약분

수와 연산 Numbers and Operations
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1. 개요2. 방법3. 예시4. 특정한 경우의 약분5. 관련 문서

約分 / Reduction[1]

1. 개요

수학에서 분수의 분자와 분모를 그의 공약수로 나눠서 간단하게 하는 행위이다.[2] 반대말은 배분이다.[3]

가끔 가분수를 대분수로 만드는 작업을 '약분'이라 하는 사람도 있지만 잘못된 표현이다. 약분이란 용어를 분모와 분자를 그들의 최대공약수로 나누는 일로 정의하기 때문이다.

분수가 약분이 가능하다면 일반적으로 약분해야 한다. 초등학교 5학년부터는 약분 안하면 오답 처리된다. 일부 학교에서는 약분을 안하면 아예 오답 처리하거나 감점시키는 경우도 있다. 이후 비례식ㆍ비율ㆍ백분율ㆍ비례배분을 배우는 6학년은 말할 것도 없고, 정수와 유리수ㆍ방정식ㆍ부등식ㆍ함수 기하를 배우는 중학교ㆍ고등학교에서도 마찬가지이다. 하지만 초등학교 3~4학년은 분수의 연산에 대해 처음 배우는데다 최대공약수와 최소공배수를 아직 안 배웠기 때문에 약분하지 않아도 맞다고 해 준다.

최대공약수를 배우고 나서 약분 공부에 들어가야 한다. 이 원리가 통분과 같이 6학년 때 비의 성질, 비례식의 성질(가장 작은 자연수의 비로 바꾸기), 백분율, 비례배분, 분수와 소수의 혼합계산, 중학교 가면 정수와 유리수의 혼합계산에도 나오니 중요하다.

2. 방법

분수의 분자와 분모의 최대공약수로 나눈다. 기약분수가 되어 더 이상 약분을 할 수 없을 때까지, 즉 분자와 분모가 서로소가 될 때까지 이 과정을 반복한다. 이때 분자와 분모를 소인수분해한 후 공통인수(최대공약수 등)를 찾아 제거하면 편하다. 분자와 분모가 크다면 그냥 공약수로 나누기 위해서도 각각 소인수분해를 하는 것이 편리할 수 있다.

분모와 분자가 숫자로만 이루어지지 않고 다항식으로 구성된 분수식에서는 분모와 분자를 인수분해하여 간단한 다항식의 곱으로 나타낸 뒤, 분모와 분자에 공통으로 존재하는 다항식을 약분하여 없앤다. 인수분해가 필요한 이유 중 하나이기도 하다.

분모 또는 분자에 무리식이 있는 경우에는 유리화하는 과정에서 약분을 하기도 한다.

하나의 분수뿐만 아니라 여러 분수의 곱셈식도 약분할 수 있는데, 곱셈 결과가 (각 분수의 분자들의 곱)/(각 분수의 분모들의 곱)이 된다는 점을 고려하여 분자와 분모에서 공통인수를 찾으면 된다.

3. 예시

24/36을 약분하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle \frac{24}{36} = \frac{\cancel 2\times12}{\cancel 2\times18} = \frac{12}{18} = \frac{\cancel 2\times6}{\cancel 2\times9} = \frac{6}{9} = \frac{\cancel 3\times2}{\cancel 3\times3} = \frac{2}{3})]

24, 36을 소인수분해하면 각각 2³×3, 2²×3²이므로 공통인수(최대공약수)는 2²×3이다. 따라서 분자와 분모를 각각 2²×3으로 나누면 아래와 같이 약분된다.

[math(\displaystyle \frac{24}{36} = \frac{2\times\cancel{2^2\times3}}{3\times\cancel{2^2\times3}} = \frac{2}{3})]

다항식을 약분하는 경우에는 상수와 각 문자, 다항식에 대해 공통인수를 구하여 약분할 수 있고, 이때 인수분해를 이용할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다. 단, a≠0, b-c≠0이다.

[math(\displaystyle \frac{4a(b^2-c^2)}{6a^2(b-c)} = \frac{2^2\times a(b-c)(b+c)}{2\times3\times a^2(b-c)} = \frac{2(b+c)}{3a})]

4. 특정한 경우의 약분

분자와 분모(≠0)가 같은 분수는 1로 약분된다.
분자가 분모(≠0)의 배수인 가분수는 (분자)/(분모)의 정수로 약분된다.
분자와 분모의 일의 자리부터 n자리가 모두 0이고, 그 이전의 자릿수를 떼어낸 결과의 두 수가 서로소인 경우, 분자와 분모를 각각 10ⁿ으로 나누면 된다. 예를 들어 1000/1700에서는 끝 2자리(십의 자리와 일의 자리)가 모두 0이고, 이 2자리를 떼어낸 두 수는 각각 10, 17로 서로소이다. 따라서 약분한 결과는 10/17이다.
분자와 분모의 가장 큰 자리부터 n자리가 서로 같고, 그 이후의 자릿수가 모두 0이면 분자가 더 큰 가분수의 경우 10^{(분자의 0의 개수)-(분모의 0의 개수)}의 정수로, 분모가 더 큰 경우 1/10^{(분모의 0의 개수)-(분자의 0의 개수)}으로 약분된다. 예를 들어 1300/130은 분자와 분모의 가장 큰 자리부터 2자리가 13으로 서로 같고, 분자가 더 크며, 분자의 0의 개수가 분모보다 1 많으므로 10^2-1=10으로 약분된다. 또, 8/800의 경우는 분자와 분모의 가장 큰 자리부터 1자리가 8로 서로 같고, 분모가 더 크며, 분모의 0의 개수가 분자보다 2 많으므로 1/10²=1/100(=0.01)으로 약분된다.
항등함수를 미분할 경우에도 약분과 비슷하게 된다. [math(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} = 1)]이 성립한다.
더 나아가 [math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} f(x))]에서 [math(\mathrm{d}x)]를 '인수'처럼 취급해서 [math(\mathrm{d}y = f(x)\,\mathrm{d}x)]로 쓸 수 있다. 이렇게 할 수 있는 이유는 미분형식 문서 참조.

5. 관련 문서

[1] 원래는 '간단히 만든다'라는 뜻이다. [2] 관례적으로 공약수 중 무의미한 나누기가 되는 1은 제외한다. [3] 검색해봐도 사용 사례가 드물다. 의미없는 행동이라 그런듯. 아무튼 통분할 때는 적당한 공배수가 되도록, 분모와 분자에 1 초과하는 수를 곱한다.

약분

1. 개요

2. 방법

3. 예시

4. 특정한 경우의 약분

5. 관련 문서

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