mir.pe (일반/어두운 화면)
최근 수정 시각 : 2024-12-21 15:35:08

리치 텐서

<rowcolor=#fff> ' 기하학· 위상수학
 '
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" 		평면기하학에 대한 내용은 틀:평면기하학 참고.
기본 대상
공리 유클리드 기하학 · 비유클리드 기하학
도형 기본 도형 평면 · 부피 · 꼬인 위치 · 각기둥 · 각뿔 · 원기둥 · 원뿔 · 구 ( 공 모양) · 전개도 · 겨냥도 · 다면체 ( 정다면체) · 정사영 · 대칭( 선대칭 · 점대칭)
곡면 타원면 · 타원포물면 · 쌍곡포물면 · 원환면
프랙털 도형 시에르핀스키 삼각형 · 시에르핀스키 사각형( 멩거 스펀지) · 망델브로 집합 · 코흐 곡선 · 드래곤 커브
기타 다포체 · 초구 · 준구 · 일각형 · 이각형
다루는 대상과 주요 토픽
대수기하학 대수다양체 · 층 · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브 · 타원곡선
미분기하학 미분다양체 · 측지선 · 곡률( 스칼라 곡률 · 리만-크리스토펠 곡률 텐서 · 리치 텐서) · 열률 · 텐서 · 쌍곡 공간( 쌍곡삼각형 · 푸앵카레 원반) · 타원 공간( 구면삼각형) · 아핀접속
위상수학 위상 공간 유계 · 옹골 집합 · 다양체 · 택시 거리 공간 · 연결 공간 · 위상수학자의 사인곡선
위상도형 사영평면 · 뫼비우스의 띠 · 클라인의 병 · 매듭( /목록)
주요 성질·정리 분리공리 · 우리손 거리화정리( 우리손 보조정리) · 베르 범주 정리
대수적 위상수학 호모토피 · 사슬 복합체 · 호몰로지 이론( 호몰로지 · 코호몰로지) · 사상류 군 · 닐센-서스턴 분류
기타 차원 · 좌표계 · 거리함수 · 그물 · 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제 · 사이클로이드
정리·추측
실베스터-갈라이 정리 · 해안선 역설 · 바나흐-타르스키 역설 · 라이데마이스터 변환 · 오일러 지표 · 푸앵카레 정리 · 페르마의 마지막 정리 · 호지 추측미해결 · 버치-스위너턴다이어 추측미해결
분야
논증기하학 · 대수기하학 · 미분기하학 · 해석 기하학 · 매듭이론 · 프랙털 이론 · 정보기하학 · 위상 데이터분석 }}}}}}}}}

1. 개요2. 크리스토펠 기호와 리만-크리스토펠 곡률 텐서3. 리치 스칼라 곡률4. 리만-리치 항등식
4.1. 아인슈타인 텐서 행렬4.2. 메트릭 텐서 행렬4.3. 아인슈타인 텐서 계산
5. 관련 문서

1. 개요

리만-크리스토펠 곡률 텐서( 리만 곡률 텐서,Riemann-Christoffel curvature tensor)의 주대각합(trace) 성분으로 표현되는 리치 텐서(리치-쿠르바스트로 텐서,Ricci-Curbastro tensor)는 리만 곡률 텐서의 축약(contraction)을 보여준다. 또한 이러한 맥락(context)에서 리치 텐서(Ricci tensor)의 주대각합(trace) 텐서축약(tensor contraction)은 스칼라 곡률인 리치 스칼라 곡률(Ricci scalar curvature)을 보여준다.

2. 크리스토펠 기호와 리만-크리스토펠 곡률 텐서

크리스토펠 기호 [math(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\alpha}(g_{\nu\alpha, \mu} + g_{\mu\alpha, \nu} - g_{\mu\nu, \alpha}))] 로부터
리만-크리스토펠 곡률 텐서([math(R_{132}^{4})],리만 곡률 텐서)를 대각합(trace)으로 텐서축약(tensor contraction)하여 리치 텐서를 얻을수있다.
[math( tr \left(R_{321}^{4} \right)= R_{132}^{2}=R_{13})]이므로
리치 텐서([math(R_{13})],리치-쿠르바스트로 텐서)는
리만-크리스토펠 곡률 텐서가 [math(R_{321}^{4} = \Gamma^{4}_{31, 2} - \Gamma^{4}_{21, 3} + \Gamma^{4}_{20}\Gamma^{0}_{31} - \Gamma^{4}_{30} \Gamma^{0}_{21} )] 일때 이것으로부터 4대신 2를 대입하여
[math(R_{321}^{4} = R_{321}^{2} = \Gamma^{2}_{31,2 } - \Gamma^{2}_{21, 3} + \Gamma^{2}_{20}\Gamma^{0}_{31} - \Gamma^{2}_{30} \Gamma^{0}_{21} = R_{31} =R_{13} )]
리치 텐서 [math(R_{13})]를 얻을수있다.

3. 리치 스칼라 곡률

스칼라 곡률(scalar curvature)은 리치 텐서(Ricci tensor)의 주대각합(trace) 텐서축약(tensor contraction)으로부터 조사할수있다.
리만곡률텐서 1 리만곡률텐서 2 리치텐서 스칼라 곡률1 스칼라 곡률2
[math(R_{4321} )] [math( g^{42} R_{4321}= R_{321}^{2})] [math(R_{31} )] [math( R^{3}_{3} )] [math(R)]
또한 리치텐서가 리만곡률텐서에서 축약된 맥락에서처럼 스칼라 곡률(Ricci scalar curvature,리치스칼라곡률)도 리만곡률텐서의 축약인 리치텐서에서 표현된다고 할수있다.
[math( g^{31} R_{31} = R^{3}_{3}=R )]

4. 리만-리치 항등식

1901년 리치(Ricci, M.M.G.)와 레비-치비타(T., Levi-Civita)의 공저 <절대미분 계산의 방법과 그 응용>(직역)에서 리치(-레비-치비타) 텐서를 제안할때 리치-레비-치비타 항등식(제1 비앙키 항등식)을 사용하였다.[다]
[math( C_{rst}+C_{str} + C_{trs} = 0 )]

1902년 루이지 비앙키(Luigi Bianchi)가 비앙키 항등식을 제안할때 리만기호(Riemann symbol)인 리만-크리스토펠 곡률 텐서를 사용한 리만-리치 항등식(Riemann identities)을 도입하였다.[가]

[math( (rk,ih) = \dfrac{\partial }{\partial x_h} \begin{bmatrix} ri \\ k \end{bmatrix} - \dfrac{\partial }{\partial x_i} \begin{bmatrix} rh \\ k \end{bmatrix} + \displaystyle\sum_{\lambda,\mu}^{1...n} A_{\lambda \mu} \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} rh \\ \lambda \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} ik \\ \mu \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} ri \\ \lambda \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} hk \\ \mu \end{bmatrix} \end{Bmatrix} )]
리만-크리스토펠 곡률 텐서의 주요한 성질을 보여주는 리만 항등식들
이들 같은 항등식인 리치(-레비-치비타)항등식과 리만-리치 항등식은 현대 리만 기하학에서 관례로 비앙키 항등식들중 제1 비앙키 항등식으로 통용되고 있다.

4.1. 아인슈타인 텐서 행렬

크리스토펠 심볼(Christoffel symbol)을 사용한 계량텐서함수로 계산되는 리치텐서 행렬은 스칼라곡률을 제공하며 이렇게 얻은 리치텐서와 리치스칼라곡률(Ricci scalar curvature)로부터 최종적으로 아인슈타인 텐서를 얻을수있다. 영국의 천문학자 아서 스탠리 에딩턴(Arthur Stanley Eddington, FRS)교수가 1923년에 제안한 리치텐서의 크리스토펠 행렬 예시. [나][라]38.5
[math(\Gamma^{1}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \dfrac{1}{2}\lambda' \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && -r e^{-\lambda} \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -r sin^2 \theta e^{-\lambda} \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && \dfrac{1}{2}e^{v-\lambda}v' \end{array} \right) )]
[math( \Gamma^{1}_{11} =\dfrac{1}{2}\lambda' , \Gamma^{1}_{22}= -r e^{-\lambda}, \Gamma^{1}_{33} = -r sin^2 \theta e^{-\lambda} , \Gamma^{1}_{44}=\dfrac{1}{2}e^{v-\lambda}v' )]
[math(\Gamma^{2}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && \dfrac{1}{r} \;\; && 0 \;\; && 0 \\ \dfrac{1}{r} \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -\sin \theta \cos \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) )]
[math( \Gamma^{2}_{12}= \Gamma^{2}_{21}= \dfrac{1}{r} , \Gamma^{2}_{33} = -\sin \theta \cos \theta)]
[math(\Gamma^{3}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && \dfrac{1}{r} \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \\ \dfrac{1}{r} \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) )]
[math( \Gamma^{3}_{13}=\Gamma^{3}_{31}= \dfrac{1}{r} ,\Gamma^{3}_{23}=\Gamma^{3}_{32}= \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta )]
[math(\Gamma^{4}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && \dfrac{1}{2}v' \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ \dfrac{1}{2}v' \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) )]
[math( \Gamma^{4}_{14} = \Gamma^{4}_{41} = \dfrac{1}{2}v' )]

4.2. 메트릭 텐서 행렬

1921년 옙센 정리(Jebsen theorem)[바] 그리고 1921년과1923년 아서 스탠리 에딩턴(A. S. Eddington)이 제안한 에딩턴 방법(Eddington method)[라]에 따른 메트릭(계량) 텐서와 크리스토펠심볼 행렬
[math(ds^2 = g_{11}dr^2 + g_{22}d\theta^2 + g_{33}d\phi^2 + g_{44}dt^2 )]
[math(ds^2 = -\lambda dr^2 -r^2 d\theta^2 -r^2 \sin^2\theta d\phi^2 + v dt^2 )]로부터
[math( g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 \sin^2\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & v \end{pmatrix} )]
[math(\{ \mu\nu,\alpha\} = \dfrac{1}{2}g^{\sigma \alpha} \left( \dfrac{\partial g_{\mu\sigma}}{\partial x_{ \nu}} + \dfrac{\partial g_{\sigma\nu}}{\partial x_{\mu}} - \dfrac{\partial g_{\nu\mu}}{\partial x_{\sigma}} \right) )] 크리스토펠심볼이다. 그리고 [math( g^{\square^1 \square^2} , \square^1 \neq \square^2 = 0 )] 이므로
[math(\{ \mu\mu,\mu \} = \dfrac{1}{2}g^{\mu\mu} \dfrac{\partial g_{\mu\mu}}{\partial x_{\mu}} , \{ \mu\mu,\nu \} = -\dfrac{1}{2}g^{\nu\nu} \dfrac{\partial g_{\mu\mu}}{\partial x_{\nu}} ,\{ \mu\nu,\nu \} = \dfrac{1}{2}g^{\nu\nu} \dfrac{\partial g_{\nu\nu}}{\partial x_{\mu}} , \{ \mu\nu,\sigma \} = 0)]
따라서
[math(\{ 11,1 \} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\lambda} \lambda' = \Gamma^{1}_{11})]
[math(\{ 22,1 \} = -\dfrac{1}{2} 2r\lambda^{-1} = \Gamma^{1}_{22})]
[math(\{ 33,1 \} = -\dfrac{1}{2} 2r\sin^2\theta\lambda^{-1} = \Gamma^{1}_{33})]
[math(\{ 44,1 \} = \dfrac{1}{2} v'\lambda^{-1} = \Gamma^{1}_{44})]
[math(\{ 12,2 \} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{r^2}2r = \dfrac{1}{r}=\Gamma^{2}_{12}= \Gamma^{2}_{21})]
[math(\{ 13,3 \} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{r^2 \sin^2 \theta}2r\sin^2 \theta = \dfrac{1}{r}=\Gamma^{3}_{13}= \Gamma^{3}_{31})]
[math(\{ 14,4 \} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{v}v' = \Gamma^{4}_{14}= \Gamma^{4}_{41})]
[math(\{ 23,3 \} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{r^2 \sin^2 \theta} r^2 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta = \Gamma^{3}_{23} )]
[math(\{ 33,2 \} = - \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{r^2} r^2 2\sin\theta\cos\theta = -\sin\theta\cos\theta = \Gamma^{2}_{33} )]

4.3. 아인슈타인 텐서 계산

일반적으로 잘 알려진 아인슈타인 장 방정식의 리치 텐서[마][8]5.9 [라]38.5
[math( R_{11} = \dfrac{1}{2} v' -\dfrac{1}{4}\lambda ' v' -\dfrac{1}{4} v'' - \dfrac{\lambda '}{r} )] [라]38.61
[math( R_{22} = e^{-\lambda} \left( 1 + \dfrac{1}{2}r(v' - \lambda') \right) -1 )][라]38.62
[math( R_{33} = sin^{2}\theta e^{-\lambda} \left( 1 + \dfrac{1}{2}r(v' - \lambda') \right) -sin^{2}\theta )][라]38.63
[math( R_{44} = e^{v -\lambda }\left( -\dfrac{1}{2} v' +\dfrac{1}{4}\lambda ' v' +\dfrac{1}{4} v'' - \dfrac{v'}{r} \right) )][라]38.64
4개의 크리스토펠심볼(접속계수)행렬로부터 옙센 정리를 사용하면 쉽고 빠르게 아인슈타인 텐서를 얻고 리치 스칼라 곡률을 조사할 수 있다.

5. 관련 문서

[다] \[직역\]절대미분 계산의 방법과 그 응용 Ricci, M.M.G., and T., Levi-Civita. "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications." Mathematische Annalen 54 (1901): 125-201. http://eudml.org/doc/157997 P142 Chapitre I §6,P183 Chapitre V §2 [가] Rendiconti by Accademia nazionale dei Lincei. Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali Language Italian Volume ser.5:v.11:sem.1 (1902) Matematica - Sui simboli a quattro indici e sulla curvatura di Riemann. Nota del Socio Luigi Bianchi P3-7 https://archive.org/details/rendiconti51111902acca/page/n9/mode/2up [나] 아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서 (Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie) Royal Prussian Academy of Science (Reimer, Berlin 1916, pp. 189-196) 저자: 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild) # [라] THE MATHEMATICAL THEORY OF RELATIVITY BY A. S. EDDINGTON, M.A., M.Sc., F.R.S. ,PLUMIAN PROFESSOR OF ASTRONOMY AND EXPERIMENTAL PHILOSOPHY IN THE UNIVERSITY OF CAMBRIDGE 1923 # [바] Jebsen, J. T. ,Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum. (German) JFM 48.1037.02 , Ark. för Mat., Astron. och Fys. 15, No. 18, 9 p. (1921). # [라] [마] J. T. Jebsen,(English)On the general spherically symmetric solutions of Einstein’s gravitational equations in vacuo(Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum 1921), Published online: 22 November 2005 Springer-Verlag ,Gen. Relativ. Gravit. (2005) 37(12): 2253–2259 DOI 10.1007/s10714-005-0168-y [8] Birkhoff ’s theorem in general relativity ,Willem van Oosterhout 2019 ,§ 5.3 Calculating the Einstein equatio P24 # [라] [라] [라] [라] [라]

분류