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[[대수학|대수학 Algebra ]]
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1. 개요
에탈 코호몰로지란 코호몰로지의 일종으로 역사적으로 베유 추측을 증명하기 위해서 정의되었다. 에탈 코호몰로지는 코호몰로지를 우리가 잘 아는 실수에 대한 것이 아닌 임의의 체 위에서 정의한 것이다.2. 소개
보통 대수기하를 할 때는 층 코호몰로지를 쓴다. 하지만 여기에는 문제점이 좀 있는데, 자리스키 위상의 열린집합이 너무 적다는 것이다. 이게 왜 문제가 되냐면 준연접층이 아닌 그 외의 층, 예를 들면 상수층일 때 우리가 보통 알고 있는 상식과 너무 동떨어지기 때문이다.정수론에서 무언가를 하려면 갈루아 군을 건드려야 한다. 갈루아 군을 코호몰로지로 건드리려면 상수층, 적어도 구성가능한 층이 필요한데, 층 코호몰로지의 자리스키 위상은 그 자체로는 국소적으로 대수학적인 무언가를 전혀 건드리지 못하므로 갈루아 군 역시 전혀 건드리지 못하고, 이는 국소적인 상수층에 대해서 반드시 코호몰로지가 0이어야 한다는 결과를 내놓는다.
이것을 수정해서 갈루아 군을 어떻게든 반영하는, 즉 상수층에 대해서도 0이 아닌 코호몰로지를 만들기 위해 에탈 사상이라는 갈루아 확장의 대수기하 버전을 만들고 거기서 갈루아 코호몰로지의 정의를 그대로 모방해 만든 것이 에탈 코호몰로지다.
3. 정의
[math( X,Y)]가 스킴이라고 하자. 그렇다면 [math(f:Y\to X)]가 평탄 사상이라는 것은 모든 [math(y\in Y)]에 대해서 [math(\mathcal{O}_{Y,y})]가 평탄 [math(\mathcal{O}_{X,f(y)})]-가군이라는 것이다.평탄이란 대충 말해서 "모든 부분이 부드럽게 같음"을 의미한다. 예를 들면 생각할 부분이 딱 한 점밖에 없는 체에 대해선 모든 체의 확장 [math(L/K)]에 대해서
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{Spec}\,L\to \mathrm{Spec}\,K \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{Spec}\,k[x,y,t]/(xy-t)\to \mathrm{Spec}\,k[t] \end{aligned})] |
[math(f:Y\to X)]가 충실 평탄이라는 것은 f 가 평탄 사상이고 전사라는 것이다. 모든 평탄 국소 준동형사상은 충실 평탄이므로 이는 [math(y\in Y)]에 대해서 [math(\mathcal{O}_{Y,y})]가 충실 평탄 [math(\mathcal{O}_{X,f(y)})]-가군이라는 것을 의미한다.
이를 생각하면 다음을 정의할 수 있는데, [math(f:_{\alpha}:U_{\alpha}\to X)]라는 스킴 사상족을 생각하자. 그렇다면 이것이 fpqc 덮개이라는 것은
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\bigcup_{\alpha}f_{\alpha}(U_{\alpha})=X \end{aligned})] |
각각의 [math(f_{\alpha})]가 충실 평탄이고 준컴팩트라는 것이다. 그리고 이것으로 만들어지는 사상을 fpqc 위상이라고 하자.
다음 정리를 보자.
[math(f:A\to B)]가 두 환 사이의 충실 평탄 사상일 때
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
0 \rightarrow A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{1 \otimes b - b \otimes 1} B\otimes_AB \xrightarrow{1\otimes b \otimes b'-b \otimes 1 \otimes b' + b \otimes b' \otimes 1}B\otimes_AB\otimes_AB \longrightarrow \cdots \end{aligned})] |
이것의 증명은 그냥 아무데나 찾아보면 있으므로 잘 찾아보길 바란다... 이것은 단순한 주장으로 생각한다면 훨씬 더 직관적으로 와닿을 것이다.
이제 어떤 장소 [math(X_{\tau})]가 있을 때 여기 위에 층을 다음과 같이 정의하자. 그 장소의 덮개들로 만들어지는 범주를 [math(\mathcal{C})]라고 하자. 그렇다면 함자 [math(\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\longrightarrow \mathrm{Ab})]가 층이란 것은 그 장소의 모든 덮개 [math(U_{\alpha}\to X)]에 대해서
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
0 \rightarrow \mathscr{F}(X) \longrightarrow \prod_\alpha \mathscr{F}(U_\alpha) \longrightarrow \prod_{\alpha,~ \beta} \mathscr{F}(U_\alpha \times _XU_\beta) \end{aligned})] |
이렇게 정의한다면 자동으로 코호몰로지도 정의할 수 있게 된다. 어차피 저 덮개들은 모두 하나하나가 스킴이니까 그 장소에 대한 토포스를 [math( \mathrm{Sh}(X_{\tau}))]라고 하면 ([math(\tau)]는 장소라고 하자.) 이는 아벨 위상이 되고, 충분한 전사이다. 어쨌든 큰 자리스키 위상의 전체 부분범주니까. 따라서 전체 단면 함자의 도출된 함자를 생각할 수 있고, 비슷하게 체흐 코호몰로지도 정의할 수 있다. 이 때, 위의 정리와 도출된 함자-체흐 스펙트럼 열로 다음을 알 수 있다.
자리스키 위상보단 괜찮고 fppf 위상보단 조잡한 장소 [math(X_{\tau})]에 대해서
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
H^i_{Zar}(X,\mathscr{F})=H^i_{\tau}(X,\mathscr{F}) \end{aligned})] |
여기에서 준연접층은 지점의 함자로 자연스럽게 [math(\mathrm{Sch}^{\mathrm{op}}_{X}\longrightarrow \mathrm{Ab})]로 확장할 수 있고, fpqc 위상에서 층이 된다는 정리가 있다. (증명은 코호몰로지의 같음을 증명할 때와 비슷하다.)
아, fppf란 저저기 fpqc 위상의 정의에서 충실 평탄하고 준컴팩트를 준유한,평탄하고 유한 표현으로 조건을 바꾸면 된다. 이는 직관적으로 기하학적으로 잘 맞게 U가 X 위의 그냥 유한 채 확장이란 직관을 가지고 있다. 이렇게 바꾸는 이유는, fpqc는 너무 커서 층화가 없을 수도 있기 때문에.
fpqc 위상이란 "기하학으로써 당연히 가져야 하는 소양"에 가깝다. 기하학이라면 당연히 잘 붙어야 하며, 교집합이 잘 되어야 하고, 어쨌든 우리가 잘 아는 여러가지 집합론적인 것들이 잘 되어야 할 것이다. fpqc란 바로 그런 조건을 말한다.
이제 비분지 사상을 설명하자, 두 국소환 사이 사상 [math(f:A\to B)]에 대해서 이것이 비분지라는 것은 극대 이데알을 다른 극대 이데알로 옮기고, 이걸로 유도되는
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
A/\mathfrak{m}_{A}\to B/\mathfrak{m}_B \end{aligned})] |
이것에 대해선 유용한 기준이 있는데, 바로 상대적 미분인 [math(\Omega^1_{Y/X})]가 0이라는 것이다.[1] 그리고 이것으로 [math(f:Y\to X)]가 비분지라는 것은 다음과 같은 직교
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
Y\to Y\times_{X}Y \end{aligned})] |
비분지 사상은 보면 알겠지만, "분리가능한 확장"을 뜻한다. 바로 갈루아 확장에서 필요한 그것이다. 정규 확장도 있어야 할 것 같지만, 우리에겐 이것만 필요하다. 왜냐하면 분리 가능 닫힌 체를 생각하듯 생각할 거니까
이제 [math(f:Y\to X)]가 에탈이란 것을 평탄이고 비분지인 걸로 정의하자. 그리고 [math(f_{\alpha}:U_{\alpha}\to X)]가 에탈 덮개이란 것은 각각 합집합이 X고 각각이 모두 에탈일 때를 뜻한다. 그렇다면 우린 에탈 코호몰로지를 정의할 수 있다.
한 가지 에탈 코호몰로지의 예를 들어보자. [math(\mathrm{Spec}\,A\to \mathrm{Spec}\,K)]가 에탈 사상일 때, A는 K의 유한 확장 가능한 체의 유한 직접적인 곱여야 한다. 이를 생각하면 [math( \mathrm{Spec}\,K)] 위의 층은 K 위의 벡터 공간이고 에탈이란 말이 붙으면 여기에다가 갈루아 작용이 더 있어야 하니 갈루아 코호몰로지의 정의를 그대로 따라하면
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
H^i_{et}(\mathrm{Spec}\,K,V)=H^i(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K),V) \end{aligned})] |
또 한 가지 예를 들면, fpqc 위상을 할 때 얻은 걸로 바로
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
H^1_{et}(X,\mathcal{O}_X)=H^1_{Zar}(X,\mathcal{O}_X)=\mathrm{Pic}(X) \end{aligned})] |
3.1. 계산
에탈 코호몰로지는 본질적으로 갈루아 코호몰로지를 fpqc 위상으로 붙힌 것이고, 따라서 갈루아 코호몰로지를 먼저 계산해야 에탈 코호몰로지를 계산할 수 있다.첫째 코호몰로지는 여러가지 직관이 있는데, 그 중에서 가장 쉽게 만들 수 있는 직관이 어떤 군으로 작용하는 류를 분류할 때 그 류들의 자기동형사상들의 군이 모두 똑같으면 첫 코호몰로지를 쓸 수 있다는 것이다.[2] 예를 들면 스콜렘-뇌터 정리(Skolem-Noether theorem)에 의하면 K가 체면
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{Aut}_{K-\mathrm{algebra}}(M_{d}(K))=\mathrm{PGL}_{d}(K) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
A\otimes_{K}K^{\mathrm{sep}}=M_{d}(K^{\mathrm{sep}}) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
M_{m}(A_1)=M_{n}(A_2) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
Br(K)\longrightarrow H^1(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K),\mathrm{PGL}_{d}(K^{\mathrm{sep}}) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
0\to (K^{\mathrm{sep}})^*\longrightarrow \mathrm{GL}_{d}(K^{\mathrm{sep}})\longrightarrow\mathrm{PGL}_{d}(K^{\mathrm{sep}})\to 0 \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
Br(K)\longrightarrow H^2(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K),(K^{\mathrm{sep}})^*) \end{aligned})] |
비슷하게, X가 준사영일 때, 다음을 얻을 수 있다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
Br(X)\longrightarrow H^2_{\mathrm{\acute e t}}(X,\mathcal{O}_X) \end{aligned})] |
이제 티센의 정리를 설명할 것인데, 먼저 다음을 정의하자.
체 K가 [math(C_r)]이라는 것은 모든 n과 [math(0<d^r<n)]에 대해서 [math(f\in k[x_1,\cdots,x_n])]의 동형 차수가 d일 때 적당한 [math((\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\in K^n)]가 있어서 [math(f(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=0)]인 것이다.
먼저 K가 대수적으로 닫힌 체일 때는 이것이 [math(C_1)]라는 것이 그냥 약한 영점 정리(weak nullstallensatz)다. 그리고 이것보다 더 강력한 정리가 성립하는데, 그것이 바로 티센의 정리이다.
[1]
이것은 Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra에도 실려있는, 특성이 0일 때 모든 체의 확장이 분리 가능이라는 것의 증명을 그대로 따라한다.
[2]
이는 본질적으로 Cech nerve에서 온다.
[3]
적분이고 분리되어있고, 차원이 1인 곡선.
[4]
일반점에서 국소환.