우리손 보조정리

[math(\left(X, \mathcal{T}\right))]가 정규공간 [math(\iff)] 서로소인 닫힌 집합 [math(E, F \subset X)]가 존재할 때, 다음 조건을 만족하는 연속함수 [math(f:X\to\left[0,1\right])]가 존재한다.
* [math(f(E)\subset\{0\}, f(F)\subset\{1\})]

정규 성질의 따름정리
정규 공간임은 다음과 동치다.

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임의의 닫힌 집합 [math(F)]와 [math(F\subset U)]인 임의의 열린집합 [math(U)]에 대하여 [math(F\subset V\subset \overline{V}\subset U)]를 만족하는 열린집합 [math(V)]가 존재한다.

[math(E\subset U_{\frac{1}{2}}\subset \overline{U_{\frac{1}{2}}}\subset F^{c})]

[math(U_{1-\frac{1}{2^{n}}}\subset U_{1-\frac{1}{2^{n+1}}})]

(a) [math(r, s \in D, r<s)]라면 [math(\overline{U_{r}}\subset U_s)]
(b) 모든 [math(r \in D)]에 대하여 [math(E \subset \overline{U_{r}}\subset F^{c})]

(1) 모든 [math(r \in D)]에 대하여 [math(x \in U_r)]이라면 [math(f(x)=0)]으로, 만약 [math(x \notin U_r)]인 [math(r \in D)]가 존재한다면 [math(f(x)=\sup\{r|x\in U_r\})]. 즉
[math(f(x)=\begin{cases} 0, x \in U_{r}&, \forall r \in D\\ \sup\{r\in D|x\notin U_{r}\}&, \textrm{그 외의 경우}\end{cases})]

(2) 이제 이 함수 [math(f)]가 연속임을 보이자. 즉, 임의의 점 [math(p \in X)]에서 연속임을 보이자.
(2-1) 먼저 [math(0 < f(p) < 1)]인 경우를 생각하자. 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여

[math(f(p)-\epsilon<r<f(p)<s<f(p)+\epsilon)]

를 만족하는 [math(r, s\in D)]를 택하고, [math(r<t<f(p))]를 만족하는 [math(t\in D)]를 택하면 [math(p \notin U_t)]가 된다.[1]
또한 [math(\overline{U_r}\subset U_t)]이므로 [math(p \notin \overline{U_r})]이 된다. 따라서 [math(W=U_s - \overline{U_r})]은 [math(p)]의 열린근방으로서

[math(p \in W \subset f^{-1}(f(p)-\epsilon, f(p)+\epsilon))]

을 만족한다[2]. 따라서 [math(f)]는 점 [math(p)]에서 연속이다.

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(2-2) 이제 [math(f(p)=1)]인 경우를 생각하자. 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여

[math(p \in W \subset f^{-1}(\left(f(p)-\epsilon, 1\right]))]

을 만족하는 열린집합 [math(W)]가 존재함을 보이면 충분하다. 먼저

[math(f(p)-\epsilon=1-\epsilon<r<1=f(p))]

를 만족하는 [math(r\in D)]를 택한 뒤, [math(r<t<1)]인 [math(t \in D)]를 택하자.
그러면 [math(p \in U_t)]이며 [math(\overline{U_r}\subset U_t)]이므로 [math(p \notin \overline{U_r})]이다. 이제 [math(W=\left(\overline{U_r}\right)^{c}=X-\overline{U_r})]이라 하면 [math(W)]는 [math(p)]의 열린근방이며

[math(p \in W \subset f^{-1}\left(\left(1-\epsilon, 1\right]\right)=f^{-1}\left(\left(f(p)-\epsilon, 1\right]\right))]

을 만족한다. 따라서 [math(f)]는 점 [math(p)]에서 연속이다.

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(2-3) 마지막으로 [math(f(p)=0)]인 경우를 생각하자. 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여

[math(f(p)=0<s<\epsilon=f(p)+\epsilon)]

을 만족하는 [math(s\in D)]를 택하자. 그러면 [math(U_s)]는 [math(p)]의 열린근방으로서

[math(p\in U_{s}\subset f^{-1}\left(\left[0, \epsilon\right)\right)=f^{-1}\left(\left[0, f(p)+\epsilon\right)\right))]

을 만족한다. 따라서 [math(f)]는 점 [math(p)]에서 연속이다.

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(2-1), (2-2), (2-3)에서 [math(f(p) \in \left(0, 1\right), f(p)=1, f(p)=0)]인 경우 모두에 대하여 연속임을 보였으므로, [math(f)]는 [math(\left[0,1\right])]에서 연속이다.

가정에 따라 어떤 연속함수

[math(f:X\to\left[0,1\right])]

가 존재하여 [math(f(E)=\{0\}, f(F)=\{1\})]이다.

[math(U=\left\{x \in X\middle|f(x)<\alpha\right\}, V=\left\{x \in X\middle|f(x)>\beta\right\})]

라고 두자.(단, [math(0<\alpha<\beta<1)])
그러면 [math(U=f^{-1}\left(\left[0, \alpha\right)\right), V=f^{-1}\left(\left(\beta, 1\right]\right))]이며 [math(f)]가 연속함수이므로 [math(U, V)]는 [math(X)]에서 열린집합이다.
또한 [math(E \subset U, F\subset V)]이며 [math(U\cap V=\emptyset)]이므로 정규 성질 역시 만족하고, 따라서 공간 [math(\left(X, \mathcal{T}\right))]은 정규공간이다.