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최근 수정 시각 : 2024-01-01 21:05:45

1학년의 꿈

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1. 개요2. 설명3. 성립하는 사례
3.1. 실수 이외의 해3.2. 행렬
4. 여담

1. 개요

[math((x+y)^n = x^n+y^n)]
1학년의 꿈(Freshman's Dream)은 곱셈 공식을 쓸 때 가장 자주 하는 실수를 이론적으로 정리한 것이다.
수학을 조금 알고 있다면 저 식이 항등식이 아니라는 것은 쉽게 알 수 있다. 하지만 위 식을 만족하기 위한 [math(x, y, n)]의 조건을 찾아내는 것은 생각해 볼 만한 문제라고 할 수 있다. 수학자의 연구에 의해 위 식에는 자명한 해 이외에는 실수해가 존재하지 않음이 증명되었다.
[math((x+y)^n = x^n+y^n)]를 만족하는 임의의 실수 [math(n, x, y)]는 아래의 자명한 경우를 만족하는 수 이외에는 없다.
* [math(n =1)] 인 경우
* [math(x+y =0, n \equiv 1 \bmod 2, n \gt 0 )]: 즉 [math(x)]와 [math(y)]가 서로 반수(反數, 절댓값이 같고 부호가 다른 수)이며, [math(n)]이 0 보다 큰 홀수일 경우
* [math(xy = 0, n \gt 0)]: 즉 [math(x, y)] 중 하나 이상이 0이고, [math(n)]이 양수인 경우

2. 설명

1과 가까운 두 수인 0, 2로 예를 들면
이외에도 초등학교 수학에서 분모가 다른 분수의 덧셈을 배울 때( 통분)나, 중학교 수학에서 제곱근을 배울 때 다음 관계를 시행착오로써 알게 되는 경우가 많은데 결국 같은 맥락이다.
이것을 모든 실수[4]로 확장해서 자명한 해인 [math(n =1)] 혹은 [math(x+y=0,\,xy=0)]이 성립하는 수 이외에는 없음이 증명되어 있다.

그럼 복소수는 어떨까? 드 무아브르 공식의 존재로 안 된다. 복소수 지수는 [math(e^{itheta} = cos theta + i sin theta)]로 정의되는데, [math(\left(e^{i\theta}\right)^n = \cos n \theta + i \sin n\theta \neq [\cos \theta]^n + i [\sin \theta]^n)]이므로 복소수에서조차 일반적으로 등식이 성립되지 않는다.

3. 성립하는 사례

3.1. 실수 이외의 해

[math(x, y)]를 실수라고 가정하지 않고 다른 체의 수라고 생각하면 특정한 [math(n)]과 임의의 [math(x, y)]에 대해 위 식이 항등식이 되는 경우가 있다. [math(p in mathbb{P})]인 [math(p)]가 표수[5]인 체에서 pp제곱을 하는 경우에 성립한다. 이항정리에 의하여

[math(\displaystyle \sum_{r=0}^{p}\binom{p}{r}a^{r}b^{p-r} )]

이 성립하는데, 이때, [math(\displaystyle\binom{p}{r})]는 항상 자연수이다. 그런데,

[math(\displaystyle\binom{p}{r}=\frac{p!}{r!(p-r)!} )]

이고, 위의 우변에서 [math(0<r<p)]이면, 분모는 소수 [math(p)]보다 작은 수들의 곱이므로 인수로 [math(p)]를 가질 수 없다. 그래서, [math(\displaystyle\binom{p}{r})]는 [math(p)]의 배수가 되어서, 어떤 자연수 [math(m)]에 대하여

[math(\displaystyle\binom{p}{r}=pm=(1_{F}+\cdots+1_{F})m=0_{F}\cdot m=0_{F} )]

이 성립한다. 정리하면, 체 [math(F)]의 표수가 [math(p>0)]이면, [math(n=p)]인 경우에

[math(\displaystyle \begin{aligned} (a+b)^{p}&=a^{p}+\displaystyle\sum_{r=1}^{p-1}\binom{p}{r}a^{r}b^{p-r}+b^{p}\\&=a^{p}+\left(\sum_{r=1}^{p-1}0_{F}\cdot a^{r}b^{p-r}\right)+b^{p}=a^{p}+b^{p} \end{aligned} )]

가 성립한다.

3.2. 행렬

행렬도 1학년의 꿈을 만족시킬 수 있다.

예를 들어 n=2라 하면 식은
[math((A+B)^2=A^2+B^2)]
이며, 식 양변을 정리해주면
[math(\{A,B\}=AB+BA=0)]
이렇게 반 교환자 형태로 바뀐다.

그다음 A, B를 각각 2×2행렬
[math(A=a_0+\vec σ \cdot \vec a)]
[math(B=b_0+\vec σ \cdot \vec b)][※]
로 놓고 위 식에다 넣으면
[math(0=\{A,B\})]
[math(~~~=\{a_0+\vec σ \cdot \vec a,b_0+\vec σ \cdot \vec b\})]
[math(~~~=2a_0b_0+2\vec σ \cdot (\vec ab_0 + \vec ba_0)+2\vec a \cdot \vec b)]
가 나오고, 이 식을 각 성분별로 정리하면 아래와 같은 연립방정식을 얻는다.
이 1번식에다 각각 a0, b0을 곱한 뒤 2번식을 대입하면 이렇게 바뀌고, 풀면 아래와 같이 나온다.
이제 이 답들을 1번, 2번 식에 넣어 검산하면 일때 1학년의 꿈을 만족시킴을 알 수 있다.

4. 여담


[1] 1=2 참조. [2] x²과 y²으로 빼주면 2xy=0이 된다 [3] [math(\sqrt{a \pm b}=\sqrt{a} \pm \sqrt{b})]를 만족시키는 [math(a)], [math(b)]의 값은 [math(\pm)]에서 [math(+)]의 경우, [math(ab=0)]일 때 뿐이며, [math(-)]의 경우, [math(b=0)] 또는 [math(a=b)]일 때이다. 이유는 제곱근 2.1문단 참조. [4] 음수의 경우 어차피 양수로 한 식을 반수로 취한 거라 양수의 예만 증명하면 자동적으로 증명된다. 예외적으로 위에 나온 [math(n=-1)] 같은 경우는 따로 증명해야 하지만. [5] 체 [math(F)]에 대하여, [math(F)]의 곱셈의 항등원 [math(1_{F})]을 유한번 더했을 경우, 덧셈의 항등원 [math(0_{F})]이 나온다면, 더해진 [math(1_{F})]의 최소 개수를 [math(F)]의 표수(characteristic)라고 한다. [math(1_{F})]을 아무리 더해도 [math(0_{F})]이 나오지 않으면, [math(F)]의 표수를 0으로 정의한다. [math(F)]의 표수가 [math(p>0)]이면 [math(p)]는 소수임이 알려져 있다. 참고로 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 같은 '일반적'인 수 체계는 무한집합이므로 이들의 표수는 0이다. [※] [math(\vec σ)]는 각 파울리 행렬들로 구성한 행렬벡터다.

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