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최근 수정 시각 : 2024-12-08 22:48:43

해석학(수학)

해석학· 미적분학
Analysis · Calculus
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1. 개요2. 어원3. 역사
3.1. 미적분학3.2. 해석학의 산술화3.3. 현대 해석학
4. 분야5. 교과목
5.1. 초중등교육과정5.2. 고등교육과정
5.2.1. 학부 과정5.2.2. 대학원 과정
6. 교재
6.1. 학부6.2. 대학원
7. 관련 인물

1. 개요

해석학( 解 析 學[1], Analysis)은 위상적•대수적 성질을 갖춘 공간과 공간에서 정의된 함수의 성질을 연구하는 기초 수학의 한 분야이다. 완비성, 조밀성, 컴팩트성, 볼록성, 측도 등과 같은 공간의 성질과 극한, 연속, 미분, 적분, 수열 및 함수열과 급수 등 함수의 성질을 주로 다룬다.

2. 어원

해석학을 뜻하는 영어 analysis는 그리스어 ανάλυσης 에서 나온 단어로 'ανά-'는 '완전히', '끝까지'를 뜻하고 '-λυσισ'는 '느슨하게 하다'라는 뜻을 가지고 있는데 이것은 곧 완전히 느슨해질 때까지 파고든다, 즉 참인지 거짓인지 파악하기 위하여 대상을 잘게 쪼개고 쪼개어 끝까지 파고든다는 뜻으로 파악할 수 있다.

3. 역사

3.1. 미적분학

해석학은 미적분학의 수학적 기초를 엄밀하게 세우면서 출발했다. 미적분학이 태동할 17~18세기의 수학은 직관적인 이해로부터 출발하는 것이 당연했고, 수 체계나 집합과 같이 오늘날에는 엄밀하게 정의되어 있는 개념들이 그 당시에는 직관적으로만 이해되고 있었다. 마치 고등학교 과정 미적분에서 극한의 정의, 중간값 정리, 최댓값/최솟값 정리의 증명에 대한 엄밀한 고찰을 모두 생략한 것과 비슷하다.

3.2. 해석학의 산술화

수학이 발전하면서 직관적인 정의에 있는 여러 모순이 발견되었다. 가장 모순이 쏟아져 나온 지점은 급수를 멋대로 활용하는 부분이었다. 예를 들어, 이 시대의 뜨거운 감자 중 하나였던 그란디 급수는 [math(1-1+1-1+1-1+\cdots)]로 표현되는 아주 간단한 급수인데, 지금은 고등학생도 쉽게 처리할 수 있는 이 급수[2]에 이름이 붙어 있는 이유는 이 급수의 수렴여부와 수렴값을 두고 라이프니츠와 오일러 등 당대 최고의 학자들이 논쟁에 뛰어들 정도로 당시 무한을 사용하는 수학에 대한 개념정리가 이루어지지 않았기 때문이다.

대체적으로 해석학이 등장하기 전의 미적분학은 변분법, 미분방정식, 테일러 급수 등 급수의 합, 라플라스 변환 등 실제로 값을 찾아내는 해석학적 테크닉들엔 뛰어난 성과가 있었지만 기반이 되는 논리가 부실했기 때문에 종종 답이 존재하지 않는 문제의 답을 찾거나, 바꾸면 안되는 적분 순서를 바꾸는 짓을 한다거나 등등 존재성과 유일성을 생각할 필요성을 느끼지 못했다. 그 당시 수학자들은 함수 하면 지금과는 달리 다항함수나 초월함수 같은 정상적(!)인 것들을 직관적으로 떠올렸기 때문에 당연히 연속이고 미분가능한 걸로 퉁친다는 차이가 있었고, 함수의 연속과 수렴성, 미분 가능성, 유계 등등 지금 와서 존재성과 유일성을 생각하는 데 중요한 개념들이 제대로 정의되어 있지 못했다.

이런 모순을 해결하기 위해 수학자들은 엄밀한 정의를 내리기 시작했다. 먼저 애매한 무한소 개념을 대체하기 위해 다양한 개념들이 제시되었는데 가장 대표적인 것이 엡실론-델타 논법이다. 1817년 베른하르트 볼차노가 앱실론-델타 개념의 토대를 세웠으나 묻혀버렸고, 오귀스탱루이 코시가 엡실론-델타 논법을 최초로 사용하고, 이를 바탕으로 카를 바이어슈트라스가 균등수렴을 정의함으로써 엡실론-델타 논법이 수학계에 정착되기 시작했다. 이 논법은 대학교 1학년 미적분학 거의 첫 시간에 배우는데, 자연 언어를 수학 기호로 엄밀히 표현하면 어디까지 난해해질 수 있는지를 제대로 체험하게 된다. 이걸 한 번에 이해하면 천상 수학과라는 말은 빈말이 아니다.

그리고 18세기 말부터 19세기 초까지 게오르크 칸토어가 푸리에 급수를 연구하면서 집합론을 세우고, 데데킨트 등의 수학자들에 의하여 실수계가 엄밀하게 정의된 것이 오늘날과 같은 모습의 해석학을 발전시키는 토대가 되었다고 할 수 있다.

3.3. 현대 해석학

현대의 해석학은 기껏해야 수학과 2학년생들이 배우는 해석학 입문과정을 제외하면 미적분학과는 연관성을 알아볼 수 없을 정도로 다양하게 발전하였다. 르베그 공간(Lebesgue space), 힐베르트 공간(Hilbert space), 바나흐 공간(Banach space)등의 성질과 작용소(operator)를 연구하는 함수해석학(Functional Analysis), 측도 공간을 넘어 위상군(topological group)이나 비가환군(non-commutative group)에서 푸리에 해석을 연구하는 조화해석학(Harmonic Analysis), 불규칙한 운동을 연구하는 에르고딕 이론(ergodic thoery), p진수를 변수로 갖는 함수를 연구하는 p진 해석학(p-adic Analysis)등의 많은 세부분야가 생겼을 뿐만 아니라, 정수론이나 기하학을 포함한 수학의 전 분야에 영향을 끼치고 있다.

확률론과 편미분방정식, 미분기하학, 심지어는 전혀 관련 없어 보이는 정수론(일명 해석적 정수론)까지 많은 분야의 기초가 되는 만큼, 전공자가 아니더라도 수학을 조금이라도 사용하게 된다면 한 번쯤 접하게 되는 분야이기도 하다.

직관에 의존하면 논리적 엄밀성을 상실하여 여러 병리적 함수에 대응할 수 없기 때문에, 근대 해석학에서는 엄밀성과 논리성을 최우선으로 하여 직관을 배제한 논리적 접근을 우선으로 하였다.

미분방정식 등 실세계의 문제를 해결하는 것에 목적을 둔 현대 해석학에서는 근삿값 등을 오차를 최소화하여 구하는 것을 목적으로 한다.

즉, 현대 해석학은 엄밀한 논리적 증명과 방정식의 해의 근사치를 구하는 수치적 접근을 동시에 요하는 분야이다.

4. 분야

5. 교과목

5.1. 초중등교육과정

초등학교 수학에서는 어림을 통해 가장 가까운 간단한 수를 찾는 것을 배운다.

중학교 수학에서는 처음으로 함수에 대해서 배운다.

고등학교 수학에서는 미적분 파트에서 극한, 수열 등을 통해 해석학 이해에 필요한 기초 소양을 배운다.

5.2. 고등교육과정

5.2.1. 학부 과정

보통의 경우 집합론부터 적분까지는 1학기 수업 공통 내용이고 함수열은 2학기 수업 중간고사까지의 공통 내용이지만, 2학기 기말고사 내용은 교수나 커리큘럼에 따라 달라진다. 보통은 다변수함수를 주로 다루거나 함수공간을 주로 다루거나 둘 중 하나이지만, 해석학을 제대로 공부하려면 결국은 둘 다 잘 해야 한다.
수학과와 수학교육과 학생들이 학부 2학년 때 선형대수학과 함께 수강하며, 처음으로 배우는 진짜 수학이다.[6] 즉, 수학적인 내용들을 수학에서 쓰는 논리에 어긋나지 않게 전개하는 기초를 본격적으로 배운다는 것으로, 해석학I 과정에서 제대로 된 극한의 정의를 배우는 것으로 시작한다.[7] 초심자들에게 있어 첫 번째 고비이지만, 이 개념을 이해하지 못한다면 앞으로의 해석학 과정을 이해하는 것은 꿈도 꾸지 말아야 한다. 극한의 엄밀한 정의에 쓰이는 엡실론-델타 논법은 보통 이공계 1학년 미적분학 시간에 맛보기 수준으로 소개되지만, 엡실론-델타 논법은 대부분의 타전공자들이 그리 중요하게 여길 필요가 없는 파트인데다 수능만 쳤지 수학의 참맛을 전혀 모르는 1학년 이공계 신입생들에게 완비순서체가 뭔지에 대한 밑바닥 정리정돈 없이 냅다 엡실론-델타 논법만 던져주면 오개념만 자라기 십상이라 그냥 어영부영 넘기는 경우가 많다. 이는 교양과목 미적분학과 전공기초과목 해석학개론의 결정적인 차이 중 하나인데, 일례로 미적분학에서는 Early Transcendental 교재를 쓸 경우 묻지도 따지지도 않고 꺼내들던 자연로그의 밑 e를 해석학에서는 완비성 공리, 단조수렴정리 등의 물샐틈 없는 빌드업을 거쳐 e라는 정체불명의 수가 등판할 수밖에 없게 유도해낸다. 이는 해석학I의 중간고사 범위에서 가장 드라마틱한 파트 중 하나로, 병아리 수학도들에게는 수를 유도한다는 표현을 넘어 짜내는 것만 같은 고통과 쾌감으로 다가오는 순간이다. 허나 이러한 엄밀한 논법은 도저히 직관적이지 않기 때문에 고등학교 과정에서는 보통 생략하고 "x가 a에 근접할수록" 식의 표현으로 대신한다.[8]

Compact set[9] 개념 역시 엡실론-델타 논법 못지않은[10] 고비다. 쉽게 설명하자면, 어느 집합을 열린 집합으로 덮으려 하는데, 이 때 어느 형태의 열린 집합들을 갖다 쓰든[11] 반드시 유한 개의 열린 집합들로 덮여야 한다는 것이다. 설명은 얼핏 보면 간단해 보이지만 정작 머릿속으로 그려 보려면 굉장히 난해한 개념이다. 실수에서의 닫힌 유계집합을 일반화하기 위해 일반화에 일반화를 거쳐서 나온 결과물이므로 굉장히 비직관적이고 왜 이렇게 설계했는지 공부를 더 해 보기 전까지는 알 수 없다. 이 때문에 만약 compact Set의 개념과 관련 정리들의 내용을 한번에 이해할 수 있다면, 순수수학 분야에서 해석학이나 위상수학 계열의 수학자가 되는 것도 생각해 볼 수 있다.[12]

위의 두 개념들은 우리가 아는 실수 공간의 수열과 함수, 미적분의 성질들을 이해하는 데 매우 좋은 도구가 되기 때문에, 해석학을 공부하는 학생들에게는 필수 과정이다.

물론, 장기적으로 보았을 때 학부 과정에서는 해석학 자체가 굉장히 어려운 과목은 아니다. 오히려 해석학은 짬이 조금 차면 자연스레 할 수 있게 되며, 초반에 어느 선까지만 강렬하게 머리를 불살라주면 그 이후부터는 꽤 편해지는 과목이다. 오히려 대수학을 아예 이해하는 것 자체가 가능한지 의심이 될 정도로 어려워하는 학생들이 상당히 많은 편이고[13] 아예 미분기하학이나 위상수학은 수학과의 최종보스로 취급한다. 특히 해석학 과목은 난이도는 어려워도 증명과정에서 계산이 매우 복잡하거나 술술 나가다가 어느 한 부분에서 막히는 경우가 많기에 논리 전개에 오류가 없다면 교수가 부분점수를 후하게 매겨줄 여지가 많다. 그래서 해석학 시험에서는 헛소리라도 써 내는게 백지로 내는 것보다는 낫다는 말이 많다.[14] 그래서 나라 잃은 김구 표정으로 시험을 마쳐도 막상 해석학 성적표에는 A 이상의 후한 점수가 떠 있더라는 경험담이 학부 고학년이나 대학원생들 사이에는 의외로 많다.

교수가 진도를 굉장히 빨리 나가는 스타일이면 측도론을 맛보기로 다루기도 한다. 적분은  구간 내 함숫값×구간길이를 다 더한 것이므로 함수를 적분하려면 구간길이를 따져야 하는데, 이 구간의 길이(= 집합의 크기)의 개념에 다루는 학문이다.

그 외에 강의서를 뒤적이다 보면 실수를 유리수 코시수열 modulo(극한값이 같다)로 정의하거나[15] 데데킨트 절단(Dedekind's cut)으로 유리수부터 구축하는 법을 다루기도 하는 등, 여러 가지 흥미로운 내용들도 많다.

실수집합을 추상화시킨 집합, 즉 실수집합과 비슷한 성질을 가진 집합에서 정의된 함수에 대해서도 미분과 적분을 할 수 있도록 확장시키기도 한다. 그럼 먼저 실수집합이 어떤 성질을 갖고 있는지 파악해야 실수집합과 비슷한 성질을 가진 집합이 어떤 집합인지 판단할 수 있게 되는데 이 분야가 일반 위상수학(general topology)이다.[16]

대수학과 함께 수학의 핵심 과목[17]이라서 이 둘을 잘 해놓아야지만 앞으로의 갈 길이 편하다. 미분방정식, 복소해석학, 실해석학 및 확률론 등의 과목이 기본적으로 해석학의 내용을 바탕으로 전개되기 때문이며 다른 말로는 수학을 전공하기 위한 기초과목이라는 뜻이다. 그러니까 수학과에 진입하면 선형대수학과 함께 바로 배우도록 한다. 단순히 과목 내용뿐만 아니라, 수학의 각 부분에서 사용되는 여러 가지 중요한 증명 스킬 역시 여기에서 배운다. 다만 복소해석학의 경우는 코시-리만 방정식 정도는 왜 성립하는지 정도는 익혀두는 게 좋다. 이변수 함수의 편미분을 할 수 있다면 충분히 가능하다.

사실 학부 때 배우는 모든 내용이 그렇지만, 해석학과 대수학은 사실 가장 중요하면서도 쓸모없는 과목이기도 하다. 그 이유는, 학부 때 배우는 해석학이나 대수학은 본격적인 수학이라기보다 수학에서 알파벳과 같이 쓰이는 개념들의 습득이 목적이기 때문에 반드시 알아야 하지만, 그것만 갖고는 할 수 있는 게 거의 없기 때문이다. 본격적인 수학은 그 개념들을 이용하여 빨라봤자 학부 말, 보통은 석박사 시절부터 배우기 시작한다.

해석학을 단학기로 끝내지 않고 1년 내내 배울 경우, 해석학I에서는 기초 집합론, 실수계, 수열, 함수의 연속, 미분, 적분, 급수까지는 다들 비슷비슷한 진도를 나간다. 그러나 해석학II를 시작한 뒤로 함수열까지는 중간고사 진도가 똑같지만, 기말고사 범위는 기초적인 푸리에 해석과 실해석을 공부하는 루트와 다변수함수를 공부하는 루트로 갈리며, 많은 경우 이 둘 중 해석학II에서 다뤄지지 않는 과목이 고학년 커리큘럼에서 별도의 단학기 또는 통년 과목으로 개설된다. 이 때 전자인 함수공간 중심의 커리큘럼은 해석학개론 전반부의 주제가 더 일관적으로 이어지니 학습에 몰입하기 좋다는 장점이 있으나, 이를 위해서는 내적 공간에 대한 이해가 선행되어야 한다는, 다시 말해 선형대수학 진도를 한 학기에 한 권을 다 뗄 기세로 열심히 달려줘야 한다는 점이 걸리기 때문에 담당교수들의 의견조율이 반드시 필요하다.[18] 후자의 경우 거리공간을 비롯한 위상수학의 기초를 전혀 접해본 적이 없이 공부한다면 결과적으로 다변수 미적분학의 재탕에 그칠 수도 있으나, 해석학I에 맞는 적당한 수준으로나마 위상공간론의 기초를 다지고 적절히 떠올려가며 학습한다면 3학년 때 미분기하학과 복소해석학을 일찍 내지는 수월하게 시작할 수 있기에[19] 교수나 학교별 커리큘럼에 따라 학부생의 수업 이수 일정이나 후속 과목에서의 입문 난도가 크게 갈리기도 한다. 물론 해석학을 제대로 공부하려면 이 두 갈림길은 어느 쪽이든 졸업 전엔 다 섭렵하고 지나갈 내용[20]이다. 하술할 해석학 교과서 중 Rudin의 PMA가 '한 책에 너무 많은 내용을 담으려 했다'는 평을 듣는 것도 이 갈림길을 두껍지도 않은 책에다 모두 집어넣었다는 점 때문이다.

5.2.2. 대학원 과정

대학원에 진학하면 편미분방정식, 함수해석, 조화해석 등등의 여러 과목으로 나뉘어 본격적으로 전문적인 수학과목에 입문하고 최신연구주제나 분야들도 접할 기회가 생기지만, 해석학계열이 아닌 과목을 전공하게 된다면 전공시험을 통과한 이후 복잡하고 까다로웠던 과목 취급받으면서 서서히 잊혀져간다. 물론, 그렇다고 해도 세부적인 부분까지 파고 들어가지만 않을 뿐, 해석학에서 사용하던 기본적인 개념들은 분야가 달라도 종종 튀어나오므로 완전히 잊는 것은 불가능하다. 완전히 상관이 없다면 애초에 학부 1학년부터 대수와 해석학 전공생을 나누어 가르쳤겠지만, 그러는 학교는 없지 않은가.

함수해석학(Functional Analysis)[21]의 경우 선형대수학의 선형사상과도 밀접한 연관이 있으며, 그 참맛을 깨닫고 싶다면 선형 및 추상대수학과 위상수학에도 반드시 숙달되어야 한다. 물론 함수해석학도 깊게 들어가면 더 이상 linear하지 않은 경우도 많이 등장하지만, 기본이 이 선형사상이기 때문이다. 주요 주제 중 하나인 위상벡터공간(topological vector space)의 포스 넘치는 이름에서 알 수 있듯 상당히 넓고 깊은 토대를 단단히 다져놓아야 공부를 할 수 있는 분야이다. 19년간 졸업을 못한 대학원생이 지도교수를 살해했다는 무시무시한 사건이 이 분야에서 터졌다는 사실에서 알 수 있듯 대학원 박사과정 수준에서도 몹시 고난도 분야로 꼽힌다.

6. 교재

아래 목록을 봐도 알겠지만, 교재 선택시 주의할 점이 있다. 저자들마다, 그리고 교재들마다 한학기 또는 두학기 강의용, 또는 독학용이 다르고 처음부터 위상수학 관련 내용을 많이 언급하느냐, 한학기~한학기 반짜리 기본 진도 이후 푸리에, 측도, 위상수학, 다변수함수 등을 다룬다면 어떤 순서로 얼마나 다루냐 등 제각기 다른 독자를 상정하고 쓰느라 구성이 다양하다. 심지어는 제목에서부터 혼동을 초래하는 경우도 적지 않다. 예를 들면 Bartle 저서나 정동명 저서처럼 학부 2학년 정도의 해석학 초심자를 위한 입문서의 제목을 '실해석학개론' 같은 제목으로 정하여 고학년생들까지 헷갈리게 하거나[22], 르베그 적분론을 실해석학 시간에 각 잡고 다루기 위해 실해석학이라 간판 걸어놓은 수업에서 확률론 교과서를 부교재삼아 꺼내든다거나[23], Spivak의 Calculus나 Apostol 저서처럼 'Calculus'나 'Advanced Calculus' 같은 제목을 단 채 1학년 미적분학에서 다루기 힘든 해석학 내용을 끈적하게 다루거나. 김홍종 저서나 Apostol 저서 같은 특이한 예를 제외하면 구성이 대동소이한 미적분학 교재들과 달리 해석학 교재들은 목차, 머리말, 올드비들의 서평 등을 다양하게 찾아보고 심사숙고하여 선택할 필요가 있다.[24] 이렇게 다양한 방식으로 커리큘럼을 구성할 수 있는 과목이 학부 과정에서의 해석학인지라 해석학을 공부하는 학생들은 다른 과목들보다 많은 종류의 참고도서를 확보해놓고 과제에 필요할 때마다 꺼내보곤 한다.

6.1. 학부

6.2. 대학원

7. 관련 인물

해석학을 공부하다 자주 보게 되는 인물들로는 오귀스탱루이 코시(Augustin Louis Cauchy), 조제프 푸리에(Joseph Fourier), 브룩 테일러(Brook Taylor), 베른하르트 리만(Bernhard Riemann), 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstraß), 앙리레옹 르베그(Henri-Léon Lebesgue) 등이 있다. 복소해석학을 공부하다 보면 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauß)와 르죈 디리클레(Lejeune Dirichlet)도 자주 만나게 된다. 각 잡고 공부하다보면 니콜라 부르바키(Nicolas Bourbaki)와 그 똘마니 회원들도 얼굴을 들이민다.

해석학 공부가 니콜라 부르바키 등 20세기 수학자나 필즈상 초창기 수상자들의 이름을 접하는 경지에 이르면 해석학 공부는 더 이상 해석학만으로 이뤄지지 않는다. 위상수학이나 대수학, 기하학, 편미분방정식 등의 다양한 분야와도 서로 경계를 넘나들며 현대수학 전반을 섭렵하게 된다. 20세기부터는 해석적 정수론이 흥하기 때문에[40] 테렌스 타오 등을 비롯해 현대 수학자들 중 정수론 분야의 만렙 석학들도 알고 보면 해석학으로 학위를 받은 예가 적지 않으며, 이외에도 해석학 연구는 안드레이 콜모고로프가 해석학의 언어로 재정립한 확률론이나 통계학, 동역학계 이론, 수리물리학, 금융공학 등 다양한 분야로도 가지를 뻗어나가는 중이다.

[1] '파악하고 이해하다'라는 의미로 쓰이는 '해석'은 解 釋으로 한자가 다르다. 임의의 함수를 테일러 급수, 푸리에 급수 등으로 쪼개어 푼다고 이해하면 뜻을 연상하기 쉽다. [2] 현대의 관점에선 부분합이 수렴할 경우의 수렴값으로 가볍게 처리되는 문제로, 주어진 급수는 발산(진동)하기 때문에 급수의 합을 정의하는 것이 불가능하다. [3] 기수, 선택공리, 순서수도 공부해두면 아이디어를 찾을 때 도움이 된다. [4] 이 중 체의 공리는 사실 현대대수학에서 한 학기 가까이 여러 성질들을 차근차근 쌓아가면서 확보해야 하는 나름대로 '고지'라 할만한 파트인데, 해석학에서는 군이니 환이니 하는 잡다한 것을 건드릴 여유가 없이 바로 실수의 성질을 다뤄야 하기 때문에 학생들은 별 수 없이 이 10가지의 성질을 닥치고 암기해야만 한다. 물론 쪽지시험이나 중간고사에서 "체의 공리 10가지를 수학적인 언어(수식)로 전부 기술하라."라고 굳이 10개 항목으로 나눠 출제하는 등의 강제성이 없다면 "덧셈과 곱셈이 정의되며 덧셈의 교환·결합·분배법칙, 곱셈의 교환·결합·분배법칙이 성립하고, 덧셈의 항등원 0과 역원, 곱셈의 항등원 1과, 0을 제외한 역원이 존재하는 집합'이라고 요약하고 넘어가는 학생들도 적지 않으나, 현대대수에서 군과 환을 공부하면서 조건을 여럿 추가하여 체를 정의하고 나면 이불킥을 못 면한다. 그래도 이 파트에서는 상한, 하한 등등 많은 생소한 용어를 습득하기도 바쁘니까 가르치는 교수들도 체의 공리에 그리 많은 시간을 할애하지는 않는다. [5] '사잇값 정리'로도 불린다. [6] 같이 배우는 선형대수가 교수 재량에 따라 현대대수 등의 고급과정의 용어와 접근방식까지 등장하여 학생들을 심한 멘붕에 빠뜨리기도 하는 반면 해석학은 커리큘럼이 비교적 정형화한 편이라 처음부터 끝까지 그냥 일관적으로 어렵다. 선형대수도 엄연히 대수 계열이기 때문에 어찌 보면 당연한 말이다. 물론 교수도 사전지식이 필요하다는 것을 잘 알기 때문에 이런 과정은 보통 선대II나 고급선형대수학이라는 수업에서 따로 가르친다. [7] 정확히는 집합론과 완비순서체로서의 실수에 대한 정리, 그리고 코시수열에 관한 내용을 다룬 후에야 엡실론-델타 논법을 다루는데, 그 때가 되면 벌써 해석학개론 첫학기의 중간고사 기간이다. [8] 고등학생이 못 배울 만큼의 고난도라는 말은 아니다. 해석학 및 전공수학의 사고방식에 익숙해지면서는 오히려 고등학교 문제풀이보다 쉽다 여기는 수학과생들도 있다. 다만 일반적인 고등학생들이 체화하기엔 집합론을 시작으로 완비순서체 공리의 도입 등 물밑작업에만도 상당한 시간이 걸리기 때문에 시간적 여유가 없을 뿐이다. 안 그래도 배울 것도 많고 시험과 교육과정도 논술형이랑 거리가 먼데 여기에까지 시간을 투자하기에는 낭비다. [9] 컴팩트 디스크 할 때 나오는 그 컴팩트이다. 작은데 용량은 꽉 찬 디스크를 컴팩트 디스크라 부르듯, 작고 꽉찬 집합. 간단한 예로, 유클리드 공간 [math(\mathbb R)]n 의 부분집합이 compact set이면 닫힌 유계집합이고, 그 역도 성립한다. 무한 차원 벡터공간에서는 역이 성립하지 않는다. 대한수학회에서는 '옹골 집합'이라고 번역하고 있으며 일부 서적에서도 그런 용어를 쓰지만(Rudin 3판 번역본, 김김계 등), 보통은 대학 수업에서는 원어 그대로 그냥 compact라고 하는 경우가 많다. [10] 보통은 그 이상의 난이도다. 엡실론-델타 이상으로 추상적인 개념이기 때문이다. [11] 2차원으로 본다면 원 모양을 갖다 쓰거나, 별 모양을 갖다 쓰거나, 그 외의 임의의 모양들을 아무렇게나 한다. [12] 그나마 해석학개론의 경우에는 이전부터 거리공간이라는 이름을 듣기도 전부터 접해 온 거리공간의 성질을 중심으로 설명하기 때문에 이해하기가 수월하다. 하지만 해석학에서 다룬 것들을 극도로 일반화하여 접근하는 위상수학에서 더 일반화되고 다양해진 컴팩트성을 접하면 머리가 어질어질해진다. [13] 내용 자체가 익숙함과는 거리가 엄청 멀고, 엡실론-델타를 유도할 수만 있으면 많은 것이 해결되는 해석학과 달리 익혀야 하는 내용이 엄청나게 많은데다가 어려운 문제는 해석학 이상으로 맛깔난 아이디어까지 요구하는지라, 잘 맞지 않는다면 해석학 저리 가라 수준의 지옥을 선사한다. [14] 물론 대학 시험은 해석학 뿐만 아니라 어떤 전공의 어떤 과목이든 뭐라도 써서 내는 것이 백지보다 낫긴 하다. [15] 칸토어의 방법론으로, modulo는 사칙연산의 나머지를 추상화시킨 것인데, 모든 유리수 코시수열을 수렴값이 같다라는 관계로 나누어 그 나머지를 이루는 coset을 각각의 실수로 정의한 것이다. 즉, 0으로 수렴하는 모든 유리수 코시수열의 집합을 0, 1로 수렴하는 모든 유리수 코시수열의 집합을 1, 이런식으로 정의해서 사용하기도 한다. [16] 위상수학이라 하면 구멍이니 도넛이니 매듭이니 이런 것을 떠올릴 수 있겠지만 사실 위상수학은 집합의 원소들이 이루는 공간을 포함관계의 측면에서 다루는 학문이다. 일반위상수학의 논리 전개는 집합을 대상으로 하는 논리적 판단이 대부분이므로 집합론에 대한 학습이 필수적이며 실수집합이 아닌 집합에서 정의되는 함수에 대해서 미적분을 논하는 가장 기본적인 예시는 확률론이다. 확률은 확률이 부여되는 사건집합(event set)에서 정의되는 함수이고 기댓값은 사건집합에서 정의되는 함수에 대한 적분이 된다. 따라서 확률론은 기본적으로 해석학에 속한다. [17] 기하학은 이들을 이용해서 다루는 대상에 가깝다. 그래서 대수학과 해석학에 각각 대응되는 대수기하학, 미분기하학이 있다. [18] 선형대수학 수업에서 내적공간을 다루는 진도는 교과서 목차 기준으로 최후반부에 위치하는 경우가 대부분이다. 아무리 지도교수가 행렬의 분해나 계산이나 수치적 방법 등등 응용수학 관련 주제를 건너뛰더라도 함부로 건너뛰어서는 안 될 주제가 전반부에서 후반부까지 골고루 포진해 있기 때문에 내적공간 진도를 첫 학기부터 시작하기는 쉽지 않다. [19] 다변수함수론을 해석학개론 시간에 안 가르치는 학교에서는 다변수해석학 수업을 따로 개설하는 대신 교수간 상의를 거쳐 미분기하학 수업의 초반부 강의시수 일부를 다변수함수에 할애하기도 한다. 다만 이 경우 미분기하학의 곡선론, 곡면론을 비롯한 메인 커리큘럼이 빠듯해질 수 있다. [20] 두 갈래가 아주 철저하게 구분되는 것도 아니다. 일례로 다변수 미적분학에서 적분순서 교환이라는 사이다를 선사하는 중적분의 필살기 푸비니의 정리는 다변수함수를 진지하게 다루지는 않는 실해석학 교재에서도 함수열과 르베그 적분을 다루면서 증명할 수 있다. 또한 실해석학에서도 가측함수에 대해 다루면서도 위상공간론에서의 연속함수와도 유사한 서술방식이 튀어나오는 등, 다변수함수와 위상수학의 관계와는 또 다른 방식으로 위상수학과의 접점을 엿볼 수 있다. [21] 분과학문으로서 주로 함수해석학이라고 불리지만 이 이름은 오역으로 여겨질 수 있다. 여기서의 functional은 단순한 함수가 아니라 범함수이기 때문. 하지만 한국의 학자들도 그러거나 말거나 함수해석학이라는 말을 계속 쓰고 있으며, 대한수학회 역시 공식 번역어에다 억지로 글자를 추가하려는 고집은 없는 듯 하다. [22] 사실 2학년 해석학이 어떤 면에서 '실해석학개론'임은 사실이지만, 실해석학 배우려는 고학년생이 처음 들여다보는 책도 마찬가지다. 적어도 공부할 사람 헷갈리지는 않게 해야지 이런 이유로 2학년생들 덜 헷갈리라고 고학년 과정의 실해석, 복소해석 강의나 교과서 제목을 실변수함수론, 복소함수론 같은 제목으로 미묘하게 바꿔 내놓기도 한다. [23] Billingsley저, Ash저 등 여러 확률론 교과서들이 제법 깊이 있게 측도론을 다루는 것은 사실이나, 실해석학 시간에 일부러 확률론 책까지 꺼내드는건 주객전도라 여겨질 수 있다. 물론 확률론이나 금융수학 관련 수업을 담당하는 교수가 실해석학까지 가르친다면 르베그 적분론을 자신이 주로 쓰는 책으로 가르치는 것이 이해 못 할 선택은 아니겠으나, (아직) 상경계열로의 진로에 무관심한 학생의 입장에서는 난이도는 오르는데 내용은 산만해지니 환장할 노릇이다. [24] 사실 세세하게 따지면 미적분학 책들도 차이가 작지만은 않다. 그러나 수학과에서는 어차피 해석학 시간에 사생결단을 낼거라면서 1학년 미적분학에 크게 목매지 않는 경향도 있어서 일부 교수나 강사들은 미적분학에 목매지 말고 일반물리 같은 교양학점에 신경쓰라고 한다. 그래서 이를 곧이곧대로 받아들인 사람들은 진짜로 아무 책이나 대강 1회독하고 넘어가는 경우가 꽤 많다. 그러나 정작 해석학 수업은 미적분학을 본 수강생들을 전제하고 진행된다. 애당초에 학부 해석학 과정이 미적분학에서 배운 내용들을 훨씬 심도 있게 논리적으로 익혀서 수학적인 사고방식을 터득하고, 앞으로의 상위 과목들을 대비하기 배우는 과목인데, 미적분학을 진짜로 대충 하는 것은 말이 안 된다. 그러나 어지간한 학교에서는 미적분학은 전공예비가 맞고, 1학년 때 교양학점이나 전공예비학점을 안 채워 놓으면 나중에 커리큘럼이 꼬일 수도 있으므로 굳이 미적분학에 전공과목 수준으로 목숨을 걸고 덤빌 필요까지는 없다. 다만 열심히 해 놓으면 약빨이 상당한 것은 사실이니, 대충 하지도 말자. [25] 이는 어느 정도 맞는 말인 것이, 보통 이후 과정으로 수강하는 복소해석학에서 '해석적'인 복소함수는 매우 깔끔한 성질을 지니는 반면에, 해석학 개론에서도 언급되는 ' 디리클레 함수', '토메 함수', 그리고 이 책의 5.4절에 언급된 ' 바이어슈트라스 함수', '다카기 함수'와 같은 병리적 함수들로 가득차 있는 것은 물론, 이를 제외하고도 상당히 골때리는 실함수들로 가득차 있는 학문이 바로 실해석학이기 때문에 '실수가 얼마나 복잡한지'라는 말이 괜히 등장한 것은 아니다. [26] 예를 들어, 2.2절 "수열의 극한" 단원 연습문제에서 "converge"의 앞 두 음절을 뒤바꾼 "verconge"라는 단어를 '수렴'에서 초성을 뒤바꾼 '루셤'이라는 단어로 번역했다. [27] 현대 해석학에서 다루는 리만 적분은 엄밀히 말하면 다르부 적분이며, 이는 리만 적분과 동치이다. [28] 바틀 본인은 이 책과 자신의 논문 Return to the Riemann Integral에서 리만 적분에 게이지라는 개념을 도입한 일반화된 리만 적분이 르베그 적분을 대신할 수 있다고 주장하고 있지만, 일반적으로 받아들이는 주장은 아니다. 다만 위에서 소개한 Abbott의 서적에서도 이 내용을 다루는 것을 보면 동의하는 학자들이 없지는 않은듯 하다. [29] KAIST와 고려대학교에서 학부 수업에 사용한다. 또한 포항공과대학교에서 학부 수업에서 사용하며 1학기만에 8단원까지 나가는 위엄을 보인다. 이 정도면 어지간한 학교에서는 한학기 반은 공들일 분량. 연세대학교에서도 교수에 따라 이 책을 사용하기도 한다. 그런 경우 포항공대처럼 1학기 만에 8단원 까지 나간다. [30] 목차만 봐도 알 수 있는데, 9장부터의 페이지 수 배분이 터무니없이 적다. 루딘 PMA의 9장부터의 내용을 후술할 다른 책들과 비교하자면, Wade 저서는 목차가 다변수, 실해석학, 푸리에 해석 챕터가 일변수 챕터와 같은 7개 챕터로 구성되었고, 페이지 수 기준으로는 뒤 7개 챕터의 분량이 앞 7개 챕터의 120%는 된다. 이슬비 저서 역시 비슷한 구성과 비슷한 분량이다. 반면 루딘의 PMA는 전체를 합쳐도 350여 페이지에 불과할 만큼 내용의 방대함과 난해함에 비해 턱없이 얇고 판형도 작은 책이 가장 어려운 파트인 9장부터의 후반부 분량은 150페이지에도 못 미친다. 참고로 다변수해석학 버전 Rudin이라는 Spivak의 Calculus on Manifolds가 약 150페이지다! 9장부터의 어려운 내용을 세부 분야로 파고 들어가지는 않더라도(즉, 복소해석학, 실해석학 서적을 따로 찾아보지는 않더라도) 충분히 이해하기 쉽게 다루려면, 1~8장까지의 내용만큼보다도 페이지 수를 훨씬 잡아늘려야 한다. [31] 특히 2장 위상수학 문제들은 풀면 (특히 compact set을 이해하고 싶은 사람들에게는) 많이 도움된다는 의견들도 많다. [32] 두 교수들이 번역한 책은 더 있는데, 하나같이 원서들이 평가가 좋은 책들인데 비해 번역판은 순우리말로 나타낸 용어가 호불호가 갈리며 이런 특이한 용어들을 소개하느라 책의 부피가 크게 늘어났다는 특징이 있다. [33] 서울대에서는 수리과학부 전공필수 강좌이지만 학교 특성상 다른 과에서도 들으려는 경우가 많아(...) 비전공생 분반이 따로 있다. [34] 예를 들어서, 위상 단원에서는 compactness와 limit point compactness가 거리 공간에서는 서로 동치라는 내용이 PMA에서는 연습문제로, 김김계에서는 이 두 가지 compactness와 sequential compactness의 동치성까지 추가하여 증명된 정리로 소개되어 있다. 적분 단원의 경우, 리만-스틸체즈 적분을 PMA가 단순히 단조증가함수를 통해 접근한다면, 김김계에서는 유계변동함수라는, 보다 일반적인 개념을 통해 접근한다. 사실 닫힌 구간에서는 유계변동함수와 두 단조증가함수의 차가 동치라서 엄청난 차이는 아니기는 하지만, 이 동치관계는 PMA에서는 소개되지 않고 김김계에서 소개된다. [35] 이를테면 유리수와 정수의 개수가 같다는 말을 못 믿는 중고등학생에게 어떻게 설명해볼까? 하는 내용이나, 수능 끝난 고3들에게 완비성이 뭔가 가르쳐줄 100분짜리 강의안을 써보자 하는 내용. 교직에 관심 없는 입장에선 엉뚱하고 희한하게만 느껴지지만 임용시험 준비하는 수험생들에게는 나름대로 동기부여로 작용하는 부분이다. 이도 마찬가지로 도약하기 파트에 있는 문제들이다. [36] 벨기에 출신 수학자인 스타인 교수는 필즈 메달리스트 찰스 페퍼먼, 테렌스 타오 등의 석학을 가르친 교수로, 2018년 사망했다. 라미 샤카르지는 페퍼먼의 지도를 받던 대학원생이었는데, 2000년 1권이 나오고 2002년에 졸업했지만 마지막권까지 저술에 참여했다. 이 사람은 중동의 거대 금가공 및 거래소인 Emirates Gold DMCC 창업주 무함마드 알 샤카르지의 차남으로, 박사 졸업 후에는 아버지의 회사에서 일하고 있다. 진짜 금수저 [37] 실제로 서울대학교와 한양대학교에서는 2권을 학부 복소함수론 교재로 사용하며, 포항공과대학교에서도 간혹 채용한다. 1권도 서울대학교와 KAIST에서 학부 푸리에해석 교재로 사용한다. 연세대의 경우 Stein 시리즈를 좋아하는 교수와 그 교수의 제자가 다시 교수로 채용되면서(...) 학부 푸리에 해석 수업에 1권을, 복소해석학 수업에 2권을, 심지어 대학원 실해석 수업에 Stein 3권을 쓰기도 한다. 이정도면 해석스쿨이 아니라 조화해석스쿨이 아닐까 [38] 예를 들어 2권 복소해석에서는 1권 푸리에 해석에서 배운 내용을 모두 알고 있다고 전제하고 1권의 내용을 증명 없이 가져다 쓴다. 하지만 교수의 적절한 지도만 받쳐준다면 1, 2권 선에서는 큰 문제가 없다는 평도 있다. 특히 복소해석은 많은 대학들이 전공필수로 지정해놓는 반면 푸리에 해석은 학부 선에서는 안 듣고 졸업할 수도 있으며 아예 대학에서 학부생 대상의 푸리에 해석 수업을 열지 않는 경우도 많기 때문에 1권보다 2권을 먼저 봤다는 수학과생들이 꽤 있다. [39] 수학과는 논문을 써야 하는 시기가 아니라면 석사과정도 그냥 학부 5, 6학년이나 마찬가지일 정도로 '다방면으로 골고루 가르치는' 커리큘럼이 이어지는 학과이다. 꼭 PDE나 조화해석 같은 분야로 진출하지 않을 학생들도 해석학 계열 수업을 맡은 교수가 이 책을 좋아하면 이 시리즈를 전혀 안 보고 졸업하기는 힘들다는 것. 이런 점 때문에 악명이 필요 이상으로 과장되는 경향도 있다. [40] 당장 위에 써진 교과서들 중에도 있듯이 한껏 작정하면 해석적 정수론을 중심으로 해석학 교과서를 만들 수도 있고 대학원 해석학 강의의 커리큘럼을 짤 수도 있으니...


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