군의 작용

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1. 개요2. 정의3. 다른 정의들4. 유한군에 대한 결과들

1. 개요

군의 작용은 군이 집합의 원소를 다른 원소로 변환시키는 방식이다. 군의 작용은 유한군을 분류하는 데에 핵심적인 역할을 하며, 또 실로우 정리를 이해하는 데에 필수적이다.

2. 정의

군 [math(G)]와 집합 [math(X)]에 대해, [math(\cdot: G\times X \rightarrow X)]가 군의 작용(group action)이라 함은 다음을 만족하는 것이다.

* 임의의 [math(a,b\in G)], [math(x\in X)]에 대해, [math(\left(ab\right)\cdot x=a\cdot\left(b \cdot x\right))]
* 임의의 [math(x\in X)]에 대해, [math(1\cdot x=x)][1]

그러므로, 군의 작용이 만족되는 군들에서도 아래와 같이 적용된다.

직교군 [math(G=\text{O}\left(n\right))]은 [math(R^{n}-\left\{0\right\})]에 대해, [math(A\cdot v:=Av)]로 작용한다.
이면군(dihedral group)[math(D_{2n}=\left<r,f\mid r^{n}=f^{2}=1,rfrf=1\right>)]은 [math(Z/nZ)]에, [math(r\cdot a=a+1)], [math(f\cdot a=-a)]로 작용한다.
군 [math(G)]는 자기 자신에게 작용한다.

(translation) [math(a\cdot b=ab)]
(conjugation) [math(a\cdot b=aba^{-1})]

군 [math(G)]와 [math(H<G)]에 대해, [math(H)]는 [math(G/H)]에게, [math(a\cdot \left(xH\right)=\left(ax\right)H)]로 작용한다.
K-벡터공간의 스칼라곱은 스칼라체 K에서 그 벡터공간으로 작용한다.

3. 다른 정의들

다음과 같은 정의가 있어야 군의 작용을 다루기 편하다.
군 [math(G)]와 집합 [math(X)], 작용 [math(\cdot: G\times X \rightarrow X)]을 생각하자.

* (궤도(orbit))[math(x\in X)]에 대해, [math(Gx:=\left\{ gx:g\in G\right\} )]
* (안정화 부분군(stabilizer subgroup))[math(x\in X)]에 대해, [math(G_{x}:=\left\{ g\in G:gx=x\right\} )][2]
* [math(X^{G}:=\left\{ x\in X:\forall g\in G\qquad gx=x\right\} )]
* [math(X/G:=\left\{ Gx:x\in X\right\} )][3]

사실 이는 편함을 넘어 대수에서의 철학이 나타난다. 궤도의 정의는 어떤 원소에 계속 작용을 가했을 때 생성되는 구조를 나타내며 특정 원소에 대한 생성의 개념을 나타내고, 표현론과도 이어지는 개념이다. 또 [math(G_{x})]와 [math(X^{G})]의 정의는 어떤 집합을 보존시키는 작용들을 모으면 어떻게 되는지, 반대로 어떤 작용을 보존하는 집합을 모으면 어떻게 되는 지를 나타낸다. 이는 보존원리를 보여주는 것으로써, 대칭원리와도 연결된다. 예시로써 갈루아 이론이 있다.

그러면 이 정의들에 대하여, 다음 정리들을 얻는다. 유한군 [math(G)], 유한집합 [math(X)]에 대해 다음이 성립한다.

* [math(\left[G:G_{x}\right]=\left|Gx\right|)]
* (Burnside lemma) [math(\left|X/G\right|=\frac{1}{\left|G\right|}\sum\left|X^{g}\right|)]
* (class equation) [math(\left|G\right|=\left|Z\left(G\right)\right|+\sum\left[G:C_{G}\left(x\right)\right])][4]
* 소수 [math(p)]에 대해,
* [math(G)]가 [math(p)]-군([math(\left|G\right|=p^{k})])이면, [math(\left|X\right|\equiv\left|X^{G}\right|\left(p\right))]이다.
* [math(H<G)]가 [math(p)]-부분군([math(\left|H\right|=p^{k})])이면, [math(\left|G/H\right|\equiv\left|N_{G}\left(H\right)/H\right|\left(p\right))]이다.[5]
* (Cauchy) [math(p\mid \left|G\right|)]이면, [math(a\in G)]가 존재하여, [math(\left|a\right|=p)]이다.

4. 유한군에 대한 결과들

실로우 정리
[math(G)]가 [math(p)]-군일 때, [math(G)]가 자명군이 아니라면 [math(Z\left(G\right))]의 크기는 p의 배수이다. 따라서 [math(Z\left(G\right)=1)]이면 [math(G=1)]이다.
[math(H<G)]에 대해, [math(\left[G:H\right])]가 [math(\left|G\right|)]의 가장 작은 소인수일 때, [math(H\vartriangleleft G)]이다.

[1] [math(1)]은 [math(G)]의 항등원이다. [2] 정의로부터, 실제로 부분군을 이룬다는 것을 알 수 있다. [3] 궤도를 모두 모은 것이다. 그리고 각 궤도는 서로소(disjoint)라는 것을 쉽게 알 수 있다. 즉, [math(G)]는 동치관계로 볼 수 있다. [4] 두 번째 것에서 [math(X=G)], 작용을 conjugation으로 잡아주면 된다. [5] 앞선 정리에서, [math(G)], [math(X)]대신 [math(H)], [math(G/H)]를 두고, 작용을 [math(a\cdot \left(xH\right)=\left(ax\right)H)]라 하면 된다.