통분

수와 연산 Numbers and Operations
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1. 개요2. 해야 하는 이유3. 기본적인 방법4. 통분을 이용한 덧셈 공식5. 극한과 통분6. 관련 문서

通分 / reduction to common denominator

1. 개요

수학에서 분모가 다른 2개 이상의 분수의 분모를 같게 하는 작업을 말한다. 쉽게 말하면 분모가 다른 분수들의 분모를 분모들의 공배수로 바꾸는 것이다. 이렇게 바뀐 분모를 공통분모라고 한다. 통분을 하려면 공배수, 공약수, 최대공약수, 최소공배수의 관계를 알아야 한다.

굳이 꼭 최소공배수로만 할 필요는 없으며, 그냥 아무 공배수 중에 하나로 통분하면 된다. 가장 쉽게 통분하는 방법은 분모의 곱으로 통분하는 것이다. 다만, 최소공배수가 아니라면 약분을 해야 기약분수가 된다.

분수ㆍ소수의 혼합계산은 물론, 중학교에서 정수ㆍ유리수의 혼합계산에도 적용된다.

2. 해야 하는 이유

약분과는 달리 항상 하는 건 아니다. 대개 분모가 다른 두 분수의 크기를 비교하거나 분수의 덧셈, 뺄셈을 해야 할 때[1]만 하는 정도다. 분모를 통일한 후 분자의 크기를 서로 비교하면 된다. 간혹 통분해야 하는 것을 모르고 [math(dfrac{1}{x} + dfrac{1}{y} = dfrac{1}{x+y})] 같은 꼴로 잘못 계산하는 경우도 있다.

분모가 같고 분자가 다른 수는 분자가 큰 쪽이 크고 반대로 분자가 같고 분모가 다른 수는 분모가 작은 쪽이 크다는 것을 알 수 있지만, 분자와 분모 모두 다른 경우는 어느 쪽이 더 큰지 직관적으로 알기 어려울 수도 있다. 예를 들어 [math(\displaystyle {3\over 5} )]와 [math(\displaystyle { 4\over6 } )] 중 무엇이 큰지 확인하기 위해서 통분하여 확인하면 [math(\displaystyle {{18\over 30} \lt {20\over 30}} )] 가 되므로 [math(\displaystyle { 4\over6 } )]가 더 크다는 것을 쉽게 알 수 있다.

특히 분수의 계산엔 약분과 더불어 통분이 필수적이다. 사실 초딩 수포자의 8할은 이게 안 돼서 포기하는 학생들이다. 초등 5학년 1학기 과정이다.

3. 기본적인 방법

b, d, f가 모두 0이 아닐 때,

[math(\displaystyle \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \rightarrow \frac{a \times d}{b \times d}, \frac{c \times b}{d \times b} \rightarrow \frac{ad}{bd}, \frac{bc}{bd})] (분수 2개의 통분)
[math(\displaystyle \frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f} \rightarrow \frac{a \times d \times f}{b \times d \times f}, \frac{c \times b \times f}{d \times b \times f}, \frac{e \times b \times d}{f \times b \times d} \rightarrow \frac{adf}{bdf}, \frac{bcf}{bdf}, \frac{bde}{bdf})] (분수 3개의 통분)

공식에서 알 수 있듯이, 통분을 할 때 각각의 분수의 분자와 분모에 나머지 분수들의 분모의 곱을 곱한다는 것을 알 수 있다. 위 두 공식을 이용하여 분수의 크기를 비교할 때는 분자에 해당하는 ad, bc와 adf, bcf, bde의 크기를 비교하면 된다.

한 분수의 분모가 나머지 분수의 분모의 배수일 때는 그 분수의 분모로 통분하면 된다. 예를 들어 3/5, 7/10, 9/20을 통분할 때 20은 5, 10의 배수이므로 공통분모를 20으로 하여 12/20, 14/20, 9/20과 같이 하면 된다.

4. 통분을 이용한 덧셈 공식

위에서 소개한 통분 공식을 이용한 후 각 분수를 더해 주면 된다. 즉 b, d, f가 모두 0이 아닐 때,

[math(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} + \frac{c \times b}{d \times b} = \frac{ad+bc}{bd})] (2개의 분수의 통분)
[math(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{a \times d \times f}{b \times d \times f} + \frac{c \times b \times f}{d \times b \times f} + \frac{e \times b \times d}{f \times b \times d} = \frac{adf+bcf+bde}{bdf})] (3개의 분수의 통분)

덧셈 결과의 분수의 분모(b×d)는 원래 분수의 분모(b, d)를 곱한 것이지만, 여기서 약분이 가능한 경우 (b×d)/n 꼴이 될 수 있다. 즉 분모의 곱의 약수라고 할 수 있다. 이는 통분할 분수가 3개 이상인 경우에도 마찬가지이다. 예를 들어 1/2 + 1/3 = 5/6은 원래 분수의 분모인 2, 3을 곱한 것이지만, 1/6 + 1/3 = 9/18의 경우 추가적으로 약분을 해야 한다.

뺄셈의 경우는 a, c, e 중 적당한 것을 음수로 처리하여 위 공식처럼 계산하면 된다. 일반화하면 아래와 같다.

[math(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = {\rm sgn}(b \times d) \frac{a \times d}{|b \times d|} + {\rm sgn}(d \times b) \frac{c \times b}{|d \times b|} = {\rm sgn}(bd) \frac{ad+bc}{|bd|})]
[math(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = {\rm sgn}(b \times d \times f) \frac{a \times d \times f}{|b \times d \times f|} + {\rm sgn}(d \times b \times f) \frac{c \times b \times f}{|d \times b \times f|} + {\rm sgn}(f \times b \times d) \frac{e \times b \times d}{|f \times b \times d|} = {\rm sgn}(bdf) \frac{adf+bcf+bde}{|bdf|})]

[math({\rm sgn})]는 부호 함수이다.

다르게 보면, [math(-1)]제곱에 대한 곱셈 공식이라고 볼 수 있다.

5. 극한과 통분

2개 이상의 분수의 합 또는 차로 구성된 수열이나 함수의 극한을 구하려고 할 때, 각 분수가 극한을 구할 수 없는 꼴이지만 통분하면 극한을 구할 수 있는 경우가 있는데, 예를 들면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2n^2+n+1}{n} - \frac{2n^2+1}{n+1}\right)& = \lim_{n \to \infty}\left\{\frac{(2n^2+n+1) \times (n+1)}{n \times (n+1)} - \frac{(2n^2+1) \times n}{(n+1) \times n}\right\}\\&= \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+n+1}{n^2+n} = 3\end{aligned})]

통분하기 전에는 [math(\infty-\infty)] 꼴의 부정형이었지만, 통분하면 확정형이 되어 극한값을 구할 수 있다.

6. 관련 문서

분수
약분
분모
부분분수분해 - 통분의 역연산이다.

[1] 특히 조화수열의 합을 구하려면 통분이 필수적이다.

통분