기본군

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1. 개요2. 정의3. 성질4. 기본군의 계산

4.1. 기본군이 자명군인 경우4.2. 기본군이 자명군이 아닌 경우

5. 관련 정리들

5.1. 자이페르트-반 캠펀 정리

1. 개요

基本群 / Fundamental group

기본군은 위상공간의 대수적 구조로, 공간에 존재하는 모든 회로들의 집합에 연속변형 동치류를 준 뒤 군의 구조를 부여한 것이다. 1895년 앙리 푸앵카레가 도입한 개념이기 때문에 푸앵카레 군이라고 부르기도 한다.

2. 정의

기본군을 정의하기 전에, 먼저 필요한 개념들을 정리하자. 아래에서 [math(X)]는 모두 고정된 위상공간이다.

[math(X)]의 두 경로 [math(f, g: I \to X)]가 주어져 있을 때, 만일 [math(f)]의 끝점과 [math(g)]의 시작점이 일치한다면[1] 두 경로를 이어서 하나의 경로를 만들 수 있을 것이다. 이를 두 경로의 곱(product)이라고 부르며, 다음과 같이 정의한다.

[math(h(t) = \begin{cases} f(2t), & \textsf{if }0 \le t \le \dfrac 12 \\ g(2t - 1), & \textsf{if }\dfrac 12 \le t \le 1 \end{cases})]

붙임 보조정리를 사용하면 [math(h: I \to X)]가 연속인 것은 쉽게 알 수 있고, 따라서 [math(h)]도 [math(X)]의 경로가 된다. 두 경로의 곱 [math(h)]를 [math(f \cdot g)]라 표기하기도 한다.

또한 [math(x_0 \in X)]에 대하여, 항상 [math(f(t) = x_0)]인 함수를 생각할 수도 있다. 이 함수가 연속임은 자명하고, 이는 시작점과 끝점이 같으므로 회로가 된다. 이 회로 [math(f: I \to X)]에는 자명 회로(trivial loop)라는 이름이 있으며, 시작점이 [math(x_0 \in X)]인 자명 회로를 [math(c_{x_0})]라 표시하기도 한다. 마지막으로 경로 [math(f: I \to X)]가 있다고 할 때, 이 경로를 역방향으로 따라가는 것 또한 경로가 될 것이다. 이를 역경로(inverse path)라고 하며, [math(g(t) = f(1 - t))]로 정의한다. 이 [math(g: I \to X)]가 연속함수(즉, 경로)인 것은 당연하다.

이제 기본군을 정의할 준비가 다 되었다. 군에는 연산이 필요한데, 위에서 정의한 회로의 곱을 그 연산으로 하려고 한다. 그런데 단순히 두 경로의 곱을 연산으로 놓으면, 군의 구조는 커녕 항등원에 해당하는 원소도 존재하지 않음을 알 수 있다. 그래서 경로보다는 조금 더 좁은 범위인 회로로 생각을 제한하고, 거기에서도 적절한 동치관계를 부여하여야 한다. 이를 위해서는 연속변형류와 군에 관한 이해가 필요하다.

[ 정의 ] 기본군(Fundamental group)

주어진 경로연결 위상공간 [math(X)]와 한 점 [math(x_0 \in X)]에 대하여, 시작점과 끝점이 모두 [math(x_0)]인 회로의 집합 [math(\mathcal F)]를 생각하고 여기에 연속변형 동치관계 [math(\sim)] 를 주자. 이제 상집합 [math(\mathcal F / \sim)] 에 다음과 같은 연산[math(\ \cdot \ )]을 정의할 수 있다.

[math([f] \cdot [g] = [f \cdot g] \in \mathcal F / \sim)].

위와 같은 연산이 정의된 [math((\mathcal F / \sim, \ \cdot \ ))]는 군의 구조를 이룬다는 사실을 확인할 수 있다. 이를 위상공간 [math(X)]의 기본군(Fundamental group)라고 하며 기호로는 [math(\pi_1(X, x_0))]라고 표시한다.

이렇게 정의된 [math(\pi_1(X, x_0))]이 실제로 군의 구조를 갖는지 확인해 보자. [math([f], [g], [h] \in \pi_1(X, x_0))]를 고정하고, 자명 회로 [math(c_{x_0})]와 역회로 [math(\bar f)]를 생각하자. 이 자명 회로와 역회로는 각각 연산 [math(\ \cdot \ )]의 항등원, 역원이 될 예정이다.

결합 법칙(Associativity): [math(([f] \cdot [g]) \cdot [h] = [f] \cdot ([g] \cdot [h]))]가 성립.
이를 보이기 위해서는 연속변형 [math(H: I \times I \to X)]를 다음과 같이 정의하면 충분하다. 여기서 [math(t_1, t_2)]는 각각 [math(t_1 = \dfrac 14 + \dfrac 14 t, t_2 = \dfrac 12 + \dfrac 14 t)]로 정의된 값이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math(H(s, t) = \begin{cases} f \left( \dfrac s{t_1} \right), & \textsf{if }0 \le s \le t_1 \\ g \left(4 \cdot (s - t_1) \right), & \textsf{if }t_1 \le s \le t_2 \\ h \left( \dfrac {s - t_2}{1 - t_2} \right), & \textsf{if }t_2 \le s \le 1 \end{cases})]}}}

항등원의 존재(existence of idnetity): [math([f] \cdot [c_{x_0}] = [f] = [c_{x_0}] \cdot [f])]가 성립.
첫 번째 등식을 보이기 위해서는 연속변형 [math(H: I \times I \to X)]를 다음과 같이 정의하면 충분하다.[2] 여기서 [math(t_1)]은 [math(t_1 = \dfrac 12 - \dfrac 12 t)]로 정의된 값이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math(H(s, t) = \begin{cases} x_0, & \textsf{if }0 \le s \le t_1 \\ f \left( \dfrac {s - t_1}{1 - t_1} \right), & \textsf{if }t_1 \le s \le 1 \end{cases})]}}}

역원의 존재(existence of inverse): [math([f] \cdot [\bar f] = [c_{x_0}] = [\bar f] \cdot [f])]가 성립.
첫 번째 등식을 보이기 위해서는 연속변형 [math(H: I \times I \to X)]를 다음과 같이 정의하면 충분하다.[3] 여기서 [math(t_1, t_2)]는 각각 [math(t_1 = \dfrac 12 - \dfrac 12 t, t_2 = \dfrac 12 + \dfrac 12 t)]로 정의된 값이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math(H(s, t) = \begin{cases} x_0, & \textsf{if }0 \le s \le t_1 \\ f(s - t_1), & \textsf{if }t_1 \le s \le \dfrac 12 \\ f(t_2 - s), & \textsf{if }\dfrac 12 \le s \le t_2 \\ x_0, & \textsf{if }t_2 \le s \le 1 \end{cases})]}}}

즉, 위 사실들을 종합하면 [math(\pi_1(X, x_0))]는 해당 연산에 대한 군의 구조를 가진다.

3. 성질

기본군의 정의를 생각해 보면, 기본군은 위상공간 [math(X)]뿐만 아니라 기준점이 될 [math(x_0 \in X)]에도 의존함을 알 수 있다. 그렇기 때문에 단순히 [math(\pi_1(X))]가 아닌 [math(\pi_1(X, x_0))]의 표현을 써야 하는데, 이는 상당히 거추장스럽다. 다행스럽게도, 다음 명제에 의해 경로연결공간 한정으로 이를 무시할 수가 있다.

[ 명제 ] 주어진 경로연결 위상공간 [math(X)]와 두 점 [math(x_0, x_1 \in X)]을 생각하자. [math(X)]가 경로연결이므로, 적당한 경로 [math(h: I \to X)]에 가 존재하여 [math(h(0) = x_0)], [math(h(1) = x_1)]이 성립한다. 이제 시작점을 [math(x_1)]로 하는 회로 [math(f)]에 대해 경로의 곱 [math(h \cdot f \cdot \bar h)]를 생각할 수 있고, 이는 시작점이 [math(x_0)]인 회로가 된다. 즉, 다음과 같은 함수 [math(\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0))]를 생각할 수 있다.

[math(\beta_h([f]) = [h \cdot f \cdot \bar h])]

이 때, [math(\beta_h)]는 두 기본군 [math(\pi_1(X, x_1))], [math(\pi_1(X, x_0))]사이의 동형사상이다.

[ 증명 ]

* [math(\beta_h)]는 두 군 [math(\pi_1(X, x_1))], [math(\pi_1(X, x_0))]사이의 준동형사상이다.

실제로, [math([f], [g] \in \pi_1(X, x_1))]일 때,

[math(\begin{aligned} \beta_h([f] \cdot [g]) & = [h \cdot (f \cdot g) \cdot \bar h] \\ & = [h \cdot f \cdot (\bar h \cdot h) \cdot g \cdot \bar h] \\ & = [h \cdot f \cdot \bar h] \cdot [h \cdot g \cdot \bar h] \\ & = \beta_h([f]) \cdot \beta_h([g]) \end{aligned})]

이므로 [math(\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0))]는 준동형사상이 된다.

[math(\beta_h)]는 전사함수이다.
임의의 [math([f] \in \pi_1(X, x_0))]에 대하여, [math([\bar h \cdot f \cdot h] \in \pi_1(X, x_1))]이고
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math(\begin{aligned} \beta_h([\bar h \cdot f \cdot h]) & = [h \cdot (\bar h \cdot f \cdot h) \cdot \bar h] \\ & = [(h \cdot \bar h) \cdot f \cdot (h \cdot \bar h) ] \\ & = [f] \end{aligned})]}}}
이므로 [math(\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0))]는 전사함수이다.

[math(\beta_h)]는 단사함수이다.
두 [math([f], [g] \in \pi_1(X, x_0))]가 [math(\beta_h([f]) = \beta_h([g]))]를 만족한다면 [math([h \cdot f \cdot \bar h] = [h \cdot g \cdot \bar h])]이고,
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math(\begin{aligned} [f] & = [(\bar h \cdot h) \cdot f \cdot (\bar h \cdot h) ] \\ & = [\bar h \cdot (h \cdot f \cdot \bar h) \cdot h] \\ & = [\bar h \cdot (h \cdot g \cdot \bar h) \cdot h] \\ & = [(\bar h \cdot h) \cdot g \cdot (\bar h \cdot h) ] = [g] \end{aligned})]}}}
이므로 [math(\beta_h: \pi_1(X, x_1) \to \pi_1(X, x_0))]는 단사함수가 된다.□

이 명제로부터, 경로연결 위상공간 [math(X)]의 기본군은 시작점을 정하지 않아도 up to isomorphism 유일함을 알 수 있다. 따라서 굳이 기본군의 시작점을 표시할 필요가 없거나, 언급하지 않아도 당연한 경우 [math(\pi_1(X, x_0))]대신 [math(\pi_1(X))]의 표현도 사용한다.

한편 회로 자체가 연속함수이므로, 연속함수와 회로의 합성을 떠올리는 것은 자연스럽다. 그런데 이 연속함수는 (그 자연스러운 합성에 의해) 기본군에 작용하는데, 다음 정의는 그 작용이 기본군 사이의 준동형사상(homomorphism)이 됨을 알려준다.

[ 정의 ] 유도 준동형사상(Induced homomorphism)

두 위상공간 [math(X)], [math(Y)] 사이에 정의된 연속함수이면서, [math(y_0 = \varphi(x_0))]인 [math(\varphi: (X, x_0) \to (Y, y_0))]를 생각하자. 이 [math(\varphi)]로부터 기본군 사이의 준동형사상 [math(\varphi_*: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, y_0))]가 다음과 같이 자연스럽게 유도된다.

[math(\varphi_*([f]) = [\varphi \circ f] = [\varphi f])]

이 [math(\varphi_*)]를 두 기본군 [math(\pi_1(X, x_0))], [math(\pi_1(Y, y_0))]사이의 유도 준동형사상(Induced homomorphism)이라고 정의한다.

우선 우리가 정의한 사상 [math(\varphi_*)]의 Well-definedness를 확인해 주어야 한다.

[math(f: I \to X)]가 [math(f(0) = f(1) = x_0)]인 회로라면, [math(\varphi f: I \to Y)] 역시 회로로서 [math(\varphi f(0) = \varphi f(1) = y_0)]이 성립함은 거의 당연하다.
[math([f] = [g])]이면 두 회로 [math(f)]와 [math(g)]사이의 연속변형 [math(H_t: I \to X)]이 존재함을 의미한다. 이 때 [math(\varphi H_t: I \to Y)]는 [math(Y)]의 두 회로 [math(\varphi f)]와 [math(\varphi g)]사이의 연속변형이므로, [math([\varphi f] = [\varphi g])].

이렇게 [math(\varphi_*)]가 잘 정의됨을 확인했고, [math(f_1, f_2: I \to X)]가 [math(X)]의 두 회로라면

[math(\begin{aligned} \varphi_*([f_1] \cdot [f_2]) & = [\varphi (f_1 \cdot f_2) ] \\ & = [\varphi f_1 \cdot \varphi f_2] \\ & = [\varphi f_1] \cdot [\varphi f_2] \\ & = \varphi_*([f_1]) \cdot \varphi_*([f_2]) \end{aligned})]

이므로 [math(\varphi_*)]가 준동형사상임을 확인할 수 있다.

[ 명제 ] [math((X, x_0) \xrightarrow{\psi} (Y, y_0) \xrightarrow{\varphi} (Z, z_0))]일 때,

[math(\pi_1(X, x_0) \xrightarrow{\psi_*} \pi_1(Y, y_0) \xrightarrow{\varphi_*} \pi_1(Z, z_0))]로서 [math((\varphi \psi)_* = \varphi_* \psi_*)].
[math((\text{id}_X)_* = \text{id}_{\pi_1(X, x_0)})].

[ 증명 ]: 두 명제 모두 정의로부터 바로 도출된다. 그래도 적어보자면,

[math([(\varphi \psi )f] = [\varphi (\psi f) ])]

으로부터 첫 번째 명제가,

[math([\text{id}_X f] = [f] = \text{id}_{\pi_1(X, x_0)}([f]))]

에서 두 번째 명제가 증명된다.□

4. 기본군의 계산

4.1. 기본군이 자명군[4]인 경우

[ 정의 ] 단순연결공간(Simply connected space)

경로연결 위상공간 [math(X)]가 [math(\pi_1(X) \cong 0)][5]을 만족할 때, [math(X)]를 단순연결공간(Simply connected space)라고 한다.

[ 명제 ] 유클리드 공간 [math(\mathbb R^n)]에 매장(Embedding)된 볼록공간 [math(X)]와, 임의의 점 [math(x_0 \in X)]에 대하여 [math(\pi_1(X, x_0) \cong 0)]이다.

[ 증명 ]: 임의의 회로 [math(f: I \to X)]에 대하여, [math(f)]와 자명 회로 [math(c_{x_0})] 사이의 연속변형 [math(H: I \times I \to X)]를 다음과 같이 정의하자.

[math(H(s, t) = (1 - t)f(s) + tx_0)]

공간 [math(X)]가 볼록공간이므로, 위 연속변형은 잘 정의된다. 따라서 임의의 동치류 [math([f])]는 항등원 [math([c_{x_0}])]와 같고, 이는 [math(\pi_1(X, x_0) = \left\{ [c_{x_0}] \right\} \cong 0)]임을 설명한다.□

[ 명제 ] [math(n \geq 3)]일 때, [math(n)]차원 구

[math(S^{n - 1} = \left\{ (x_1, x_2, \cdots x_n) \in \mathbb R^n \ \biggl| \biggr. \ \displaystyle \sum _{i = 1}^n x_i ^2 = 1 \right\})]

에 대하여 [math(\pi_1(S^{n - 1}) \cong 0)]이다.

[ 증명 ]

[math(f: I \to S^{n - 1})]을 시작점이 [math(x_0)]인 [math(S^{n - 1})]의 회로라고 하자. 본 증명의 목표는 항상 [math([f] = [c_{x_0}])]가 성립함을 보이는 것이다.

[math(f)]가 함수로서 전사함수가 아니라면, [math(x \notin f(I))]인 [math(x \in S^{n - 1})]를 택할 수 있다. 그런데
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math(S^{n - 1} - \{ x \} \approx \mathbb R^{n - 1})]}}}
이고, 유클리드 공간 [math(\mathbb R^{n - 1})]은 단순연결공간이므로 [math([f] = [c_{x_0}])]이다.

이제 [math(f)]가 전사함수라고 가정하자. [math(x_0 \neq x)]인 [math(x \in S^{n - 1})]와 [math(x)]의 열린근방 [math(B = B(x, \delta) \subset S^{n - 1})]을 생각하자.[6] [math(f)]가 연속이므로, [math(f^{-1}(B) \subset I)] 역시 열린집합이며 이는 서로소인 가산개의 구간 [math(\left\{(a_i, b_i)\right\}_{i \in \mathbb N})]의 합집합으로 표현된다.

이번에는 집합 [math(f^{-1}(x))]를 생각하는데, [math(f)]가 연속이므로 [math(f^{-1}(x) \subset I)]는 닫힌집합이다. 하이네-보렐 정리에 의해 실수 집합 [math(\mathbb R)]의 유계닫힌집합 [math(f^{-1}(x))]는 옹골집합임을 알 수 있다. 그런데 [math(\left\{(a_i, b_i)\right\}_{i \in \mathbb N})]는 [math(f^{-1}(x))]의 열린덮개가 되므로, 유한 부분덮개 [math(\left\{(a_i, b_i)\right\}_{1 \leq i \leq k})]가 존재함을 안다.

함수 [math(f)]를 구간 [math([a_i, b_i])]에 한정시키면, 상 [math(f([a_i, b_i]))]는 열린 공 [math(B = B(x, \delta))]의 폐포 [math(\bar B = \bar B(x, \delta))]의 부분집합이 된다. 이 때, [math(f(a_i), f(b_i) \in \partial \bar B)]. [math(\delta > 0)]을 충분히 작게 잡았으므로, [math(\bar B \cap S^{n - 1})]이 단순연결공간이라 가정할 수 있고, 따라서 [math(\bar B)]의 경로 [math(f \rvert_{[a_i, b_i]})]를 적절히 [math(\partial \bar B)]의 경로 [math(g_i: [a_i, b_i] \to \partial \bar B)]로 연속변형 시킬 수 있다.

이 연속변형을 [math(\bar H_i: [a_i, b_i] \times I \to \bar B)]라 할 때, 함수 [math(H_i: I \times I \to S^{n - 1})]을{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(H_i(s, t) = \begin{cases} f(s), & \textsf{if }s \notin [a_i, b_i] \\ \bar H_i(s, t), & \textsf{if }s \in [a_i, b_i] \end{cases})]}}}

로 정의하면 이 역시 연속변형이 된다. 모든 [math(1 \leq i \leq k)]에 대해 연속변형 [math(H_i)]를 합성한 연속변형 [math(H: I \times I \to S^{n - 1})]을 생각할 수 있다. [math(h: I \to S^{n - 1})]을 [math(h(s) = H(s, 1))]로 정의하면, 정의에 의해 [math([f] = [h])]이고{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(h \left( \displaystyle \bigcup_{1 \leq i \leq k} [a_i, b_i] \right) \subset \partial \bar B)]
[math(h(s) = f(s) \ \ \ \forall s \notin \displaystyle \bigcup_{1 \leq i \leq k} [a_i, b_i])]}}}

를 얻는다. [math(x \notin \partial \bar B)]이고 [math(f^{-1}(x) \subset \displaystyle \bigcup_{1 \leq i \leq k} [a_i, b_i])]이므로, [math(h(s) = x)]인 [math(s \in I)]가 존재하지 않음을 알 수 있다. 즉 [math(h: I \to S^{n - 1})]은 전사함수가 아니며, 위에서 보인 바와 같이 [math([h] = [c_{x_0}])]이 된다. [math(\ \ \therefore [f] = [h] = [c_{x_0}])].□

4.2. 기본군이 자명군이 아닌 경우

[ 명제 ] 2차원 평면 [math(\mathbb R^2)]위의 단위원 [math(S^1 = \{ (x, y) \ | \ x^2 + y^2 = 1 \})]을 생각하자. 이 때 [math(\pi_1(X, (1, 0)) \cong (\mathbb Z, +))]이며, 두 군 사이의 동형사상 [math(\phi: \pi_1(X) \to \mathbb Z)]는 다음과 같다.

[math(\phi([\omega_n]) = n)]

여기서 회로 [math(\omega_n: I \to S^1)]은

[math(\omega_n(t) = (\cos 2n\pi t, \sin 2n\pi t))][7]

이다.

이 사실과 자이페르트-반 캠펀 정리를 이용하면, 기초 대수적 위상수학에서 접할 수 있는 거의 모든 대상의 기본군들을 계산해 낼 수 있다.

5. 관련 정리들

[ 명제 ]

[math(A)]가 [math(X)]의 수축이면, 포함함수 [math(\imath: A \xhookrightarrow{} X)]로부터 유도된 준동형사상 [math(\imath_*: \pi_1(A) \to \pi_1(X))]는 단사함수이다.
만약 [math(A)]가 [math(X)]의 변형수축이라면, [math(\imath_*)]는 동형사상이다.

[ 증명 ]

* [math(r: X \to A)]가 수축이라면, [math(r \imath = \text{id})]이므로 [math(r_* \imath_* = \text{id})]. 따라서 [math(\imath_*)]는 단사 동형사상이다.

[math(r_t: X \to X)]가 변형수축이라고 하자. [math(X)]의 임의의 회로 [math(f)]는 연속변형 [math(r_tf: X \to X)]에 의해 [math(A)]의 회로 [math(r_1f)]로 옮겨지므로,
{{{#!wiki style="text-align: center"

[math([f] = [r_0f] = [r_1f] = \imath_*([r_1f]))].}}}
따라서 [math(\imath_*)]는 전사 동형사상이다.□

즉, 서로 변형수축 관계인 두 공간은 동형인 기본군을 가진다. 이는 기본군의 계산에 상당히 요긴하게 사용되는 명제이며, 역으로 이 명제를 이용해 수축/변형수축이 존재하지 않음을 보일 수도 있다.

[ 명제 ] [math(\varphi: X \to Y)]가 연속변형 동치이면, 이 [math(\varphi)]로부터 유도된 준동형사상 [math(\varphi_*: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, \varphi(x_0)))]는 동형사상이다.

5.1. 자이페르트-반 캠펀 정리

[ 정리 ] 자이페르트-반 캠펀 정리(Seifert-van Kampen theorem)

위상공간 [math(X)]와 점 [math(x_0 \in X)]가 주어져 있고, [math(X)]의 부분공간 [math(\left\{ A_\alpha \right\}_{\alpha \in I})]들이 [math(X = \displaystyle \bigcup _{\alpha \in I} A_\alpha)]를 만족한다고 하자. 이 때, 포함함수 [math(\imath_\alpha: A_\alpha \xhookrightarrow{} X)]로부터 유도되는 준동형사상 [math(\imath_{\alpha *}: \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X_\alpha))]을 생각할 수 있다. 자유군의 보편 성질에 의해, 다음을 만족하는 준동형사상 [math(\Phi: {\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X))]가 유일하게 존재한다.

[math(\Phi([f]) = \imath_{\alpha *}([f]) \ \ \ \forall \alpha \in I, \forall [f] \in \pi_1(A_\alpha))]

이제 [math(\left\{ A_\alpha \right\}_{\alpha \in I})]가 다음 조건들을 만족한다면, 위 준동형사상 [math(\Phi)]는 전사함수이다.

임의의 [math(\alpha \in I)]에 대하여, [math(A_\alpha)]는 점 [math(x_0)]를 포함하는 경로연결 열린공간.
임의의 [math(\alpha, \beta \in I)]에 대하여, [math(A_\alpha \cap A_\beta)]는 경로연결공간.

추가로, 다음 조건이 주어져 있는 경우를 생각할 수 있다.

임의의 [math(\alpha, \beta, \gamma \in I)]에 대하여, [math(A_\alpha \cap A_\beta \cap A_\gamma)]는 경로연결공간.

여기서 포함함수 [math(A_\alpha \cap A_\beta \xhookrightarrow{} A_\alpha)]에 의해 유도되는 준동형사상을 [math(\imath_{\alpha \beta}: \pi_1(A_\alpha \cap A_\beta) \to \pi_1(A_\alpha))]라 놓자. 이 때 준동형사상 [math(\Phi)]의 핵 [math(N = \text{ker } \Phi)]은 자유군 [math({\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha))]의

[math(\imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} \ \ \ \forall \omega \in \pi_1(A_\alpha \cap A_\beta))]

와 같은 단어(word)들로 생성되는 정규부분군이다. 즉,

[math(\pi_1(X) \cong {\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha) \Bigl/ \Bigr. \left\langle \imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} \right\rangle)]

이 성립한다.(제1 동형사상 정리.)

사실, 위 함수들의 구성에 의해 [math(\imath_{\alpha *} \circ \imath_{\alpha \beta} \equiv \imath_{\beta *} \circ \imath_{\beta \alpha})]임을 알 수 있고 이는 포함함수 [math(A_\alpha \cap A_\beta \xhookrightarrow{} X)]로부터 유도된다. 그렇기 때문에, 각 원소 [math(\omega \in \pi_1(A_\alpha \cap A_\beta))]에 대하여 단어 [math(\imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1})]는 [math(\pi_1(X))]의 자명한 원소를 가리켜야만 하고 이로부터 핵 [math(N = \text{ker } \Phi)]은 군 [math(\left\langle \imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} \right\rangle)]을 포함해야만 한다. 자이페르트-반 캠펀 정리는 정확히 이 군과 핵 [math(N)]이 같음을 주장하고 있다. 이 정리를 이용하면 굉장히 많은 종류의 공간들의 기본군을 간단히 계산해 낼 수 있다!

아래 정리들은 따름정리들이다.

[ 따름정리 ] 위상공간 [math(X)]와 점 [math(x_0 \in X)]가 주어져 있고, [math(X)]의 부분공간 [math(\left\{ A_\alpha \right\}_{\alpha \in I})]들이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

[math(X = \displaystyle \bigcup _{\alpha \in I} A_\alpha)].
임의의 [math(\alpha \in I)]에 대하여, [math(A_\alpha)]는 점 [math(x_0)]를 포함하는 경로연결 열린공간.
임의의 [math(\alpha, \beta \in I)]에 대하여, [math(A_\alpha \cap A_\beta)]는 단순연결공간.
임의의 [math(\alpha, \beta, \gamma \in I)]에 대하여, [math(A_\alpha \cap A_\beta \cap A_\gamma)]는 경로연결공간.

이 때, 기본군 [math(\pi_1(X))]와 [math(\pi_1(A_\alpha))] 사이에

[math(\pi_1(X) \cong {\large *}_{\alpha \in I} \pi_1(A_\alpha))]

이 성립한다.

자이페르트-반 캠펀 정리의 자명한 응용. [math(A_\alpha \cap A_\beta)]의 단순연결성에 의해, 해당 정리에 나오는 핵 [math(N)]을 구성하는 모든 단어들은 자명한 단어 뿐이다. 즉 [math(N \cong 0)]이므로 결론이 바로 얻어진다.

[ 따름정리 ] 경로연결공간 [math(X)]과 2-세포(2-cell) [math(e_\alpha^2 (\alpha \in I))]들이 주어져 있을 때, 이 2-세포들을 부착사상(Attaching map) [math(\varphi_\alpha: S^1 \to X)]를 이용하여 붙인 위상공간을 [math(Y)]라 하자. 이제 이 2-세포들이 붙어있는 경계 [math(\varphi_\alpha (S^1))]은 [math(X)]의 회로로 볼 수 있다. 한편 [math(X)]가 경로연결공간이므로 [math(x_0)]와 [math(\varphi_\alpha (S^1))]의 시점 [math(x_\alpha)]를 잇는 경로 [math(\gamma_\alpha)]가 존재한다. 이 때 [math(\xi_\alpha = \gamma_\alpha \cdot \varphi_\alpha (S^1) \cdot \bar \gamma_\alpha)]는 시작점이 [math(x_0)]인 [math(X)]의 회로이다.

여기서, 기본군 [math(\pi_1(Y))]와 [math(\pi_1(X))] 사이에

[math(\pi_1(Y, x_0) \cong \pi_1(X, x_0) \bigl/ \bigr. \left\langle \xi_\alpha \ \rvert \ \alpha \in I \right\rangle)]

가 성립한다.

[ 따름정리 ] 위 따름정리에서 2-세포 대신 [math(n \geq 3)]인 [math(n)]-세포 [math(e_\alpha^n)]들을 붙였다면, [math(\pi_1(Y, x_0) \cong \pi_1(X, x_0))]이다.

위 두 따름정리들은 CW 복합체의 기본군 계산을 편하게 해 준다. 특히, 아래 정리로부터 임의의 CW 복합체 [math(X)]의 기본군 [math(\pi_1(X))]은 그 2-뼈대(2-skeleton) [math(X^2)]의 기본군 [math(\pi_1(X^2))]와 같음을 알 수 있다.

[1] 즉, [math(f(1) = g(0))]인 경우 [2] 두 번째 등식도 비슷한 방법으로 증명 가능. [3] 두 번째 등식도 비슷한 방법으로 증명 가능. [4] 원소가 항등원 단 하나인 군. [5] 즉, 자명군과 동형일 때 [6] [math(\delta > 0)]은 충분히 작게 잡아줘야 한다. [7] 단위원 [math(S^1)]을 시계방향으로 [math(n)]바퀴 따라 돌아가는 회로.

기본군

1. 개요

2. 정의

3. 성질

4. 기본군의 계산

4.1. 기본군이 자명군[4]인 경우

4.2. 기본군이 자명군이 아닌 경우

5. 관련 정리들

5.1. 자이페르트-반 캠펀 정리

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