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최근 수정 시각 : 2024-10-26 13:11:35

대수학/교재

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1. Lang, Algebra2. Artin, Algebra3. Dummit & Foote, Abstract Algebra4. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra5. Pinter, A Book of Abstract Algebra6. 이인석, 학부 대수학 강의 II: 대수학7. Thomas W. Hungerford, Abstract Algebra: An Introduction/Algebra8. 김응태 & 박승안, 현대대수학9. J. Gallian, Contemporary Abstract Algebra10. Lovett, Abstract Algebra: Structures and Applications11. Fernando Gouvêa, A Guide to Groups, Rings, and Fields12. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0/Algebra: Notes from the Underground13. 교양서
13.1. 이시이 도시아키, 갈루아 이론의 정상을 딛다


학부/대학원의 대수학 교재에 대한 문서이다. 대수학 교재는 명제에 대한 논리 전개와 교재에 수록된 주제와 목차에 따라 선호도가 나뉘는 편이다. 아래의 글들은 객관적인 서술이 아닌, 주관적인 서술이 포함되어 있으므로 참고만 하길 바란다. 즉, 문서의 내용을 맹신하기 보다는 직접 교재를 두고 경험하는 것을 추천한다. 또 한편으로 갈루아 이론에 대해 여러 대중 수학서적에서도 쉬이(?) 언급하고 있기 때문에 집합론이나 선형대수를 막 시작한 저학년 때부터 모티베이션 고양을 위해 한권쯤 읽어보는 것도 좋다.

1. Lang, Algebra

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대학원 대수학 강의의 판을 바꾸었다는 평을 들은 대수학 책의 마스터피스. 극악의 난이도로 악명이 높으며, 물리과 대학원에 잭슨 전자기학이 있다면 이쪽엔 이 분이 계신다 생각하면 된다. 석사 초반때 원생들 탈주 욕구를 자극하는 1순위이며, 기초가 부족한 학생들이 이 책으로 대수학을 시작해선 절대 안된다. 전 세계적으로 얼마나 미운털이 많이 박혔으면 대수학 강의실에 돌을 던지는 사람은 이 책으로 공부하는 사람이란 유머가 생기고 참 가지가지 방법으로 이 책을 테러하는 웹툰이 무려 100화 넘게 연재됐을까..이 사람 졸업했을려나...

책 분량이 900페이지 정도로 백과사전 수준의 방대한 내용을 다루지만 설명의 수준이 너무 높고 기초적인 내용은 생략되거나 문제로 내는 등 친절함도 그지같애서 초심자들에겐 너무 가혹하다. 때문에 현재는 이걸로 학대당한 교수들의 증오로대부분 아래의 Dummit이나 Hungerford 대학원편으로 대체되는 편.

수많은 사람들에게 현재진행형으로 욕을 먹고 있는 애증의 존재나 그래도 이 책으로 대수학을 일단 마치고 나면 대학원 대수의 기반은 단단하게 다지는 셈이기 때문에 평만큼 놓치긴 아까운 교재다. 난 기초도 부족해 게다가 학부생이야 라고 해도 혜택이 끝내주기 때문에 이 책이 걸리면 옆에 여러 책끼고 열심히 공부하자. 천천히 독학하면 고통은 덜한편.

지금은 아니지만 2판에선 끝날 때쯤 튀어나오는 마지막 문제[1]는 사람의 짱구회전의 극한을 체험시키는 이 책의 사라진 백미.[2]

2. Artin, Algebra

학부와 대학원 중간 수준 레벨의 교재로, Dummit이 생기기 전 Lang과 같이 전세계적으로 가장 많이 쓰인 책. 저자 자신이 대수를 처음 배우는 학생을 위해 만든 책이라 하며, 때문에 선형대수 내용이 전부 들어있어 몇몇 교수들은 이걸 아예 선형대수 교재로 쓰기도 한다.[3]

근데 이 책의 특성은 무엇보다도 특이한 어프로치. Michael Artin 본인도 인정한 부분인데, 기본적인 대수뿐만 아니라 기하학, 그리고 대수와는 전혀 상관없는 해석학까지 끌어다 쓰는 사탄이 패배할 듯이 사악한아스트랄한 방법을 쓰는데, 여기서 수학이란 분야에선 문제를 풀기 위해 자기분야의 접근에만 집착하는 편협적인 방법보다는 여러 분야의 사람들과 협력하는 게 더 해결이 빠를 수 있다는 교훈을 남겨주기도 하고 다항식 환을 설명하다 갑자기 리만곡면 같은 대수기하학 주제를 소개하거나 다른 학부 대수학 책에선 잘 나오질 않는 표현론이나 대수적 정수론을 알려주는 등 다른 책보단 희한한 내용이 많이 나온다. 이런 잡학다식한 대수적 배경지식을 제공하는 점이 장점으로 여겨져서인지 김영훈 서울대 교수가 지은 한국어 대수기하학 입문서인 <대수기하학 입문>에서는 책을 읽기 위해 요구되는 대수학 교과서로 추천받기도 했다.

이렇듯 개성적이고 재밌는 책이긴 하지만 난 미치겠는데? 정작 정형화된 현대대수학 수업용으로는 영 맞지 않는 엉성한 구성 탓에 효용성이 떨어진다는 지적이 적지 않아 대부분의 학생들에겐 주교재보단 옆에 놓고 보는 부교재로써 애용되고 있다.

3. Dummit & Foote, Abstract Algebra

현재 전 세계적으로 학부에서 대학원까지 널리 쓰이는 지구 대표 대수책. 국내에서 현대대수학 교재로 사용하는 학교로는 대표적으로 KAIST 등이 있다. 아래에 열거된 Fraleigh나 Gallian의 책보단 난이도가 높아[4] 기초가 부족한 학생에겐 힘들 수 있으나 학부에서 대학원 초반 수준의 내용까지 모두 친절히 설명되어 있다.[5] 그리고 연습문제의 양이 매우 많은 것도 장점이자 시험공부 하는 학생에게는 단점이다.[6] 이러한 무결점에 가까운 특징 덕에 이 판의 유지던 Artin과 Lang을 재치고 새로운 다크호스가 되었으며, 뒤에 별첨으로 가환대수, 대수기하, 카테고리 이론, 호몰로지 대수, 군표현론이 설명되어 있다.

4. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra

국내에서 많이 쓰이는 현대대수학 입문서적. 보통은 프렐라이라고 불린다. 영어를 좀 하는 사람이라면 슥 봐도 프레일리, 프랠리라 읽히지만, 교수고 학생이고 '프렐라이'라고 부르며, 프레일리라고 읽는 사람을 찾기가 어렵다. 오히려 그렇게 읽었다가는 전공수학 업계에서 캐뉴비 내지 수알못 영알못이 아니다! 취급을 당하는 수가 있다.

번역본의 질은 좋다고 할 수 없는 수준이다.[7] 이 책의 장점이라고 하면 바로 저자의 이과식 유머. TF문제로 '이 정리는 중요하다.' 등 공부에 지친 학생들에게 소소한 재미를 선사하고 있다. 많은 학교에서 학부 대수학 교재로 이 책을 써서 많은 학생들이 힘들어하는 책 중 하나지만, 사실 이 현대대수학 교재 중에선 난이도가 상당히 낮은 편이다. 또한 너무 친절한 나머지 심화되거나 많은 내용을 담지는 못하고 군론에 50여개 단원중 20개가 넘는 단원을 할당하는 등 전개가 늘어지는 단점이 있다.

대수학에 어느 정도 익숙해진 시점에선 모티베이션이 부족한 딱딱한 책으로 평가받는다. 챕터 구성에 의미를 안 둔건지 뜬금없다고 생각되는 개념들 등장의 연속이다. 저자도 대수학 입문 수준에서는 별로 중요하지 않다고 생각하는 챕터는 따로 표시를 해 놔서 굳이 다 보고 넘어가지 않아도 된다고 표기해놨지만 뜬금없이 호몰로지 대수 내용이 들어가는 등 구성이 중구난방이라는 느낌을 지울 수 없다. 그 외에도 초반에 S3의 모든 부분군을 구하라는 등 그 질이 다소 의심되는 증명 노가다 연습문제들도 끼어있다.[8] 그렇다고 복습용이나 레퍼런스용으로 쓰기에는 내용이 충실한 편도 아니고 중요한 정리를 증명 없이 넘어가는 경우가 있어서 부적절하다.

그러나 그럼에도 불구하고 타 교재에 비해 난이도가 낮고 한 개념에 대한 설명이 비교적 길게(특히 군에서) 이어지기에 처음 추상 대수학에 입문하는 용도로는 괜찮다. 위에서 지적한 노가다 문제와 같은 경우에도, 개념이 완전히 체화된 입장에서 보면 시간 낭비일지 몰라도 추상 대수학에 입문하는 학생에게는 정말 수많은 새로운 단어들이 쏟아져 나오기에 단순 문제를 통한 개념 굳히기가 필요한 경우도 있는 것이 사실이다. 저런 노가다 문제도 학습자의 필요에 따라 불필요하다면 그냥 건너뛰면 그만이지 않은가.하지만 교수들은 꼭 굳이굳이 그런 문제만 과제로 낸다. 게다가 전공서적이 많이 쓰인다는 것은 사용자가 많다보니 솔루션도 찾아보면 잘 나온다는 것도 장점이다.

한편, 이 교과서는 개정 때마다 변화가 제법 큰 편으로 알려져 있다. 2002년 출간되어 20년 가까이 국내에서 가장 널리 쓰인 하얀 표지의 제7판이 학생들에게는 가장 유명하지만, 나이 지긋한 중등학교 교사들이나 전임 교수급 연배의 고인물들이 기억하는 옛 버전과는 어긋나는 목차와 구성이 더러 있다. 제5~6판 등 옛 버전이 가끔 알라딘 중고서점 등지에 올라오기도 한다. 2021년에는 무려 19년만의 개정판인 제8판이 나왔는데, 제7판에서 총 10개 대단원 중 한 대단원을 할애하여 소개하던 대수 위상수학, 호몰로지 관련 단원이 증발해버린 대신 기존에 있던 내용을 다듬어서 대수기하 챕터로 만들고 대수적 코딩 이론 등의 소소한 내용이 추가되어 결과적으로 80페이지 가량 줄어드는 다이어트 개정이 이뤄졌다. 8판의 번역판은 2024년 1월에 출간되었다.

5. Pinter, A Book of Abstract Algebra

Fraleigh 저서처럼 평이한 난이도의 책. 그러나 거의 설명충 소리를 듣는 Fraleigh나 Dummit 저서에 비해 설명을 상당히 간략화하거나 독자에게 떠넘기는 부분이 있어서 주의해야 한다. 아이디얼에 대해 환에서 정의된 '곱을 흡수한다'고 말로 설명하는등 가급적 수식보다는 입말에 가까운 서술을 추구한지라 Fraleigh와는 다른 이유로 쉬운 책이지만 그에 따라 호불호가 갈린다. 독학 1회독부터 들이파도 진도를 뺄 수 있을 난이도이나, 정수론도 공부하지 않은 상태에서 쌩기초부터 삽질을 하기보다는 고난도 교재를 보며 함께 보는 부교재로 쓰면 시너지 효과가 있는 책이다. 2019년에 나온 한국어 번역판(알기 쉬운 추상대수학)은 종이가 아까울 정도로 고퀄리티의 종이와 넓은 여백, 무거운 하드커버로 비싼 가격과 엄청난 질량을 자랑한다. #

6. 이인석, 학부 대수학 강의 II: 대수학

선형대수학 문서에도 소개되어 있는 동 저자의 '학부 대수학 강의 I: 선형대수와 군'의 속편이다. 전편에서 군론의 상당 부분을 다뤘다는 점을 감안하여 통상 수준보다 약간 심화된 내용을 다룬다. 특히 학부 과정에서는 잘 다루지 않는 가군(module)과 대수(algebra)에 대한 내용도 깊이 있게 서술한 것이 특징. 난이도는 Dummit의 교재와 비슷한 수준.

서울대학교에서 통년 선형대수학 교재로 I권은 거의 바이블처럼 자주 쓰이지만, 정작 이 책은 저자 외에는 잘 쓰지 않는데, 대체적으로 다른 서적들의 단원 구성이 Group -> Ring -> Module,Algebra 등으로 연산 갯수를 늘려가며 차근차근 대수 구조에 대한 시야를 넓혀가며 최종적으로 갈루아 이론의 이해를 위한 빌드업을 진행하지만 이 교재는 Universal Property와 대수적 구조라는 개념을 우선적으로 도입하여 저자가 강조하는 달리기 훈련인 대수학적 사고방식의 강화에 집중하는 경향이 있다. 단원구성이 갈루아 이론의 빌드업에는 어울리지 않는 단점이 있지만 저자의 의도를 이해한다면 잘 쓰여진 책임을 알 수 있다.

7. Thomas W. Hungerford, Abstract Algebra: An Introduction/Algebra

8. 김응태 & 박승안, 현대대수학

정수론 문서에 나오는 명망높은 교재의 저자 두 명이 쓴 책으로, 설명도 친절하고 예제도 많지만 원래는 앞에 와야 할 고급 군론과 마지막에 다루는 갈루아 이론의 순서가 서로 뒤바뀌었다. 맨 뒤에 대수학에 큰 공헌을 한 수학자들 이야기가 실려있다.
단점이라면 세기말의 유물 아래아한글 97로 일일이 타자를 쳐서 작성한 오래된 책이라 알록달록한 신세대(?) 책들에 비해 몹시 딱딱하게 느껴지며 개정판이 나올수록 줄고는 있지만 한자가 상당히 많고 오늘날에는 잘 안 쓰는 번역용어가 많아서 젊은 학생들로서는 당황스럽다는 점이 있는데, 이는 이 책 뿐만이 아니라 같은 저자가 내놓은 정수론, 선형대수학, 이산수학 서적도 마찬가지라서 다들 내용은 알차지만 책 디자인이 딱딱하고 삭막하다는 평을 받고 있다. 그나마 2019년을 기점으로 마지막 개정판[9]에서는 저자가 그간 내놓았던 다양한 책에 수록된 여러 챕터들을 종합하고 재구성하면서도 신세대 학생들에게 지적받던 단점을 가능한 보완하는데 주력했다.

저자가 만든 솔루션도 공개하고 있다.

수학과보다 수학교육과에서 많이 쓰이는 책이다. 이것은 저자인 김응태 교수가 서울대학교 수학교육과에 재직했던 것도 영향이 있을 듯. 다른 한명의 저자인 박승안 교수는 서강대학교 명예교수이다.

9. J. Gallian, Contemporary Abstract Algebra

다루는 내용은 일반적인 학부생 수준의 대수학 교재로 난이도는 프레일리 교재보다 조금 어려운 수준이다. 상당량의 연습문제가 있고 특이하게도 컴퓨터 관련 연습문제들이 실려있는 것이 특징이다. 그만큼 내용에 대한 심도있는 이해는 어느 정도 넘기는 수준. 특히 갈루아 이론 부분은 증명을 아예 언급하지도 않는다. 코딩이론 부분도 특별하게 다루고 있는 것을 보면 순수수학도보다는 컴퓨터과학도들이 보기 좋은 책이다. 사실 이 코딩은 그 코딩이 아니다. 수학과생들도 프로그래밍 안 들어본 컴알못 코알못들은 소프트웨어 개발자 되고 싶으면 부트캠프에나 가서 배운다.[10] Haskell을 깊이 배우려면 대수학을 열심히 공부해야 하는건 맞는데 아무튼 이것과는 다르다 물론 이 쪽으로 진로를 잡을 사람은 이런 것을 공부할 시기엔 간단한 프로그래밍도 익혀놓고 가끔 써먹고 있을테지만, 어쨌든 여기서 말하는 코딩은 Hello, world!와 직접적인 상관이 있지는 않다. 이런 내용을 다루는 것은 Hungerford의 Abstract Algebra: An Introduction에서도 마찬가지인데, 여기서는 16번 챕터의 Algebraic Coding Theory에서 Code라는 말을 메시지를 숨기는 행위를 의미하며 사용한 13번 챕터의 Private-key Cryptography에서와 달리 명확성을 보장하는 행위로 Code라는 말을 썼다고 설명해놓고 시작한다. 이에 대해 한국어로 저술된 대수학 서적은 박승안·김응태 저서 중 암호학과 부호이론이라는 오래된 책을 찾아보거나 현대대수학 9판의 후반부 챕터를 참조할 것. ]

10. Lovett, Abstract Algebra: Structures and Applications

2015년경에나 초판이 나온 비교적 신세대 교재인데, 시중에서 판매하는 학부용 현대대수학 교재 중 가장 압도적인 두께와 크기를 자랑한다. 700+페이지 이상의 하드커버 책이 판형도 큰데 종이도 고급진 것을 쓴다. Dummit이나 Hungerford의 책 정도로는 상대도 안되고, 사실상 이인석 시리즈를 양권 모두 들고 다니는 것 이상의 체감을 자랑한다. 남들은 잘 모르는 희한한 교재를 발굴하는 남다른 전통을 가진[11]

두께가 두께이니만큼 다루는 범위도 상당히 광범위해서, 집합론과 정수론의 기초 테크닉부터 시작해 가환대수학을 거쳐 대수기하학 및 범주론까지 섭렵하는뇌절형 과식성 교재라 할 수 있다.

하지만 어쨌든 두껍기는 미치도록 두껍다보니 전세계의 독자들이 이 책을 들고 다니느라 고통받은 끝에 2022년 중 Abstract Algebra: A First Course라는 제목으로 2판이 나왔다. 카테고리, 가군, 아핀기하학, 대수기하학을 잘라내며 분량을 130페이지 가량 줄이는 성공적인 다이어트를 해냈지만, 아이러니하게도 이 때문에 다른 유명 교과서들을 제끼고 선택할 메리트가 없어졌다는 평도 있다.

11. Fernando Gouvêa, A Guide to Groups, Rings, and Fields

Fraleigh, Dummit, Hungerford 저서 등 학부 현대대수학 교과서들이 흔히 다루는 군-환-체를 중심으로 각각의 챕터에서 표현론-가군-갈루아 이론도 다루는 구성인데, 방대한 분량에 비해 그리 두껍다고는 볼 수 없는 두께에 많은 내용을 쑤셔넣은 비결이 문제적이다. 저 적지 않은 분량의 토픽을 다루면서, 상세하고 친절한 증명을 쪽 빼버리고(...) Lemma, Theorem, Corollary 등의 용어마저 정리로 통일해버리며 종잇장을 아낀 것이다.

멋모르고 읽다보면 군더더기 없이 담백하다못해 퍽퍽하기 그지없는 책이다. 그러나 다른 학부 대수학 교과서를 경험해보고 스스로 방대한 필기노트를 작성해가는 자세로 하나하나 비효율적 삽질을 하다보면 기본기가 튼실해질 수 있는 책이다. 대수에 단단히 미친 헬창들을 위한 교과서

아무래도 복습용으로나 적절한 교과서인지라 챕터의 순서에 구애받지 않고 알아서 공부하는 자세도 요구된다. 예를 들어 앞 단원에서 군과 표현론을 논하면서 환, 체 챕터에서나 쓰이는 아이디어를 미리 끌어와서 써먹는 경우가 있으며, 카테고리 이야기도 군보다 앞서 도입부부터 다루지만 다른 카테고리 책을 읽어본 사람이라면 그냥 필요할 때마다 앞으로 돌아와 필요한 만큼만 보는 것이 낫다. 그러면서도 벡터 공간과 선형 사상 등의 선형대수학 주제는 미국수학회 Dolciani Mathematical Expositions 시리즈의 다른 선형대수 교재에서 다뤘다는 이유로 언급만 하고 넘어간다. 증명노트를 상당히 많이 준비할 필요가 있다.

12. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0/Algebra: Notes from the Underground

13. 교양서

13.1. 이시이 도시아키, 갈루아 이론의 정상을 딛다

수학, 과학 교양서적을 주로 내는 도서출판 승산에서 내놓은 교양서로, 오로지 갈루아 이론의 "방정식 f(x)=0의 해가 근호로 표현된다" if and only if "방정식 f(x)=0의 갈루아군이 가해군이다"라는 (작중 표현) 피크 정리 (말 그대로 정상) 증명을 통해 5차방정식의 근의 공식은 없다는 깃발을 꽂기 위해 꼭 알아야만 하는 정수, 군, 다항식, 복소수, 체와 자기동형사상, 근호로 나타내기 등 최적의 토픽만 고르고 골라 개척해놓은 등산로를 쉽게 걸어오르는 산악서적 교양서이다. 일본의 수학 저술가 이시이 도시아키의 서적인데, 고등학교 졸업자 수준의 상식으로도 읽을 수 있다...고 주장하지만 실질적으로는 매콤한 전공수학의 참맛을 깨닫지 못한 고등학생 정도로는 무리이고 현대대수를 시작하지 않은 수학과생들이 방학 때 며칠간 쭉쭉 읽을 수 있는 정도의 쉬운 책이다. 환에 대한 언급이 거의 없는 것 또한 특기할만한 부분인데, 환 이야기는 밑바닥의 비전공자로서 정상까지 도달하는데에 있어 꼭 필요하지는 않다 생각하여 제외한 것으로 보인다.

[1] "호몰로지 대수 책을 하나 구해서 솔루션도 보지 말고 도움도 일절 받지 않고 오로지 본인 힘으로 모든 연습 문제를 직접 풀어 봐라." [2] 일단 문제가 장장 3페이지에 걸쳐 써있다. [3] 사실 선형대수의 주요 내용 중 계산이나 응용 토픽만 빠진게 아니라 내적 공간이나 텐서 등등 일부 중요한 주제들도 빠져있기는 하나, 학부 선형대수학 커리큘럼은 그 주제들이 책에 붙어있어봤자 거기까지 진도 나갈 여유가 없을 정도로 매우 빡빡하기 때문에 큰 문제가 되지 않을 수도 있다. 일단 내적 공간의 경우 별도의 챕터는 없되 에르미트 형식 등이 쌍선형 형식의 일부 주제로 간략히는 소개되어 있다. [4] 대표적으로 Fraleigh에서는 Advanced Topic으로 뒤로 뺀 Sylow Theorem(실로우 정리) 등을 본문부터 집어놓고, Fraleigh에서는 군론 후반에서야 다루는 Group action(군의 작용)을 이 책에서는 초반부터 정의하고 주구장창 써먹는다. [5] 다만, 대학원 교재로서는 서지 랭이나 헝거포드보단 부족할 수 있다. [6] 3판 기준 섹션이 95개나 되는데, 섹션당 연습문제가 적게는 10개 정도고 많게는 40개까지 있는 섹션도 여럿 있다! [7] 각종 비문과 어울리지 않는 어휘는 많고 중후반부로 가면 정말 어색하게 번역해놓은 문장도 상당히 많다. 하지만 큰 문제가 아니라는 사람도 있다는 듯.번역본 읽어본 것 맞나 [8] 특히 Lagrange Theorem을 도입하기 이전의 연습문제인만큼 저자의 의도대로라면 6의 약수가 아닌 4,5에 대해서도 일일이 확인해야 한다. [9] 김응태 교수는 이미 별세하였고, 홀로 작업을 담당한 박승안 교수 역시 고령이라 죽음이 머지 않았음을 직감하는듯 '마지막' 개정판이라는 언급을 하며 제자들을 다수 포함한 후세대 수학도들의 마음을 착잡하게 했다. [10] 인터넷 커뮤니티에 돌아다니는 서울대 수리과학부 유머(...)에도 대수적 코딩이론이라는 과목에 대해 '대수도 모르고 코딩도 모르기에 아무것도 못한다'는 설명이 있는데, 사실 대수학 교과서에 등장하는 코딩 이론은 이런 혼동을 피하기 위해 '부호' 이론이라 번역되곤 한다. 여기서의 부호 이론은 암호학, 정보 이론, 통신과 관련된 '오류 검출'에 가까운 내용의 대학원 연계 과목으로, 코딩 부트캠프에서처럼 Python이나 C언어 같은 프로그래밍 언어를 갖고 추상대수학의 구조를 이용하여 소프트웨어를 만드는 법(...)을 배우는 과목은 아니다. [11] 사실 일부러 잘 안 알려진 교재를 교수들이 굳이 선택하는 가장 큰 원인은 너무 마이너하여 솔루션조차 없는 교재에서 어려운 연습문제를 과제 및 시험에다 그대로 갖다쓰려는 교수들의 잔머리이기도 하다. 어느 대학 어느 교수들에게나 흔하다.

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