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1. 개요
그물은 유향집합을 정의역으로 갖는 함수로, 점렬의 일반화이다.2. 배경
거리공간에서 성립하는 점렬에 관한 성질은 일반적인 위상공간에서 성립하지 않는 경우가 있다.- 거리공간에서 점렬의 극한을 보존하는 함수는 연속이지만 일반 위상공간에서 함수가 점렬의 극한을 보존하는 것은 연속성을 함의하지 않는다.
- 거리공간에서 한 집합의 수렴하는 점렬의 극한 집합은 그 집합의 폐포이지만 일반 위상공간에서 점렬의 극한 집합은 폐포의 진부분집합일 수 있다.
3. 정의
3.1. 유향집합
다음과 같은 이항관계 [math(\lesssim)]가 주어진 집합 [math((A,\ \lesssim))]를 유향집합이라고 한다.- 모든 [math(\alpha\in A)]에 대하여 [math(\alpha\lesssim\alpha)].
- [math(\alpha\lesssim\beta,\ \beta\lesssim\gamma)]이면 [math(\alpha\lesssim\gamma)].
- 임의의 [math(\alpha,\ \beta)]에 대하여 [math(\alpha\lesssim\gamma,\ \beta\lesssim\gamma)]인 [math(\gamma\in A)]가 존재한다.
3.2. 그물
집합 [math(X)]의 그물은 유향집합 [math((A,\ \lesssim))]에서 [math(X)]로 가는 함수이다. 그물은 점렬과 유사하게 [math(\{x_\alpha\}_{\alpha\in A})]와 같이 나타낸다. 그물 [math(\{x_\alpha\}_{\alpha\in A})]의 부분그물은 다음 조건을 만족시키는 사상 [math(\beta\mapsto\alpha_\beta)]이 주어진 그물 [math((y_\beta)_{\beta\in B})]이다.- 임의의 [math(\alpha_0\in A)]에 대하여 [math(\beta\gtrsim\beta_0\Rightarrow\alpha_\beta\gtrsim\alpha_0)]를 만족시키는 [math(\beta_0 \in B)]가 존재한다.
- [math(y_\beta = x_{\alpha_\beta})]
4. 성질
그물은 거리공간에서 점렬의 성질을 자연스럽게 대체한다.- 위상공간 [math(X)]와 부분집합 [math(E\subseteq X)]에 대하여 점 [math(x\in X)]가 [math(E)]의 집적점일 필요충분조건은 [math(x)]로 수렴하는 [math(E\setminus\{x\})]의 그물이 존재하는 것이다. [math(x\in \overline E)]일 필요충분조건은 [math(x)]로 수렴하는 [math(E)]의 그물이 존재하는 것이다.
- 두 위상공간 [math(X,\ Y)]에 대하여 함수 [math(f:X\to Y)]가 점 [math(x\in X)]에서 연속일 필요충분조건은 [math(x)]로 수렴하는 임의의 그물 [math(\{x_\alpha\})]에 대하여 그물 [math(\{f(x_\alpha)\})]가 [math(f(x))]로 수렴하는 것이다.
- 위상공간 [math(X)]의 점 [math(x)]에 대하여 [math(X)]의 그물 [math(\{x_\alpha\})]가 [math(x)]의 임의의 근방 [math(U)]에 빈번하게 속할 필요 충분 조건은 [math(x)]로 수렴하는 [math(\{x_\alpha\})]의 부분그물이 존재하는 것이다.