1. 개요
曲 面 / surface기본적으로는 2차원으로 표현이 가능한 굽어있는 기하학적 형상을 의미하며, 이를 보다 일반화시킨 정의로는 다차원 공간 상에서의 2차원 다양체를 의미한다.
2. 관련 용어
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평면(plane)
곡면의 특수한 경우로, 모든 방향에서 곡률이 0이 곡면이다. -
접평면(tangent plane)
곡선에서의 접선의 개념을 보다 고차원으로 확장시킨 것. 거의 모든 점에서 연속적인 곡면상의 임의의 점에서 해당 점에 접하는 평면이라는 형태로 정의된다. -
부드러움(smooth)
곡면 [math(S)]가 해당 영역 내의 모든 점에서의 편미분이 연속된 값을 가지는 경우, 해당 영역에서 이 곡면은 매끄럽다고 표현한다. 다만 정확하게 정의하자면 곡면 [math(S)]를 매개변수 [math(u, v)]에 대해 매개화한 좌표함수 [math(r(u,v))]를 정의한 뒤, [math(r_u\times r_v\neq 0)]. 즉 정의된 모든 점에서 법선벡터의 크기가 0이 아닌 곡면을 말한다. -
단순곡면(simple surface)
[math(u, v)]로 구성된 2차원 좌표를 지닌 유클리드 공간의 부분집합 [math(U \subset \mathbb{R}^2)]가 개집합이라 할 때, [math(k \in \mathbb{N})]에 대한 [math(C^{k})]-단사함수 [math(\mathbf{x}:U\to \mathbb{R}^3)]가 모든 [math(p \in U)]에 대하여 [math(\displaystyle \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}(p)\times \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v}(p)\neq 0)]를 만족하는 곡면 -
고유조각사상(proper patch)
단순곡면 [math(\mathbf{x}:U\to \mathbb{R}^3)]의 역함수 [math(\mathbf{x}^{-1}:\mathbf{x}(U)\to U)]가 정의역 [math(\mathbf{x}(U))]의 모든 점에서 연속인 사상.
3. 기본계수와 기본형식(fundamental coefficients / form)
여기서는 3차원 공간의 2차원 곡면에 대해서만 정의한다. 그 이상이 되면 대학원 수준에 이르는 미분기하학 지식이 필요하기 때문.-
제1기본계수(1st fundamental coefficients)
곡면 [math(M, p \in M)]에 대하여
[math(x:D\to x(D)(\subset M))]
가 [math(p)] 근방의 고유조각사상일 때, 다음의 3가지를 점 [math(p)]에서의 곡면 [math(M)]의 제1기본계수라고 한다. - [math(E:=\left\langle \mathbf{x}_u, \mathbf{x}_u\right\rangle)]
- [math(F:=\left\langle \mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\right\rangle)]
- [math(G:=\left\langle \mathbf{x}_v, \mathbf{x}_v\right\rangle)]
- 제2기본계수(2nd fundamental coefficients)
- [math(L:=\left\langle \mathbf{x}_{uu}, U \right\rangle=-\left\langle \mathbf{x}_u, U_u\right\rangle)]
- [math(M:=\left\langle \mathbf{x}_{uv}, U \right\rangle=-\left\langle \mathbf{x}_u, U_v\right\rangle=-\left\langle \mathbf{x}_v, U_u\right\rangle)]
- [math(N:=\left\langle \mathbf{x}_{vv}, U \right\rangle=-\left\langle \mathbf{x}_v, U_v\right\rangle)]
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제1기본형식과 제2기본형식(1st/2nd fundamental form)
원래는 헤세 행렬 개념이 포함되는 내용이지만, 미분기하학에서 쓰이는 수준으로 간략하게 표현하면 다음과 같다. -
제1기본형식
[math(T_pM=\{a\mathbf{x}_u+b\mathbf{x}_v|a, b\in \mathbb{R}\})]이라는 접평면을 가정하자. 즉, 이 접평면 위의 모든 점은 접평면의 기저의 2차원 좌표로 표현할 수 있다. 이 때, A 항목을 만족하는 사상을 제1기본형식, B 항목을 만족하는 사상을 제2기본형식이라고 한다.
(단, [math(\mathbf{w}\in T_pM)])
([math(\alpha:\left(-\epsilon, \epsilon\right)\to M)]는 정칙곡선이다. 즉 [math(\displaystyle \alpha(0)=p, \alpha'(0)=\biggl. \frac{du}{dt} \mathbf{x}_u+\frac{dv}{dt} \mathbf{x}_v \biggl|_{t=0})]
- 제1기본형식
[math(\textrm{Ⅰ}_p:T_pM\to \mathbb{R})]
[math(\displaystyle\begin{aligned}\textrm{Ⅰ}_p(\mathbf{w}):&=\left\langle\mathbf{w},\mathbf{w}\right\rangle\\&=\lVert w\rVert^2\\&=\left\langle\alpha'(0), \alpha'(0)\right\rangle\\&=\biggl.E\left(\frac{du}{dt}\right)^2+2F\left(\frac{du}{dt}\right)\left(\frac{dv}{dt}\right)+G\left(\frac{dv}{dt}\right)^2\biggl|_{t=0}\end{aligned})]
B. 제2기본형식[1]
[math(\textrm{Ⅱ}_p:T_pM\to \mathbb{R})]
[math(\displaystyle \begin{aligned}\textrm{Ⅱ}_p(w):&=-\left\langle dU_p(\mathbf{w}), \mathbf{w}\right\rangle\\&=\biggl.L\left(\frac{du}{dt}\right)^2+2M\left(\frac{du}{dt}\right)\left(\frac{dv}{dt}\right)+N\left(\frac{dv}{dt}\right)^2\biggl|_{t=0}\end{aligned})]
엄밀하게는 리만 다양체와 아핀접속 등의 고급 위상수학적 개념을 끌고 와야 하므로 학부 미분기하학 수준에서 멈춘다.
이 제1기본계수와 제2기본계수를 이용하면 평균곡률([math(H)])과 가우스 곡률([math(K)])을 다음 관계식에 의해 구할 수 있다.
[math(\displaystyle H=\frac{EN+GL-2FM}{2\left(EG-F^2\right)})]
[math(\displaystyle K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2})]
그런데 주곡률이 [math(\kappa_1, \kappa_2)]인 곡면에서 평균곡률과 가우스 곡률은 각각 [math(\displaystyle H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}, K=\kappa_1\kappa_2)]의 형태로 주어지므로, 근과 계수의 관계에 따라서 주곡률을 구할 수 있게 된다.
즉, 주곡률은 다음 이차방정식 [math(\kappa_1, \kappa_2:x^2-2Hx+K=0)]의 두 근이 되는 것.
이에 대한 증명은 바이가르텐 사상(Weingarten Map)에 의해서 증명이 가능하다. 다만 바이가르텐 사상 자체가 학부 수준에서는 넘어가는 케이스가 많아서 증명에 대한 언급은 생략. 다만 바이가르텐 사상 [math(W)]에서 가우스 곡률 [math(K)]는 [math(\det\left(W\right))]로, 평균곡률 [math(H)]는 [math(\frac{1}{2}\operatorname{tr}\left(W\right))]가 된다는 점은 쉽게 보일 수 있다.
3.1. 특수한 경우의 제1, 제2기본계수
고유조각사상이 [math(\mathbf{x}(u,v)=((R+r\cos u)\cos v, (R+r\cos u)\sin v, r\sin u))]인 곡면은 원환면이다.이 때, 원환면에서의 제1, 제2기본계수는 다음과 같다.
| 제1기본계수 | 제2기본계수 | ||||
| [math(E)] | [math(F)] | [math(G)] | [math(L)] | [math(M)] | [math(N)] |
| [math(r^2)] | [math(0)] | [math(\left(R+r\cos u\right)^2)] | [math(r)] | [math(0)] | [math(\left(R+r\cos u\right)\cos u)] |
| 주곡률 | [math(\kappa_1)] | [math(\displaystyle \frac{1}{r})] |
| [math(\kappa_2)] | [math(\displaystyle \frac{\cos u}{\left(R+r\cos u\right)})] | |
| 평균곡률 | [math(H)] | [math(\displaystyle \frac{R+2r\cos u}{2r\left(R+r\cos u\right)})] |
| 가우스 곡률 | [math(K)] | [math(\displaystyle \frac{\cos u}{r\left(R+r\cos u\right)})] |
고유조각사상이 [math(\mathbf{x}(u,v)=(r\cos u\cos v, r\sin u\cos v, r\sin v))](단 [math(r>0)])인 곡면은 구면이다.
이 때, 구면에서의 제1, 제2기본계수는 다음과 같다.
| 제1기본계수 | 제2기본계수 | ||||
| [math(E)] | [math(F)] | [math(G)] | [math(L)] | [math(M)] | [math(N)] |
| [math(r^2\cos^2 v)] | [math(0)] | [math(r^2)] | [math(-r\cos^2 v)] | [math(0)] | [math(-r)] |
| 주곡률 | [math(\kappa_1)] | [math(\displaystyle -\frac{1}{r})] |
| [math(\kappa_2)] | [math(\displaystyle -\frac{1}{r})] | |
| 평균곡률 | [math(H)] | [math(\displaystyle -\frac{1}{r})] |
| 가우스 곡률 | [math(K)] | [math(\displaystyle \frac{1}{r^2})] |
| 법곡률 | [math(\kappa_n)] | [math(\displaystyle \pm\frac{1}{r})] |
평면의 경우는 이미 알려져 있다시피 주곡률이 0이므로 [math(H=K=0)]으로 정리된다.
실제로 평면의 경우 [math(\mathbf{x}(u, v)=(x_0+x_1u+x_2v, y_0+y_1u+y_2v, z_0+z_1u+z_2v))](단, [math(\left\vert(x_1, y_1, z_1)\times(x_2, y_2, z_2)\right\vert\neq 0)])라고 매개변수화 할 수 있는데, 이 경우 제1, 제2기본계수는 다음과 같다.
| 제1기본계수 | 제2기본계수 | ||||
| [math(E)] | [math(F)] | [math(G)] | [math(L)] | [math(M)] | [math(N)] |
| [math(x_1^2+y_1^2+z_1^2)] | [math(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)] | [math(x_2^2+y_2^2+z_2^2)] | [math(0)] | [math(0)] | [math(0)] |
| 주곡률 | [math(\kappa_1, \kappa_2)] | [math(0)] |
| 평균곡률 | [math(H)] | |
| 가우스 곡률 | [math(K)] |
4. 기본계수와 곡면의 성질
4.1. 제2기본계수
곡면 [math(M)]상의 한 점 [math(p)]에 대해서, 다음 행렬은 해당 점의 국소적인 기하학적 성질을 결정한다.[math(\begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix})]
이 행렬의 행렬식을 [math(D)]라고 하면, 다음이 성립한다.
| [math(D>0)] | 타원점(Ecliptic Point) | |
| [math(D<0)] | 쌍곡점(Hyperbolic Point) | |
| [math(D=0)] | [math((L, M, N)\neq (0,0,0))] | 포물점(Parabolic Point) |
| [math((L, M, N)=(0,0,0))] | 평탄점(Planar Point) | |
[1]
헤세 행렬은 여기서 적용되며, 접곡면의 편차에 대하여 테일러 급수를 취한 2차항의 계수의 2배가 헤세 행렬이 된다. 여기서 편차를 매개변수에 대한 2차 미분에 대한 스칼라곱으로 바꾼게 바로 제2기본형식이 된다.