 부르자.[math(S)]-지점으로 할 수 있는 게 더 있다. 바로 아핀 스킴(affine scheme)들을 요네다 매장(Yoneda embedding)으로 보내는 것이다. 아핀 스킴을 상대적인 관점으로 봐야겠다면 반드시 우리는 아래와 같은 요네다 매장을 써야 한다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
h_A={\rm Hom}(A,-):{\rm Ring}\longrightarrow {\rm Set} \end{aligned})] |
이것은 얼핏 보면 층을 전혀 쓰지 않은 정의같지만, [math({\rm Spec}\,A)]의 층은 [math(h_A)]에서 출발하는 사상들에 부호화(encode)되어 있는 것이나 마찬가지다. 다만 다른 점은 열린 [math(A)]의 국소화들이 아니라 [math(A)]-대수 "전체"를 본다는 것이며 이는 "작은" 자리스키 위상에서 벗어나 "큰" 자리스키 위상를 정의하는 원동력이 된다.
이를 가만히 생각하고 보면, 사실 [math(S)]-지점이라는 것은 그냥 [math(S)]-대수라고 바꿔 불러도 좋다는 결론이 나온다. [math(S)]가 아핀 스킴이라면 일반적인 대수하고 다를 게 없다.
보통 수학계에선 [math({\rm Ring})]를 쓰지 않고 아핀 스킴들을 모은 [math({\rm Aff}^{{\rm op}})]를 쓰고 [math({\rm Hom}(A,-))]도 [math({\rm Hom}(-,{\rm Spec}\,A))]를 쓴다.
이런 기법을 지점들의 함자라고 하며, 스킴을 범주의 관점에서 보고 싶을 때 이 방법을 쓴다. 이 방법으로 우리는 지점들의 함자가 올 곱(fibre product)를 가짐을 쉽게 확인할 수 있다. 환은 텐서 곱(tensor product)를 가지니까[3] [4]
이제 [math(x\in X)]란 점이 있을 때 이것은 적당한 체 [math(k)]가 있어서 [math({\rm Spec}\,k\to X)]의 상으로 표현할 수 있고, 대수기하에서 점을 [math({\rm Spec}\,k\to X)]와 같이 표현하는 것은 정말로 유용하다. 이것은 [math({\cal O}_{X,x})]를 생각하는데, 이것의 유수 체를 [math(k)]라고 하면 상이 [math(x)]인 유일한 사상, [math({\rm Spec}\,k\to X)]이 존재한다. 그러면 우리는 [math(f:X\to Y)]란 스킴들의 사상이 있을 때 [math(y\in Y)]에서의 올을 생각할 수 있는데, [math(y)]가 다음과 같이 표현한다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
f^{-1}(y)=X_y=X\times_Y {\rm Spec}\,k \end{aligned})] |
4. 스킴의 더 많은 성질들 (more properties on category of schemes)
그렇다면 이제 몇몇 스킴들의 사상의 모습을 보자. [math(i:U\to X)]가 열린 몰입이란 것은 이것이 전사이고, 상이 [math(X)]에서 열려있고, 덤으로 [math({\cal O}_X|_{i(U)}=i_*{\cal O}_{U})]일 때를 말한다. 반대로 [math(j:Z\to X)]가 닫힌 몰입이란 것은 이것으로 유도되는 [math(i:X\setminus Z\to X)]가 열린 몰입일 때를 말한다.[math(f:X\to S)]가 유한 종류 사상이란 것은 적당한 [math(S)]의 열린 아핀 유한 덮개, [math(\{{\rm Spec}\,A_i\})]가 있어서 [math(f^{-1}({\rm Spec}\,A_i))]가 열린 아핀 덮개, [math(\{{\rm Spec}\,B_{ij}\})]로 뒤덮히고 [math(B_{ij})]들이 [math(A_{i})] 위의 유한하게 생성된 대수인 것이다. 그리고 [math(f:X\to S)]가 유한 사상이란 것은 역시 [math(S)]에 열린 아핀 유한 덮개가 있어서 각각의 역상이 이번엔 정확히 아핀 덮개이면서 [math(B_i)]가 유한 [math(A_i)]-모듈인 것이다. 각각은 "모든 덮개에 대해서"라고 조건을 바꾸어도 된다. 그리고 유한 표현의 사상이란 것은 간단히 [math(B_{ij})]들이 유한하게 표현된 [math(A_i)]-대수라고 조건을 바꾸면 된다.
환이 있으면 그 위에 모듈이 있을 것이다. 이는 스킴의 세계에도 그대로 적용되는데 [math(X)]가 스킴이고 [math({\cal F})]가 [math(X)] 위의 가환군의 스킴일 때 이것이 [math({\cal O}_X)]-모듈이란 것은 모든 [math(X)]의 열린 집합 [math(U)]에 대해서 [math({\cal F}(U))]가 [math({\cal O}_X)]-모듈이란 것이다. 그리고 [math({\cal O}_X)]-모듈 [math({\cal F})]가 준-결맞음이란 것은 적당한 집합 [math(I,J)]가 있어서
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\cal O}^I_X\longrightarrow {\cal O}^J_X\longrightarrow {\cal F}\to 0 \end{aligned})] |
[math(X={\rm Spec}\,A)]가 아핀 스킴이고 [math(M)]가 [math(A)]-모듈일 때 [math(X)] 위의 준-결맞음 층 [math(\tilde{M})]이 있어서 [math(\tilde{M}(X)=M)]이고 이는 반대도 성립한다. 그러니까 아핀 스킴에선 준 결맞음 층이란 그저 모듈에 불과하다.
[math(j:Z\to X)]란 닫힌 몰입이 있다고 해보자. 그러면 [math(j^*{\cal O}_Z)]는 국소적으로 보면 [math({\cal O}_X)]의 준 결맞음 층임을 쉽게 알 수 있다. 특히 [math(X={\rm Spec}\,A)]가 아핀 스킴이면 [math({\cal O}_X\to j^*{\cal O}_Z)]에 전체 단면 함자를 씌워서 [math(A\to \Gamma(X,j^*{\cal O}_Z))]라는 전사함수가 나오고, 이것의 핵을 생각하면 바로
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Gamma(X,j^*{\cal O}_Z)\cong A/I \end{aligned})] |
하지만 아핀 스킴의 모든 열린 부분스킴이 아핀인 건 아니다. 예를 들면 [math({\rm Spec}\,\mathbb{C}[x,y]\setminus \{(x,y)\})].
이데알 층을 정의하자. [math(i:Z\to X)]란 닫힌 몰입이 있으면 이것으로 [math(X)] 안의 이데알 층을 정의할 수 있는데, 간단히 [math(X)]의 아핀 열린 부분스킴들의 덮개 [math(\{U_i={\rm Spec}\,A_i\})]를 생각하면 위에서 한 걸로 [math(Z\times_X U_i={\rm Spec}\,A_i/I_i)]라고 할 수 있고, 따라서 [math(I_i)]들을 [math(A_i)]-모듈로 생각하고 층의 공리를 생각하면 이걸로 준-결맞음 [math({\cal O}_X)]-모듈을 하나 생각할 수 있는데, 이를 국소 층이라고 한다.
국소 층이라는 건 그냥 이데알의 스킴 버전이라고 생각하면 쉽다. 그리고 이는 닫힌 부분 스킴에 정확하게 대응된다.
이제 스킴 자체의 성질을 보자. 스킴이 준-컴팩트란 것은 모든 덮개가 유한 부분덮개를 가진다는 것이고 [math(f:X\to S)]가 준-컴팩트라는 것은 [math(S)]의 준-컴팩트 열린 부분스킴의 역상도 준-컴팩트란 것이다.
[math(f:X\to S)]가 분리된 사상이란 것은 이것으로 만들어지는 다음 직교화 사상 [math(X\to X\times_S X)]이 닫힌 몰입인 걸 뜻한다. 이는 [math(X\to X)]라는 항등원 사상과 [math(X\to S)]란 사상으로 만들어진 올 곱 도표(fibre product diagram)에서 나온다. 특히 [math(S={\rm Spec}\,\mathbb{Z})]인 경우 [math(X)]를 그냥 분리된 스킴이라고 한다. 예를 들면 모든 아핀 스킴은 분리된 스킴이다. 그리고 닫힌 몰입이란 조건을 준-컴팩트란 조건으로 약화시키면 준-분리된 사상이 나온다. [math({\rm Spec}\,{\rm Z})]는 스킴의 범주의 최종 대상이므로 분리된 스킴은 그냥 곱을 생각하면 된다.
분리된 스킴을 좀 더 직관적으로 이해해본다면 [math(X)]의 두 아핀 스킴 [math(U_i={\rm Spec}\,A_i)]이 있다고 할 때 이것의 교집합을 생각하자. 그러면 이것은 일반적으로 아핀 스킴이 아니다. 예를 들면 [math({\rm Spec}\,{\rm C}[x,y])] 두 개를 생각하고 한 점을 뺀 나머지를 항등원화시킨 스킴을 생각하면 이건 평면인데 갑자기 중간에 점 두 개가 갑툭튀하는 방식으로 이해할 수 있는데, 윗점을 포함하는 열린 부분스킴이랑 아래점을 포함하는 열린 부분스킴을 생각하면 이 둘의 교집합은 위에서 이미 했듯이 안타깝게도 아핀 스킴이 아니다. 하지만 분리된이란 조건을 추가하면 이런 일이 사라진다. [math(X)]가 분리된이라면 [math(U_1\times U_2\subseteq X\times X)]고, 이것을 직교화 사상으로 보낸 역상은 [math(\Delta:X\to X\times X)]를 생각하면
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
U_1\cap U_2=\Delta^{-1}(U_1\times U_2)\to U_1\times U_2 \end{aligned})] |
보통 스킴을 다룰 때 준-컴팩트와 준-분리란 조건을 많이 준다. 이를 줄여서 qsqc라고 한다.
원래 그로덴티크가 처음 스킴을 소개할 땐 분리된 스킴을 두고 스킴이라고 했다고 한다. 하지만 그 후로 분리가 아닌 스킴을 다뤄야 할 필요가 생기면서 이 조건은 빠지게 된다.
스킴 [math(X)]가 국소적으로 뇌터스킴이란 것은 모든 열린 아핀 부분스킴 [math({\rm Spec}\,A\subseteq X)]에 대해서 [math(A)]가 뇌터스킴임을 뜻한다. 그리고 [math(X)]가 뇌터스킴이란 건 준-컴팩트에다가 국소적으로 뇌터스킴인 것이다. 그리고 뇌터스킴이란 조건은 국소적인 특성이므로 [math(X={\rm Spec}\,A)]가 뇌터스킴일 필요충분조건은 [math(A)]가 뇌터스킴인 것이다.
[math(X)]가 스킴일 때 [math(X)]가 정규(normal)란 것을 적당한 아핀 열린 덮개가 있어서 거기에서 환들이 적분적으로 닫힌 정의역인 걸로 정의하자.
마지막으로, 스킴의 차원을 정의해보자. [math(X)]가 뇌터스킴이고 연결됐을때 [math(X)]의 차원은 다음과 같이 가능한 닫힌 부분스킴들의 나열의 길이다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
Z_1\subseteq Z_2\subseteq \cdots \subseteq Z_{n+1}=X \end{aligned})] |
* [math(A)]가 자기 자신의 폐포 안에서 열려있다.
* [math(A)]의 원소를 하나 [math(x)]라고 한다면 적당한 [math(X)]의 열린 집합 [math(U)]가 있어서 [math(x\in U)]고 [math(A\cap U)]는 [math(A)]에서 닫혀있다.
* [math(A)]의 원소를 하나 [math(x)]라고 한다면 적당한 [math(X)]의 열린 집합 [math(U)]가 있어서 [math(x\in U)]고 [math(A\cap U)]는 [math(A)]에서 닫혀있다.
그렇다면, 대수기하학에서 자주 다루는 대상은 사영공간의 국소적으로 닫힌 부분집합을 기본이 되는 위상공간으로 가지는 스킴이다. 이를 준-사영 스킴이라고 하는데, 이것에 대해선 나중에 정의하겠다.
어쨌든, 이제 [math(X)]가 준-컴팩트이자 준-분리된 스킴이라고 하자. 그렇다면 이것은 다음과 같은 성질을 지니고 있다.
* [math(X)]는 유한개의 아핀 덮개를 가진다.
* [math(X)]의 두 아핀 열린 부분스킴의 스킴-이론적 교집합, 그러니까 [math(U_1\times_X U_2)]는 유한개의 아핀 열린 덮개로 덮힌다.
* [math(X)]의 두 아핀 열린 부분스킴의 스킴-이론적 교집합, 그러니까 [math(U_1\times_X U_2)]는 유한개의 아핀 열린 덮개로 덮힌다.
이렇게 생각하면, [math(X)]의 기본이 되는 위상공간안의 준-컴팩트 부분집합들은 [math(X)]의 기저(basis)를 이루고, 동시에 둘의 교집합도 여전히 준-컴팩트임을 알 수 있다. 일반적으로 소베르 공간이고 준-컴팩트이고 준-컴팩트 열린 부분집합들의 유한 교집합도 준-컴팩트일 때 그 공간을 스펙트럼 공간이라고 부른다.
이제 [math(X)]가 준-컴팩트와 준-분리된 스킴일 때 [math(X)]로 한 번 위상을 새롭게 만들어보자. 이번엔 그냥 [math(X)] 안의 국소적으로 닫힌 부분집합들을 열린집합으로 하자. 그러면 국소적으로 닫힌 부분집합의 여집합도 당연히 국소적으로 닫힌 부분집합이고 따라서 이렇게 준 위상은 전체적으로 연결되어 있지 않다. 그리고 비슷한 논리로 이는 하우스도르프 위상이 된다. 앞으로 이런 위상을 [math(X)]의 구성가능한 위상이라고 하자.
구성가능한 위상은 직관적으로 [math(X)]의 위상을 완전히 박살낸 거라고 생각할 수 있다. 그만큼 이것은 [math(X)]의 열린 혹은 닫힌 부분스킴에 대한 정보보단 국소적으로 닫혀 있는지 아닌지에 대한 정보만 주니까 조금 더 안 좋은 위상이라고 생각할 수 있는데, 그만큼 이 위상은 좀 더 다루기 쉽다는 장점이 있다.
이제 다음 정리를 보자.
쉐발리의 정리[math(X,Y)]가 준-컴팩트와 준-분리돼있고 [math(Y\to X)]가 유한 표현 사상이라면 [math(X,Y)]에 구성가능한 위상을 줬을 때 이 스킴들의 사상은 열린 사상이 된다. 그러니까 [math(Y)]의 국소적으로 닫힌 부분집합의 상은 [math(X)]의 국소적으로 닫힌 부분집합이 된다.
이것의 증명은 먼저 여러 번의 유한 조건덕분에 [math(X,Y)]를 아핀이라고 가정해도 되고, 이를 [math({\rm Spec}\,B\to {\rm Spec}\,A)]라고 하면 유한 표현이란 가정으로
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
A\to A[x_1]\to A[x_1,x_2]\to \cdots\to A[x_1,\cdots,x_n]\to B \end{aligned})] |
두번째 경우부터 생각해보자. 간단히 [math({\rm Spec}\,A/I\to {\rm Spec}\,A)]라고 쓰자. 그러면 이데알 층이 결맞음이란 조건으로 [math(I=(f_1,\cdots,f_n))]라면
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Spec}\,A/I=X\setminus \bigcup^{n}_{i=1}D(f_i) \end{aligned})] |
이제 [math({\rm Spec}\,A[x]\to {\rm Spec}\,A)]를 생각해야 하는데, [math(f\in A[x])]일 때 [math(V(f)={\rm Spec}\,A[x]\setminus D(f))]라고 정의하자. 그러면 우리는
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
D(f)\cap \bigcap V(f_i) \end{aligned})] |
이제 귀납법을 쓸 텐데, [math(V(f_i))]들에서 [math(f_i)]들의 차수들의 합을 변수로 하자. 그리고 그 최대 차수를 가지는 애가 아닌 애를 아무거나 [math(g)]라고 하고 (모두 차수가 같으면 그냥 아무거나 뽑고) [math(g=\sum a_i x^i)]라고 쓰고 최대 차수를 [math(d)]라고 하면
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Spec}\,A={\rm Spec}\,A/(a_d)\sqcup {\rm Spec}\,A_{a_d} \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
f'=f_n-\frac{b_{d'}}{a_d}g \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\bigcap V(f_i)=\bigcap^{n-1}_{i=1}V(f_i)\cap V(f') \end{aligned})] |
한편으론 [math(f_i)]들이 하나만 있고 그것도 중심인 계수(leading coefficient)가 단위일 땔 따로 증명할 수도 있는데, 그 유일한 [math(f_i)]를 [math(g)]라고 하면 [math(V(g))]는 그냥 [math({\rm Spec}\,A[x]/(g))]고, [math(A[x]/(g))]는 유한 [math(A)]-모듈이 된다.
그러면 [math(f)]가 살아 있을 때가 문제인데, [math(A[x]/(g))]에서 [math(f)]가 [math(0)]가 안 되는 애들을 찾는 것이 중요하니까 특성 다항식을 생각해서 [math(A[x]/(g))]에서 [math(f)]로 곱하는 선형 사상의 특성 다항식을
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
p(x)=\sum r_i x^i \end{aligned})] |
5. 사영 스킴 (projective spaces)
이제 사영 구성을 소개해보자. 스펙트럼 구성과는 다르게 사영구성은 등급환을 쓴다. 왜냐하면 우리는 이제 사영선을 구축할 건데 거기에서 중요한 건 모든 항이 차수가 같다는 것이고 그러면 아핀면을 선으로 나눌 수 있기 때문이다.[math(S=\bigoplus_{i\ge 0} S_i)]가 등급환이라고 하자. 그러면 [math(S)]의 동차 이데알 [math(\mathfrak{a})]를 [math(f_1+\cdots+f_n\in \mathfrak{a})]이고 [math(f_i\in S_i)]일 때 [math(f_i\in \mathfrak{a})]를 만족하는 것으로 정의하자. 그리고
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Proj}\,S=\left\{\text{Homogenous prime ideals of }S\text{ that satisfies }S_{+}=\bigoplus_{i\ge 1}\nsubseteq \mathfrak{p}\right\} \end{aligned})] |
한가지 예제를 들어보자. [math(S_i=\{\sum a_kx^ky^{i-k}|a_k\in \mathbb{C}\})]라고 해보자. 그렇다면 [math(S=\mathbb{C}[x,y])]를 등급환으로 만들 수 있고,
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Proj}\,\mathbb{C}[x,y]=\{(0),(ax+by)\} \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
f:z\mapsto \frac{az+b}{cz+d} \end{aligned})] |
이것으로 우리는 [math(A)]가 아무 환일 때
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathbb{A}^n_{A}={\rm Spec}\,A[x_1,\cdots,x_n]\\ \mathbb{P}^n_{A}={\rm Proj}\,A[x_0,\cdots,x_n] \end{aligned})] |
사영 공간의 좋은 점은 "완비적"이라는 것이다. 이제 우리는 [math(f:X\to S)]가 고유 사상이라는 것을
1. 분리된 사상이고
2. 유한 표현 사상이고
3. 전체적으로 닫혀있다. 그러니까 [math(T\to S)]가 있으면 [math(T\times_S X\to T)]는 닫혀있다.
로 정의한다. 이것만 봐서는 고유 사상이 무엇인지 감을 잡기 힘들 것이다. 적절한 사상은 간단하게 컴팩트 집합의 상대적인 종류라고 할 수 있고, 이는 위상 공간에서의 고유 사상의 기준을 따라한 것이다. 이것은 한 가지 성질을 만족한다.
성질 부치기준. 먼저 [math(f:X\to S)]를 생각하자. 여기서 두 스킴은 모두 뇌터스킴이라고 가정하자.
[math(R)]이 부치환이고 그 분수체가 [math(K)]라고 하자. 그러면 [math({\rm Spec}\,R\to S)]가 있고 [math({\rm Spec}\,K\to X)]가 있고 이 둘이 f와 [math({\rm Spec}\,K\to {\rm Spec}\,R)]와 함께 교환 도표를 이룬다고 하자. 이럴 때 언제나 유일한 [math({\rm Spec}\,R\to X)]가 존재해서 나머지 넷과 교환 도표를 이룬다면 f는 고유이다.
위 조건은 필요 충분 조건이다. 그리고 유일하게 존재한다는 문구를 많아야 하나 존재한다로 약화하면, 이는 분리됨의 기준을 준다.
먼저 [math({\rm Spec}\,R)]가 어떤 모습으로 있는지 관찰하자. 먼저 [math(R)]는 소 이데알이 단 둘밖에 없다. 하나는 [math((0))]고 또 하나는 [math(R)]가 국소환이어서 갖는 극대 이데알이다. 이 극대 이데알은 닫힌 지점이 되고 열린 집합은 공집합, [math(\{(0)\})], [math({\rm Spec}\,R)] 자기 자신밖에 없다. 그리고 일반점에서의 국소환은 분수체이고 닫힌 지점에서의 국소환은 자기 자신이다. 따라서 [math({\rm Spec}\,K\to {\rm Spec}\,R)]의 상은 일반 지점이고 이것은 열린 몰입이 된다.
이제 우리는 [math(\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}\to {\rm Spec}\,\mathbb{C})]를 한 번 보자. 그러면 우리는 [math(R=\{\frac{f}{g}|f,g\in \mathbb{C}[x]\text{ and }{\rm deg}(f)\le {\rm deg}(g))\})]라고 하자. 이것의 부치는 [math({\rm deg}(g)-{\rm deg}(f))]로, 극대 이데알 [math(m)]은 부치가 0보다 큰, 즉 분모의 차수가 더 큰 원소들과 0을 포함하는 이데알이고, 이것의 분수체 [math(K)]은 [math(\mathbb{C}(x))], 즉 유리함수 체가 된다.
[math(\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}})]의 일반점은 소 이데알 (0)이고, 이 점에서의 국소환이 곧 유리함수체이다. 즉 우리는 K-지점 하나를 찾았고, 우리는 상을 [math((0))]로 하는 [math({\rm Spec}\,K\to \mathbb{A}^1_{\mathbb{C}})]를 줄 수 있다.
그러면 이것은 기준을 만족하지 못 한다. 왜냐하면 [math(\frac{1}{0})]가 [math(\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}})] 안엔 없기 때문이다!!
부치 기준에서 모든 스킴들이 아핀 스킴이므로 이 상황을 환들의 사상으로 바꿔 쓸 수 있다. 그러면 우리는 [math(\mathbb{C})]-대수로서 세 개의 환 [math(\mathbb{C}[x], R, K)]을 갖게 되고, [math(\mathbb{C}[x] \to K, R \to K)]을 얻게 되는데, 부치 기준은 첫 사상이 [math(\mathbb{C}[x] \to R)]로 인수가 가능한지 묻는 문제가 된다.
그런데 사상으로 인해 일반점으로 보내어지는 스펙트럼 [math(K \to \mathbb{A}^1_{\mathbb{C}})]는 대수들의 상황에서 자연스러운 전사 [math(\mathbb{C}[x] \to \mathbb{C}(x))] 에 대응된다. 여기서 [math(R)]는 분모의 차수가 분자의 차수 이상인 집합이므로, 일차 이상의 다항식들이 사상으로 보내지지 않아 [math(\mathbb{C}[x] \to R)]를 찾을 수 없게 된다.
이와 달리 [math(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}})]는 기준을 만족한다. 이 사례를 적용해 보자면, [math(R)]의 두 지점 중 닫힌 지점은 사영선의 무한 지점에 대응할 수 있다.
사영선은 두 개의 아핀선으로 덮여지는데, 그 중 무한을 포함하는 쪽을 보자. 상황은 비슷하게 [math(\mathbb{C}[t], R, K=\mathbb{C}(x))] 세 개의 환 사이의 도표로 변환되는데, 다만 다른 점은 [math(\mathbb{C}[t] \to \mathbb{C}(x))]는 흔한 포함관계(inclusion)가 아니라 [math(t \to 1/x)]로 대응시킨다는 점. 따라서 [math(\mathbb{C}[t] \to R)]를 찾는데 아무 문제가 없고, 앞에서 적용된 반례는 이번엔 반례가 되지 못한다. 실제로 [math( \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\to {\rm Spec}\,\mathbb{C})]는 고유 사상이다.
직접 극대 이데알 [math(m)]의 상을 찾아보면, 이데알로써의 준상을 찾으면 된다. 이는 [math(\mathbb{C}[t])]에서 상수항이 없는 항, 즉 이데알 (t)가 되고, t가 [math(1/x)]에 대응되므로 무한지점이라 부를 법 하다.
6. 스킴 위 스킴 (scheme over a scheme)
이제 "Scheme over a scheme [math(S)]"란 개념에 대해서 소개하자. 이것은 그냥 [math(X\to S)]에 불과하다. 이 개념을 도입하는 이유는 이를 local하게 보면 algebra랑 다름 없기 때문이다.예를 들면 [math(S={\rm Spec}\,k)] for some field [math(k)]라고 해보자. 그러면 [math( X)]의 모든 open affine subscheme [math({\rm Spec}\,A)]에 대해서 [math(A)]는 [math(k)]-algebra가 된다. 그러니까 "[math(k)] 위에 있다"는 것이다.
functor of points의 관점에서 본다면 [math(X)]가 [math(k)] 위에 있다면 [math(k)]의 모든 subfield [math(k')]에 대해서 [math(X(k')=0)]가 된다. 그러니까 더 이상의 정보를 얻을 수 없다. 그래서 정수론을 할 땐 보통 finite field같은 곳에서 먼저 scheme을 정의한 다음에 그 scheme을 algebraic closure로 올린다.
7. 베유 약수와 스킴
7.1. 베유 약수
우리는 이제 베유 약수(Weil divisor)란 개념을 소개하자. 체 [math(k)] 위의 [math(X)]가 정규 유한종 스킴(normal finite type scheme)일 때 [math(X)]는 힐베르트 기저정리로 뇌터스킴이고 [math(X)] 위의 공차원이 1인 부분스킴들 [math(Z_i)]이 있으면|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum n_i [Z_i] \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
D-D'={\rm deg}(f)=\sum_{Z\subseteq X} \nu_{Z}(f)[Z] \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{i} n_i[Z_i]\mapsto \sum_i n_i \end{aligned})] |
[math(X)]가 국소 계승(locally factorial)이란 것을 적당한 열린 아핀 덮개(open affine covering)이 있어서 그 곳에서 환들이 UFD인 것을 말한다. 그러면 가역층을 생각하면 작은 열린 부분스킴에서의 단면은 인수분해 될 수 있고, 따라서 다음이 성립한다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Pic}(X)\cong {\rm Cl}(X) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\rm Pic}(X)={\rm Cl}(X)=\mathbb{Z} \end{aligned})] |
7.2. 층과 베유 약수
우리는 층들을 보면서 전체 단면이 매우 빈약한 층을 보았고 전체 단면이 많은 층을 보았는데 이제 전체 단면이 많은 층을 보자. 이런 층은 전체 단면으로부터 줄기(stalk)의 기저를 만드는데[7]이제 우리는 [math(X)]를 위의 베유 약수를 다룰 때랑 똑같은 조건으로 두고 [math({\cal L})]를 선다발(line bundle)이라고 하고 [math(\Gamma(X,{\cal L}))]를 생각할 건데, 이것의 기저를 [math(f_1,\cdots,f_m)]이라고 하면 모든 [math(X)]의 지점의 stalk를 [math(f_1,\cdots,f_m)]가 생성한다면 [math({\cal L})]을 매우 충분한 다발(very ample bundle)이라고 하자. 그러면 [math({\cal L})]가 매우 충분한 선다발(very ample line bundle)이라면
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
i:X\to \mathbb{P}^{m-1}_k,x\mapsto (f_1(x):f_2(x):\cdots:f_m(x)) \end{aligned})] |
우리는 [math(X\to \mathbb{P}^n_k)]라는 닫힌 몰입이 존재하는 스킴을 사영 스킴이라고 하자. 그러면 사영 스킴엔 반드시 매우 충분한 선다발이 존재하게 되고, 이는 많이 중요하다. [math({\cal L})]가 [math(X)]의 매우 충분한 선다발 [math({\cal F})]가 아무 결맞음 층이면 적당한 [math(n)]이 있어서 [math({\cal F}\otimes_{{\cal O}_X}{\cal L}^n)]는 모든 stalk가 전체 단면에서 나오기 때문이다. 즉 층을 아주 다루기 편하게 해주는 도구가 된다.
이제 [math({\cal L})]이 가역층일때 등급환 [math(\Gamma_*(X,{\cal L}))]를 생각해보자. 이는 [math(\Gamma_*(X,{\cal L}^{\otimes n}))]를 n번째 등급이라고 생각하고
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Gamma_*(X,{\cal L})=\oplus_{n\ge 0}\Gamma_*(X,{\cal L}^{\otimes n}) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
X\to {\rm Proj}\,\Gamma_*(X,{\cal L}) \end{aligned})] |
예를 들어서 [math(X)]가 아핀 스킴일 때 그 구조 층은 자명하게 매우 충분이고 따라서 충분이다. 그리고 사영 공간 [math(\mathbb{P}^n_k)]의 세르 뒤틀림 층[math({\cal O}(1))]도 언제나 매우 충분이고 충분이다.
[math(X)]가 준-아핀이란 것을 [math(X)]가 어떤 아핀 스킴의 열린 부분스킴일 때를 말한다. 당연히 이는 아핀이 아닐 수도 있다. 하지만 [math({\cal O}_X)]는 [math(X)]를 여전히 만드는데, [math(X\to {\rm Spec}\,A)]는 다음과 같은 사상들로 쪼갤 수 있다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
X\to {\rm Spec}\,\Gamma(X,{\cal O}_X)\to {\rm Spec}\,A \end{aligned})] |
이제 다음을 증명하자.
[math(X)]가 준아핀인 필요충분조건은 [math({\cal O}_X)]가 충분인 것이고 이는 [math({\cal O}_X)]가 매우 충분이라는 것과 동치다.
먼저 [math({\cal O}_X)]가 충분이면 당연히 매우 충분이고 위에서 했던 것과 [math({\cal O}_X)]에 대해선 다음과 같은 것으로,
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Gamma_*(X,{\cal O}_X)=\Gamma(X,{\cal O}_X)[x]\\ X\to {\rm Spec}\,(\Gamma(X,{\cal O}_X)[x]) \end{aligned})] |
준-아핀이 있으면 준-사영도 정의할 수 있다. [math(k)][8] 위의 유한 종류 스킴 [math(X)]이 사영이라는 것은 적당한 [math(n)]이 있어서 다음과 같은 닫힌 몰입
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
X\to \mathbb{P}^n_k \end{aligned})] |
[math(k)] 위의 유한 종류 스킴 [math(X)]이 준사영일 필요충분조건은 [math(X)]에 충분 선다발이 존재하는 것이다.
이제, [math(S)]가 준컴팩트일 때 [math(X\to S)]가 아핀 스킴이란 것을 모든 [math(S)]의 열린 부분스킴의 역상이 아핀인 것을 뜻한다고 하고 준아핀 사상은 역상이 준아핀인 것을 뜻한다고 하자. 비슷하게 [math(k)]-스킴들의 사상 [math(X\to S)]이 사영 사상이란 것을 모든 [math(S)]의 열린 부분스킴의 역상이 [math(k)]위의 사영 스킴인 것을 뜻하고 준사영 사상도 비슷하게 정의한다.
증명은 간단하게 [math({\cal L})]가 그 충분 선다발이면 [math({\cal L}^{\otimes n})]은 다음과 같은 몰입들
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
X\to {\rm Proj}\,\Gamma_*(X,{\cal L}^{\otimes n})\to \mathbb{P}^m_k \end{aligned})] |
[math(S)] 위의 준 결맞음 층 [math({\cal F})]에 대해서 [math({\rm Spec}\,{\cal F})]를 적당한 [math(S)]의 아핀 열린 덮개 [math(\{U_i\})]가 있어서 [math({\cal F}(U_i)=M_i)]라고 한다면 [math({\rm Spec}\,{\rm Sym}\,M_i)]들을 붙힌 스킴으로 정의하자. 여기에서 [math({\rm Sym}\,M_i)]는 [math(M_i)]의 대칭곱으로 간단히 [math(M_i)]에다가 곱셈을 추가한 것이다. 비슷하게 우리는 [math({\rm Proj}\,{\cal F})]를 정의할 수 있다. 단 [math(\rm Proj)]일때는 [math(M_i)]들이 유한 모듈이어야 정의 가능하다고 생각하자. 그러면 언제나 [math({\rm Spec}\,{\cal F},{\rm Proj}\,{\cal F}\to S)]가 존재한다. 그리고 아핀 사상과 사영 사상은 각각 이런 꼴 사상이라고 정의할 수 있고, 준-아핀 사상과 준 사영 사상은 열린 몰입과 이런 꼴 사영의 구성이라고 할 수 있다.
사영 사상은 모두 고유 사상이다. 이는 [math(k=\mathbb{Z}, S={\rm Spec}\,\mathbb{Z})]에서 증명해도 증명이 끝나며 그 다음엔 적당히 식을 변형해서 부치 기준(valuative criterion)을 쓰면 된다.[9]
초우의 보조정리 [math(S)]가 뇌터스킴이고 [math(X\to S)]가 고유 사상이라고 하자. 그러면 적당한 자연수 [math(n)]과 [math(\mathbb{P}^n_{S})]의 닫힌 사상 [math(X')]하고 전사 사상 [math(f:X'\to X)]가 있어서 이것과 [math(X'\to S, X\to S)]는 가환 도표를 이루고 적당한 [math(X)]의 밀집된 열린 부분스킴 [math(U)]가 있어서 [math(f^{-1}(U)\cong U)]가 된다.
나가타 컴팩트화 정리 [math(S)]가 준분리된 컴팩트 혹은 준컴팩트라고 하고 [math(f:X\to S)]가 분리되고 유한 표현사상이라고 하자. 그러면 적당한 사상 [math(X'\to X)]하고 열린 몰입 [math(X\to X')]이 있어서 이 셋은 가환 도표를 이룬다.[10]
아핀 스킴 위의 결맞음 층은 쉬우니까 이제 사영 스킴 위에서의 연접층을 한 번 살펴보자. 먼저 [math(k)]가 체(또는 그냥 뇌터환)라고 하고 [math(\mathbb{P}^n_k)]를 생각해보자. 그러면 이것엔 당연한 아핀 덮개 [math(n+1)]개가 있고, 이런 아핀 덮개들에서 연접층을 생각한다면 적당한 [math(d_1,\cdots,d_r)]이 있어서
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\prod_{i}{\cal O}(d_i)\to {\cal F}
\end{aligned})] |
8. 세르 쌍대성 (Serre duality)
가장 먼저, 다음 정의와 정리를 보고 시작하자.[math(A)]가 local ring이라고 하고 그 maximal ideal을 [math(\mathfrak{m})]이라고 하자. 그러면 [math(\mathfrak{m})]의 원소들의 수열 [math((a_1,\cdots,a_n))]가 regular sequence라는 것은 [math(a_1\in \mathfrak{m})]가 nonzero divisor고 [math(a_{i+1}\in \mathfrak{m})]은 [math(A/(a_1,\cdots,a_i))]에서 nonzero divisor일 땔 말한다.
[math((a_1,\cdots,a_n))]이 [math(A)]의 regular sequence라고 하자. 그러면 [math(A)]-module로서의 [math(A/(a_1,\cdots,a_n))]의 projective resolution의 최소 길이는 [math(n)]이다.
(Rees) [math(A)]가 local ring이고 그 maximal ideal을 [math(\mathfrak{m})]이라고 하자. 그러면 [math(A)]의 regular sequence의 최대 길이는 [math({\rm Ext}^i_{A}(A/\mathfrak{m},A))]이 0이 아닌 최소의 [math(i>0)]과 같다.
[math(A)]의 Krull dimension이 유한하다면, [math(A)]를 [math(A)]-module로 봤을 때의 최소 injective resolution 길이는 반드시 [math(A)]의 Krull dimension보다 크거나 같다.
이것들은 모두 재미있는 연습 문제들이니 풀어보기 바란다. Hint는 첫 번째는 [math(n)]에 대한 induction을 생각하면 거의 자명하고, 두 번째는 저 Ext functor가 vanishing하지 않는 최소의 [math(i)]는 그냥 [math(A/\mathfrak{m})]의 projective resolution의 최소 길이고, 세 번째는 이 논문 참고.
우리는 잠시 대수기하에서 내려와 가환대수를 해보자.
Definition. Krull dimension이 [math(n)]인 Noetherian local ring [math(A)]가 Gorenstein local ring이란 것은 [math({\rm Ext}^i_A(A/\mathfrak{m},A))]가 [math(i=n)]이면 [math(A/\mathfrak{m})]이고 나머지에선 [math(0)]인 ring을 말한다.
이것은 [math(A)]가 finite length를 가질 때, 그러니까 [math(k)]를 residue field로 하는 Artinian local ring일 때 [math({\rm Hom}(k,A))]가 1-dimensional [math(k)]-vector space라는 것과 동치다. 그러니까 [math(A)] 위에선 duality에 대한 theory가 있다고 봐도 될 것이다. [math(k)] 위의 f.d. vector space에서 [math(A)]를 중심으로 한 duality가 있단 것이다.
모든 field는 당연히 Gorenstein local ring이고 모든 regular local ring도 Gorenstein local ring이다. 따라서 대충 우리가 알고 있는 대부분의 ring은 Gorenstein이라고 생각할 수 있을 것이다.
다음 동치명제들을 증명하자.
- [math(A)]는 Gorenstein of dim. [math(n)]이다.
- [math(A)]에 적당한 regular sequence [math((a_1,\cdots,a_n))]이 있어서 [math(A/(a_1,\cdots,a_n))]는 Gorenstein of dim. 0이다.
- [math(A)]는 길이가 유한인 injective resolution을 갖는다.
먼저 첫 번째하고 두 번째가 동치란 건 거의 자명하다. 그러면 첫 번째하고 세 번째가 동치임을 증명하자면, 먼저 residue field를 [math(k)]라고 하고 maximal ideal을 [math(\mathfrak{m})]이라고 하고 finite [math(A)]-module [math(M)]을 생각하자. 그러면 당연히
[math({\rm Ext}^i_{A}(M/\mathfrak{m}M,A)=0)]
for [math(i>n)]가 되고, Krull dimension에 대한 induction을 쓰기 위해 nonzero divisor [math(x\in \mathfrak{m})]을 잡고 Krull dimension [math(1)]라고 가정하면
[math(0\to M\to M\to M/(x)M\to 0)]
을 만들 수 있고, [math(M/(x)M)]는 finite dimensional [math(k)]-vector space니까 Ext functor가 [math(i>n)]에서 펑 터지고 따라서 저 셋의 injective resolution을 잡고 naturality를 생각하면
[math(x{\rm Ext}^i_A(M,A)={\rm Ext}^i_A(M,A))]
가 된다. 따라서 induction과 Nakayama lemma로 [math({\rm Ext}^i_A(M,A)=0)]이고 [math(A)]의 injective resolution은 길이가 딱 [math(n)]이 된다.
반대쪽은 그 길이를 [math(\ell)]이라고 하면
[math(0\to A\to I^{\bullet})]
란 injective resolution을 잡고 Hom functor를 씌우면
[math(0\to {\rm Hom}_A(k,A)\to {\rm Hom}_A(k,I^{\bullet}))]
가 되고, 이것들 모두 finite dimension [math(k)]-vector space라는 걸 생각하면 어쨌든 끝부분인 [math({\rm Ext}^{\ell}_A(k,A))]는 살아 있게 되고, regular sequence를 생각하면 artinian local ring은 Ext functor가 존재할 수 없으므로 [math(\ell=n)]이 된다. 그리고 같은 논리로 이것이 [math(k)]임도 계산할 수 있다.
그러면 이제 [math(0<i<n)]일 때 Ext functor가 사라짐을 보여야 하는데, 간단히 위하고 똑같이 [math(x\in \mathfrak{m})]일 때 [math(x)]로 곱하기로
[math(0\to A\to A\to A/(x)\to 0)]
를 생각할 수 있고, 따라서 역시 Krull dimension [math(1)]라고 가정하면 [math(A/(x))]는 finite dimension [math(k)]-vector space니까 long exact sequence로 가운데 [math({\rm Ext}^i_A(k,A))]가 모두 펑 터짐을 알 수 있고 induction으로 증명이 끝난다.
이제 앞으로의 논리를 간단하게 하기 위해서 Derived category라는 걸 소개하자. 사실 이것은 간단하게 한다기보단 derived category에서 무언가를 해야 진짜 무언가지만, 일단은 이렇게 표현하자.
scheme [math(X)] 위의 complex란 것은 다음 sheaf들을 말한다.
[math(\cdots {\cal F}^{-1}\to {\cal F}^0\to {\cal F}^1\to {\cal F}^2\to \cdots)]
여기에서 두 번 연속 합성하면 당연히 0이 되어야 한다. 이를 간단히 [math(({\cal F}^{\bullet},d^{\bullet}))]라고 쓰자. 그리고 이걸 오른쪽으로 한 번 옮긴 걸 [math(({\cal F}^{\bullet},d^{\bullet})[1])]라고 표현하자. 이걸 구체적으로 쓴다면
[math(({\cal F}^{\bullet},d^{\bullet})[1]=({\cal F}^{\bullet+1},(-1)^{\bullet}d^{\bullet+1}))]
이 된다. 그러면 commutative diagram으로 morphism of complexes를 정의할 수 있고, 덤으로 homotopy란 것도 정의할 수 있다. [math(({\cal F}^{\bullet},d^{\bullet}_1))]하고 [math(({\cal G}^{\bullet},d^{\bullet}_2))] 사이의 두 morphism [math(f,g)] 사이의 homotopy [math(h)]는 morphism between sheaves [math({\cal F}^n\to {\cal G}^n)]를 각 degree마다 모은 건데
[math(h\circ d^n_1-d^{n+1}_2\circ h=f^n-g^n)]
을 만족해야 한다. 이것은 직관적으로 morphism 사이의 2-isomorphism이라고 생각할 수 있다. 그렇다면 complex들을 모은 category를 [math(K(X))]라고 한다면 여기에서 Hom을 up to homotopy로 나눈 건 [math(K'(X))]라고 일단 쓰자.[11]
그러면 derived category를 정의할 수 있는데, 두 complex 사이 morphism [math(K\to K')]가 quasi-isomorphism이란 것을 이 morphism으로 만들어지는 [math(H^i(K)\to H^i(K'))]가 반드시 isomorphism인 것이다. 이는 projective module, 또는 locally free sheaf의 존재때문에 반드시 isomorphism인 건 아니다. 하지만 우리는 이것을 [math(K'(X))] 안에서 그냥 isomorphism으로 볼 것이다.
먼저 inaccessible cardinal의 존재를 편의상 가정하자. 그러면 [math(K'(X))]를 quasi-isomorphism들로 localizing할 수 있는데, 이것을 [math(D(X))]라고 쓰고 derived category라고 부른다.
여기에서 밑으로 bounded인 complex만 모은 걸, [math(D^+(X))]라고 쓰고, quasi-coherent sheaf만 모은 걸 [math(D_{{\rm QCoh}}(X))], coherent sheaf만 모은 걸 [math(D_{{\rm Coh}}(X))]라고 쓰자. 그리고 이 두 개를 섞어서 [math(D^+_{{\rm Coh}}(X))]란 표기도 쓰자. 그리고 bounded complex를 모은 걸 [math(D^b(X))]라고 쓰자.
Derived category의 특징들 중 하나는 mapping cone이라고 불리는 cokernel 비슷한 게 있단 것인데, 여기선 mapping cone이라고 안 부르고 그냥 cokernel이라고 부르겠다.
complex 사이 morphism [math(f:K\to K')]의 cokernel은 먼저 [math(K=({\cal F}^{\bullet},d^{\bullet}_1), K'=({\cal G}^{\bullet},d^{\bullet}_2))]라고 할 때
[math(C(f)_n={\cal G}^n\oplus {\cal F}^{n+1})]
이라고 하고 morphism은 [math(d_{C(f)}(x^n,y^{n+1})=(d^n_2(x^n)+f(y^{n+1}),-d^{n+1}_1))]로 정의하자. 그러면 다음과 같은 morphism들이 존재한다.
[math(K\to K'\to C(f))]
좀 더 정확하게는, 다음과 같은 commutative diagram up to homotopy가 존재한다.
[math( \begin{aligned}&K\to K' \\ & \downarrow \qquad \downarrow \\ &0 \to C(f)\end{aligned})]
여기에서 cokernel을 이런 성질을 만족하는 애로 정의하면 cokernel은 up to homotopy로 유일하게 된다.
derived category로 우리는 derived functor를 정의할 수 있다. 그러니까 [math(F:{\rm Sh}(X)\to {\rm Sh}(Y))]가 right exact functor라면 우리는 [math({\rm R}F:D^+(X)\to D^+(Y))]란 걸 정의할 수 있는데, [math(K\in {\rm ob}(D^+(X)))]라면 [math(K={\cal F}^{\bullet})]라고 쓰고 [math({\cal F}^n)]들의 injective resolution을 생각하자.[12] 그러면 이런 injective resolution들은 double complex를 만들고 이것에다가 통째로 [math(F)]를 씌운 다음에 total complex를 구한 걸 [math({\rm R}F(K))]라고 쓰자. 그러면 이것은 functor가 된다.
derived category에선 sheaf cohomology를 참 간단하게 정의할 수 있는데, 단순히
[math(H^i(X,{\cal F})={\rm Hom}_{D^+(X)}({\cal O}_X,{\cal F}[i]))]
로 정의내릴 수 있다. 그리고 이는 [math(H^i{\rm R}{\rm Hom}({\cal O}_X,{\cal F}))]하고도 똑같다.
한편으론, 위에서 cotangent complex 할 때도 쓴 적이 있는 derived tensor product를 정의할 수도 있는데, 간단히 [math(K,K')]를 tensoring한 것을 이번에도 quasi-isomorphism들인 injective resolution을 잡아서
[math(K\to I^{\bullet}, K'\to (I')^{\bullet})]
란 resolution을 잡고, [math(I^{\bullet}\otimes_{{\cal O}_X} (I')^{\bullet})]란 double complex를 잡고 total complex를 생각하면 바로 이것이 derived tensor product [math(K\otimes^{{\rm L}}K')]이 된다. 이것은 injective resolution의 선택에 독립이다.
마지막으로, complex [math(K)]가 perfect complex라는 것을 locally free sheaf들로 이루어진 complex [math(P^{\bullet})]이 존재해서 [math(K\to P^{\bullet})]이 quasi-isomorphism인 걸 뜻한다고 하자.[13]
이런 작업은, 여기선 대수기하를 할 것이기 때문에 이해를 쉽게 하기 위해서만 등장할 거지만, [math(A)]가 ring일 때 [math(A)]-module로도 이런 derived category를 만드는 것이 가능하다.[14] 그러면 이런 derived category를 [math(D(A))]로, bounded below인 complex만 모은 것을 [math(D^+(A))]로 쓰자. 그리고 bounded complex를 모은 걸 [math(D^b(A))]라고 쓰자.
derived category에 대해서 짤막하게 설명하자면, 사실 우리가 다뤄야 하는 진정한 category는 [math({\rm Mod}_A)]같은 게 아니라 derived category [math(D(A))]라는 것이다. 우리는 가환대수를 할 때 수도 없는 kernel을 생각하는데, 선형대수라면 이런 kernel이 너무 쉬워서 아무런 가치가 없겠지만 가환대수에선 이런 kernel이 너무 다양하고, 우리는 module을 그냥 module 하나가 아니라 그 kernel들을 모은 projective resolution, 또는 이것의 dual인 injective resolution을 같이 생각해야 한다. derived category는 이런 resolution들이 사는 곳이며, derived category를 좀 더 정교하게 만든 것이 model category, 이를 좀 더 직관적으로 만든 것이 stable ∞-category와 [math(E_{\infty})]-module이란 것이다.
9. 형식 스킴과 그로텐디크 존재 정리 (formal schemes and Grothendieck's existence theorem)
10. 세르의 GAGA와 복소기하와의 관계 (Serre's GAGA and relations with complex geometry)
[1]
대수기하학에선 주로 준 컴팩트(quasi-compact)라고 말한다.
[2]
앞으로 국소환 사이의 모든 준동형 사상의 역은 극대 이데알로 옮겨야 한다고 생각하자. 이를 국소 준동형 사상이라고 한다.
[3]
하지만 무한 올 곱(infinite fibre product)은 가지지 못 한다.
[4]
반면에 Hartshorne에선 스킴의 올 곱이 존재한다는 것의 증명을 2.3단원에서 정말로 어렵게 하고 있다.
[5]
Hartshorne AG, 2.3단원 문제 참조.
[6]
오른쪽은 국소화이다.
[7]
예를 들면 [math(\mathbb{P}^n_k)]에서 [math({\cal O}(1))].
[8]
꼭 체가 아니어도 된다.
[9]
자세한 증명은 Hartshorne의 2.4단원에 있다.
[10]
간단히 말하면, 국소적 컴팩트 공간이 한 지점에서 컴팩트하듯 거의 모든 스킴은 컴팩트화된다는 정리다.
[11]
사실 제대로 된 category를 원한다면 이 과정은 반드시 거치지 말아야 한다. 하지만 model category나 ∞-category를 여기에서 소개할 것은 아니므로 그냥 이 과정을 거친다.
[12]
이것은 model category의 입장에서 바라보면 그저 fibrant replacement에 불과하다.
[13]
이것은 그냥 대수학에서 finite module이란 notion이랑 완전히 똑같다. 이를 category theory에선 좀 더 일반적으로 compact object라고 부른다.
[14]
사실 그냥 abelian category면 모두 된다.