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| 직원뿔 |
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1. 개요
圓 錐 / cone원을 밑면으로 삼고, 원 밖의 한 점과 원주위의 무수한 점들을 이은 뿔 형태의 3차원 입체도형. 한자로는 원추(圓錐)라고도 하며, 조금 오래된 책에서는 원뿔 모양을 원추형이라는 표현을 사용해서 나타나기도 한다. 영어로는 콘(cone)이라고 하는데, 원뿔모양의 아이스크림 콘, 도로용 안전 콘, 주차 콘 모두 여기서 따온 말이다.
원뿔의 원 부분을 밑면, 옆의 곡면을 옆면, 가장 위의 뾰족한 부분을 꼭짓점, 꼭짓점과 밑면의 원주를 잇는 선들을 모선이라고 부른다. 원뿔을 밑면에 평행하게 자를 때의 단면은 원이 되고, 원뿔은 위의 작은 원뿔과 밑에 남은 원뿔대로 나뉘게 된다.
원뿔의 벌어진 정도는 스테라디안이라는 단위로 나타낸다.
직각삼각형의 빗변이 아닌 변을 회전축으로 하여 [math(360\degree)] 회전시키면 원뿔이 된다.
2. 직원뿔과 빗원뿔
보통 교과서에서는 직각삼각형을 빗변이 아닌 변을 회전축으로 회전시켜 나온 형태의 직원뿔을 위주로 설명한다. 때문에 교과서에 나오는 원뿔 관련 공식은 직원뿔인 경우에 해당하는 것으로, 직원뿔이 아닌 경우는 다른 방법을 사용해서 구해야 한다.직원뿔의 경우 꼭짓점을 포함해서 세로로 정확히 이등분하면 이등변삼각형의 단면이 나오지만, 꼭짓점을 포함하지 않은 상태에서 밑면에 평행하게 자르면 원, 밑면을 포함하지 않고 비스듬히 자르면 타원, 밑면에 수직으로 자르면 쌍곡선, 쌍곡선과 타원의 중간 형태로 자르면 포물선 형태의 단면이 나온다. 그리고 이들을 묶어 원뿔곡선, 또는 이차곡선이라고 한다.[1]
원뿔의 꼭짓점이 밑면의 중점과 수직선상에 있을 경우는 직원뿔이 되지만, 수직선상에서 벗어난 경우에는 모두 빗원뿔이 된다. 직원뿔을 위에서 바라보면 원으로 보이지만, 빗원뿔은 위에서 보았을 때 꼭짓점이 밑면 밖에 위치하는 것도 가능하므로, 정도에 따라 원 밖으로 삼각형 끄트머리가 삐져나온 것처럼 보이거나, 더 많이 삐져나오면 아이스크림 콘 비슷한 모양으로도 보인다.
좀 더 쉽게 설명하면, 직원뿔을 밑면에 비스듬하게 자른 형태라거나,[2] 삐죽삐죽 솟은 장미의 가시 같은 약간 비스듬한 형태의 원뿔을 떠올리면 바로 빗원뿔이 된다.
3. 직원뿔[3]의 부피
원뿔의 밑면의 반지름을 [math(r)], 높이를 [math(h)], 부피를 [math(V)]라 하면| [math(V=\dfrac 13\pi r^2h)][4] |
4. 직원뿔의 겉넓이
원뿔의 밑면의 반지름을 [math(r)], 모선의 길이를 [math(a)](보통 [math(l)]을 사용), 원뿔의 겉넓이를 [math(S)]라 하면 겉넓이는 아래와 같다.
| [math(S=\pi r^2+\pi r\cdot a=\pi r(r+a))] |
만약 모선의 길이 대신 원뿔의 높이 h 가 주어졌다면, 피타고라스의 정리를 이용해서 변환하면 된다.
| [math(a = \sqrt{h^2 + r^2} )] |
5. 여담
- 실생활에서 찾아볼 수 있는 원뿔 모양의 사물로는 고깔, 고깔모자, 아이스크림 콘, 과자 꼬깔콘, 원뿔형 종이컵 등이 있다.
- 원뿔을 앞에서 본 모양은 이등변삼각형이다.[5]
- 원뿔을 이용해 또 원뿔을 만들면 다이콘(dicone)이 되며, 이외에도 구 초뿔(sphone), 원기둥 초뿔(cylindrone), 원뿔 초기둥(coninder) 등이 있다.
- 원뿔 2개의 밑면을 붙여 만든 모양을 바이콘(bicone)이라고 한다.
[1]
정확히는 두 원뿔의 꼭짓점을 맞닿게 해서 만든
원뿔면(Conical surface)로 정의한다.
[2]
이는 이해를 돕기 위한 설명으로, 이렇게 자르면 밑면이 타원이 나오므로 타원뿔이 된다.
[3]
높이가 같은 원뿔은
부피가 같으므로 빗원뿔도 포함된다.
[4]
원뿔의 부피는 밑면이
합동이고 높이가 같은
원기둥의 부피의 [math(\dfrac 13)]이다.
[5]
원뿔을 회전축에 수직인
평면으로 자른 도형도
이등변삼각형이다.