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1. 개요
Mapping Class Group독일의 수학자 Max Dehn이 1922년 2월 22일 브로츠와프 대학교 콜로퀴움에서 처음으로 제시한 개념이다. 번역하자면 ' 사상분류 군'으로 옮길 수 있다.
이 문서에서 genus [math(g)]개, boundary [math(b)]개, puncture [math(n)]개 있는 surface를 [math(S_{g,b,n})]로, boundary가 없는 경우 [math(S_{g,n})]으로 표기하겠다.
Mapping class group은 어떤 manifold(혹은 orbifold) [math(X)]에 대해서 [math(X)]에서 [math(X)]로 가는 homeomorphism을 분류하여 공간들을 분류하는 개념이다. Mapping class group을 통해서 fundamental group이나 homology group을 통해서 구분하지 못하였던 puncture와 boundary를 구분해 낼 수 있으며, 해당 manifold에서 동일한 manifold로의 homeomorphism들의 구조를 구별해낼 수 있다. 2-dimensional manifold와 3-dimensional manifold의 연구가 활발하다.
자세한 내용을 위한 교재로는 A primer on mapping class groups를 참고하자.
2. 정의
manifold [math(S)]가 있다고 하자. 그렇다면 [math(\mathrm{Homeo}^{+}(S))]를 [math(S)]에서 [math(S)]로 가는 모든 orientation-preserving homeomorphism들의 group이라고 정의하자. 이 [math(\mathrm{Homeo}^{+}(S))]의 isotopy class를 생각할 수 있겠다. 예를 들어, identity map과 isotopic한 homeomorphism들의 group을 [math(\mathrm{Homeo}^{0}(S))]이라고 한다면, 우리는 [math(\mathrm{Homeo}^{+}(S)/\mathrm{Homeo}^{0}(S))]라는 quotient group을 생각해볼 수 있을 것이다.이 중 우리는 boundary [math(\partial S)]를 fix시키는 homeomorphism에 대해서 관심이 있다.
이런 boundary-fixing orientation-preserving homeomorphism들의 group을 [math(\mathrm{Homeo}^{+}(S, \partial S))]라고 한다면, 이를 isotopy class로 quotient를 시킨 [math(\mathrm{Homeo}^{+}(S, \partial S)/\sim)] 을 Mapping Class Group이라고 부르며, 이 문서에는 [math(\mathrm{Mod}(S))]라고 기술하겠다.
놀랍게도 2-manifold인 surface에서는 다음과 같은 성질이 존재한다.
[math(
\mathrm{Mod}(S) \\
= (\mathrm{Homeo}^{+}(S, \partial S)/\mathrm{homotopy}) \\
= (\mathrm{Diff}^{+}(S, \partial S)/\mathrm{smooth~isotopy}) \\
= \pi_{0}(\mathrm{Homeo}^{+}(S, \partial S)) \\
= \pi_{0}(\mathrm{Diff}^{+}(S, \partial S)) \\
)]
여기서 [math(\mathrm{Diff}^{+}(S, \partial S))]는 S에서 S로 가는 모든 boundary-fixing orientation-preserving diffeomorphism들의 group이다.
3. 예시
3.1. Unit Disk [math(D^{2})]
(Alexander Lemma) Unit disk의 mapping class group [math(\mathrm{Mod}(D^{2}))] 는 trivial group이다.
Homeomorphism [math(\phi : D^2 \rightarrow D^2)]을 생각해보자.
해당 homeomorphism [math(\phi))]에서 identity map으로 가는 isotopy를 반드시 찾을 수 있다.
다음과 같은 homotopy를 생각해보자.
[math(F(x,t)= \begin{cases}
(1-t)\phi \left( \frac{x}{1-t} \right) &~ (0\leq \left\vert x\right\vert < 1-t) \\
x &~ (1-t \leq \left\vert x\right\vert < 1)
\end{cases})]
해당 homotopy는 isotopy임이 쉽게 확인되므로 우리는 모든 orientation-preserving homeomorphism이 identity map과 isotopic함을 보일 수 있다. 따라서 [math(\mathrm{Mod}(D^{2})]는 trivial group이다.
이와 같이 once-punctured disk에 대해서도 같은 homotopy를 적용한다면 [math(\mathrm{Mod}(S_{0,1,1}))] 역시 trivial group임을 보일 수 있다.
3.2. Thrice-Punctured Sphere [math(S_{0,3})]
[math(\mathrm{Mod}(S_{0,3}) \simeq \Sigma_3)]
여기서 [math(\Sigma_3)]는 symmetric group을 말한다.쉽게 생각하면, 모든 homeomorphism들이 각각의 puncture들의 permutation으로 작용한다고 생각하면 된다.
증명은 독자 여러분들께 남기도록 하겠다. 매우 쉬우니 직접 해보길 바란다.
같은 방법으로, 다음 역시 성립한다.
[math(\mathrm{Mod}(S_{0,2})\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})]
하지만, 4개 이상의 puncture가 존재하는 sphere에 대해서는 permutation으로 생각할 수 없다는 것이 알려져 있다.
예시로, [math(\mathrm{Mod}(S_{0,4}) \simeq \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}) \ltimes (\mathbb{Z_{2} \times \mathbb{Z_{2}}}))] 이다.
3.3. 기타 Mod(S)
Annulus [math(A = S_{0,2,0})][math(\mathrm{Mod}(A)=\mathbb{Z})]
Torus [math(T^{2} = S_{1,1})]
[math(\mathrm{Mod}(T^2)=\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}))]
4. Dehn Twist
Dehn Twist는 한 가지의 homeomorphism을 다른 종류의 homeomorphism으로 바꾸는 연산이다.Annulus [math(A)]를 생각해보자.
이 때, Twist map [math(T : A \rightarrow A)] 를 다음과 같이 정의 해보자.
[math(T(\theta, t) = (\theta + 2\pi t,t))]
이는 위에서 본 [math(\mathrm{Mod}(A)=\mathbb{Z})] 의 generator임을 쉽게 확인할 수 있을 것이다.자, 이제 어떤 surface [math(S)]에 대해서, 한 개의 simple closed curve [math(\alpha)] 의 regular neighborhood [math(N)]을 생각해보자. 그리고 orientation-preserving embedding map [math(\phi : A \rightarrow N)]을 생각해보자.
이 때, [math(\alpha)]에 대한 [math(S)]에서 [math(S)]로의 homeomorphism을 얻을 수 있고, 이를 Dehn Twist [math(T_\alpha)]라 하고, 다음과 같이 정의한다.
[math(T_\alpha = \begin{cases} \phi \circ T \circ \phi^{-1}(x) &\mathrm{if} ~x \in N \\ x &\mathrm{if} ~ x \in S\backslash N \end{cases})]
이 때, 다음과 같은 사실들이 알려져 있다.
Fact 1.
[math(T_a = T_b \Rightarrow a=b)]
Fact 2.
[math(T_{f(a)} = fT_{a}f^{-1})]
Fact 3.
[math(a)]와 [math(b)]의 각 homotopy class에 대해서 최소의 intersection number를 [math(i(a,b))]라고 하자.
그렇다면 다음이 성립한다.
[math(\mathrm{if}~i(a,b)=0,~\mathrm{then}~T_{a}T_{b}=T_{b}T_{a} \\ \mathrm{if}~i(a,b)=1,~\mathrm{then}~T_{a}T_{b}T_{a}=T_{b}T_{a}T_{b})]
각각 disjointness relation과 braid relation이라 칭한다.Dehn Twist와 Mapping Class Group의 generator와의 관계에 대해서, 다음과 같은 매우 중요한 정리가 존재한다.
(Dehn-Lickorish) Mapping Class Group은 유한 개의 Dehn Twist로 generate된다.
5. Pure Mapping Class Group
어떤 surface [math(S_{g,n})]에 대해서 Pure Mapping Class Group은 [math(\mathrm{PMod}(S_{g,n}))]로 표기하며, 각각의 puncture을 고정시키는 homeomorphism들의 group을 isotopy class로 quotient group을 만든 것이라고 생각하면 된다. [math(\mathrm{PMod}(S_{g,n}))]가 [math(\mathrm{Mod}(S_{g,n}))]의 subgroup임은 자명하다.이 때, [math(\mathrm{PMod}(S_{g,n}))]에서 [math(\mathrm{Mod}(S_{g,n}))]로의 embedding map [math(a)]을 생각할 수 있을 것이다.
그리고, [math(\mathrm{Mod}(S_{g,n}))]에서 각각의 puncture를 permutation하는 것을 생각할 수 있으므로, [math(\Sigma_{n})]으로의 embedding map [math(b)] 역시 생각할 수 있다.
이 때, [math(b \circ a = 0)]임은 자명하므로, 다음과 같은 short exact sequence를 생각할 수 있다.
[math(1 \rightarrow \mathrm{PMod}(S_{g,n}) \rightarrow \mathrm{Mod}(S_{g,n}) \rightarrow \Sigma_{n} \rightarrow 1)]
이 short exact sequence는 split하므로, mapping class group을 symmetric group과 pure mapping class group의 semidirect product로 기술할 수 있다.6. Birman Exact Sequence
Surface [math(S_{g,n})]의 Euler characteristic [math(\chi (S_{g,n})<0)] 일 때 다음과 같은 short exact sequence가 존재한다.
[math(1 \rightarrow \pi_{1}(S_{g,n+1}) \rightarrow \mathrm{Mod}(S_{g,n+1}) \rightarrow \mathrm{Mod}(S_{g,n}) \rightarrow 1)]
다만, 위의 short exact sequence는 split하지 않는다.놀라운 사실은, 아래의 short exact sequence는 split한다.
[math(1 \rightarrow \pi_{1}(S_{g,n+1}) \rightarrow \mathrm{PMod}(S_{g,n+1}) \rightarrow \mathrm{PMod}(S_{g,n}) \rightarrow 1)]
이를 통해, puncture의 개수에 대한 induction으로 [math(\mathrm{PMod}(S_{g,n}))]을 계산할 수 있다.7. Dehn-Nielsen-Baer Theorem
이제, orientation-preserving과 orientation-reserving homeomorphism을 모두 생각해보자.
모든 homeomorphism들을 isotopy class로 quotient group을 만든 것을 extended mapping class group이라 하며, [math(\mathrm{Mod}^{\pm}(S))]로 표기한다.
orientation-preserving을 [math(1)]로, orientation-reserving을 [math(0)]으로 보내버려서 homeomorphism들을 [math(\mathbb{Z}_2)]로 embedding할 수 있다.
그러면 다음과 같은 short exact sequence가 존재한다.
[math(1 \rightarrow \mathrm{Mod}(S) \rightarrow \mathrm{Mod}^{\pm}(S) \rightarrow \mathbb{Z}_{2} \rightarrow 1)]
위의 exact sequence 역시 split한다.이때, extended mapping class group과 fundamental group의 automorphism group간의 관계가 다음과 같이 존재한다.
(Dehn-Nielsen-Baer) [math(\mathrm{Mod}^{\pm}(S_{g}) \simeq \mathrm{Out}(\pi_{1}(S_{g})))]
정말 놀랍지 않은가?!?!?!?!