우리손 거리화정리

증명단계
1. 제2가산 정규공간은 거리화 가능 공간이다.
1. 제2가산 정칙공간은 정규공간이다.[2]

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필요한 성질
1. 힐베르트 공간은 거리화 가능 공간이다.
1. 우리손 보조정리
1. [math(T_4)] 공간은 정칙공간([math(T_3)] 공간)이며 [math(T_1)] 공간이기도 하다

(1) [math(X)]가 유한집합이라면 [math(X)]는 이산공간이므로 같은 개수의 원소를 갖는 [math((\mathbb{R}^{\infty}, d))]의 부분공간과 위상동형이다.
(2) [math(X)]가 무한집합이라고 하자. 가정에 의해 [math(X)]는 제2가산 정규공간이므로 가산기저

[math(\mathcal{B}=\{B_1, B_2, \cdots, B_n, \cdots\})](단, [math(B_i\neq X, B_i\neq\emptyset, i \in \mathbb{N})])

가 존재한다.

[math(X)] 상에서 서로 다른 두 점 [math(x, y)]를 택하자. [math(X)]는 정규공간이므로 [math(T_1)] 공간이기도 하기에 적당한 [math(B_i \in \mathcal{B})]가 존재하여, [math(x\in B_i, y\notin B_i)]가 되도록 만들 수 있다. 또한 정규 공간은 [math(T_3)]공간이기도 하므로 적당한 [math(B_j \in \mathcal{B})]가 존재하여,

[math(x \in \overline{B_j}\subset B_i, y\in B_{i}^{c})]

이다.
[math((B_j, B_i) \in \mathcal{B}^{*})]이므로 적당한 [math(n)]이 존재하여 [math((B_j, B_i)=\left(B_{j_n}, B_{i_n}\right))]이다. 즉 [math(B_j=B_{j_n}, B_i=B_{i_n})]. 따라서 [math(x \in \overline{B_{j_n}}, y \in B_{i_n}^{c})]이므로

[math(f_n(x)=0, f_n(y)=1)]

이다. 즉, [math(f(x))]와 [math(f(y))]의 [math(n)]번째 좌표가 다르므로 [math(f(x)\neq f(y))]. 따라서 단사이다.

각 점 [math(p \in X)]에서 [math(f)]가 연속임을 보이면 된다.
임의의 양의 실수 [math(\epsilon)]을 택하자. [math(x\in X)]에 대하여

[math(\displaystyle \lVert f(x)-f(p) \rVert^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{f_n(x)-f_n(p)}{2}\right)^{2}\cdots(\ast))]

이고, [math(0\leq |f_n(x)-f_n(p)|\leq 1)]이므로

[math(\displaystyle \left(\frac{f_n(x)-f_n(p)}{2}\right)^{2}\leq \frac{1}{2^{2n}})]

이 되어, 식 [math((*))]의 우변은 수렴한다. 따라서 적당한 자연수 [math(n_0)]이 존재하여

[math(\displaystyle \lVert f(x)-f(p) \rVert^{2}=\sum_{n=1}^{n_0}\frac{|f_n(x)-f_n(p)|^2}{2^n}+\frac{\epsilon^2}{2})]

이다. 이 때, [math(f_n:X\to\left[0,1\right])] ([math(n \in \{1,2,\cdots,n_0\}))]가 연속이므로, 점 [math(p)]에서도 연속이 되며, 따라서 점 [math(p)]의 적당한 열린근방 [math(U_n)]이 존재하여 임의의 [math(x \in U_n)]에 대하여

[math(\displaystyle |f(x)-f(p)|^{2}<\frac{\epsilon^2\cdot2^{2n}}{2n_0})]

을 만족하도록 만들 수 있다. 이제 [math(\displaystyle U=\bigcap_{i=1}^{n_0}U_i)]이라 놓자. [math(U)]는 점 [math(p)]의 열린 근방이 되며, 임의의 점 [math(x\in U)]에 대해

[math(\displaystyle \lVert f(x)-f(p) \rVert^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{f_n(x)-f_n(p)}{2^n}\right)^{2}<n_0\left(\frac{\epsilon^2}{2n_0}\right)+\frac{\epsilon^2}{2}=\epsilon^2)]

따라서 [math(f)]는 점 [math(p)]에서 연속이므로 [math(f)]는 [math(X)]에서 연속이다.

[math(Y)]는 힐베르트 공간 [math((\mathbb{R}^{\infty}, d))]의 부분공간이므로 [math(Y)] 역시 거리공간이다. 그러므로 [math(f^{-1})]가 [math(Y)]의 각 점 [math(f(p))](단 [math(p \in X)])에서 점렬연속임을 보이면 충분하다.

만약 한 점 [math(f(p) \in Y)]에서 점렬연속이 아니라면 어떤 점렬 <[math(f(y_n))]>이 [math(Y)]에 존재하여, <[math(f(y_n))]>[math(\to f(p))]이고 <[math(y_n)]>[math(\nrightarrow p)]이다.
따라서 <[math(y_n)]>의 적당한 부분점렬 <[math(x_m)]>과 점 [math(p)]의 적당한 근방 [math(V)]가 존재하여 [math(x_m \notin V(m\in\mathbb{N}))]여야 한다.

[math((B_j, B_i)=(B_{j_n}, B_{i_n}))]이라 하면, [math(x_m \in B_i^c=B_{i_n}^c(m \in \{1,2,\cdots\}))]이므로 [math(f_n(p)=0, f_n(x_m)=1(m \in \{1,2,\cdots\}))]이다.

[math(\displaystyle \lVert f(x)-f(p) \rVert^2=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{f_k(x_m)-f_k(p)}{2^k}\right)^2\geq \left(\frac{f_n(x_m)-f_n(p)}{2^n}\right)^2=\frac{1}{2^{2n}})]

[math(A, B)]를 [math((X, \mathcal{T}))]에서 서로소인 닫힌집합이라고 하자. 정칙 성질의 따름정리에 의해 그 폐포가 [math(B)]와 서로소인 열린집합 [math(U_i)]가 존재하는데 이를 이용해 [math(A)]의 가산 열린덮개 [math(\{U_i\})]를 얻을 수 있다.

이제

[math(\displaystyle U_n':=U_n-\bigcup_{u=1}^{n}\overline{V_i}, V_n':=V_n-\bigcup_{i=1}^{n}\overline{U_i})]

라고 두면, [math(U_n')]과 [math(V_n')]은 열린집합이며 [math(\{U_n'\})]은 [math(A)]의 열린덮개, [math(\{V_n'\})]은 [math(B)]의 열린덮개가 된다.
그리고

[math(U':=\cup U_n', V':=\cup V_n')]

라고 놓자.

1. 제2가산 정규공간은 거리화 가능 공간이다.
1. 제2가산 정칙공간은 정규공간이다.