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삼각형
1. 개요
球 面 三 角 形 · spherical triangle구면 위에 그려진 삼각형을 말한다. 비유클리드 기하학에서 가장 많이 다루어지는 도형인데, 지구라는 현실적 대상과 매우 밀접하기 때문.
2. 성질
- 구면 위에 그려진 삼각형의 경우, 내각의 합은 삼각형의 넓이에 비례한다. 정확하게는 다음 관계식에 따른다.
- [math(\displaystyle \textsf{내각의 합}=\pi\times\left(1+4\times\frac{\textsf{삼각형의 넓이}}{\textsf{구의 표면적}}\right))]
-
[math(\displaystyle S=r^2\left(\sum_{n=1}^{3}\theta_n-\pi\right))]
증명
즉, 구면을 평면으로 근사시킬 수 있을 만큼 삼각형이 매우 작거나, 반대로 구의 곡률이 0에 근사될 정도로 큰 구의 삼각형일 경우, 그 면적의 비중이 0에 수렴하므로 내각의 합은 [math(\pi)], 즉 180도다. 이론상 최대치는 [math(5\pi)], 즉 900도로, 전술한 조건에서 삼각형을 그리고 그 외부를 삼각형이라 정의한 경우의 합이다. 다만 후술하듯이 내각의 합이 [math(3\pi)]까지만 생각하는게 보통이다.
또한 이 공식을 변형하면 구면삼각형의 넓이를 다음과 같이 유도할 수 있다. 다음 공식에서 [math(r)]은 구면의 반지름, [math(\displaystyle \sum_{n=1}^{3}\theta_n)]는 내각의 합이다. 증명은 가우스 보넷 정리[1]에서 유도된다.
여기서 구면의 측지곡률([math(x_g)])은 0. 다각형의 오일러 지표는 1이므로 위의 식은 다음과 같이 바꿀 수 있다.
[math(\displaystyle \iint_M k dM+(n\pi-\sum_{i=1}^n \theta_i)=2\pi)]
정리하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \iint_M k dM=\sum_{i=1}^n \theta_i+(2-n)\pi)]
그런데, 구면에서의 가우스 곡률 [math(K)]은 구면의 반지름이 [math(r))]일 때 [math(\displaystyle \frac{1}{r^2})]이므로 대입하면
[math(\displaystyle \iint_M \frac{1}{r^2} dM=\sum_{i=1}^n \theta_i+(2-n)\pi)]
[math(r)]은 상수이므로
[math(\displaystyle \frac{1}{r^2}\iint_M dM=\sum_{i=1}^n \theta_i+(2-n)\pi)]
즉 다각형의 넓이를 [math(S)]라고 하면
[math(\displaystyle \frac{1}{r^2}\iint_M dM=\frac{S}{r^2}=\sum_{i=1}^n \theta_i+(2-n)\pi)]
양 변에 [math(r^2)]을 곱해 정리하면
[math(\displaystyle S=r^2\left\{\sum_{i=1}^n \theta_i+(2-n)\pi\right\})]
이것이 구면에서의 다각형의 넓이를 구하는 공식이다.
구해야 할 것은 삼각형이므로 [math(n=3)]을 대입하면 증명하고자 하는 공식이 나온다.
즉 [math(\displaystyle S=r^2\left\{\sum_{n=1}^3 \theta_n-\pi\right\})] ||
여기서 자명하게 다음 성질이 성립한다.
* 삼각형의 넓이는 단위구 기준 내각의 합에서 [math(\pi)]를 뺀 값이다.[2]
* 최소 3개의 수심을 갖는다. 하나 이상의 각이 직각인 삼각형은 수심이 4개이다.
* 삼각형의 넓이는 단위구 기준 내각의 합에서 [math(\pi)]를 뺀 값이다.[2]
*
각 변의 길이를 모두 더한 값의 절반보다 넓이가 항상 크다.
* 내각의 합은 [math(\pi)]보다 크다.[3][4]
* 모든 변이 같으나 한 각이 [math(\dfrac{\pi}{3})]보다 큰 임의의 각을 갖는 '정삼각형'이 존재한다. 그 가운데 모든 각이 직각인 정삼각형은 구면을 정확히 8등분해서 얻을 수 있으며 정팔면체가 만들어진다. 120도인 삼각형은 정사면체이며 72도인 삼각형은 정이십면체이다.
* 오목삼각형이 존재한다. 즉 한 각의 크기가 [math(\pi)]를 초과할 수 있다.
* 삼각형의 내각의 합은 [math(3\pi)]보다 작다. 내각의 합이 [math(3\pi)]가 되는 경우에도 위상기하학적으로는 삼각형이다. 커지는 경우는 [math(5\pi)]까지 가능하지만 [math(3\pi)]를 초과한 경우 구의 표면적을 절반 초과 덮게 된다.
* 외접원, 내접원, 방접원은 구의 단면이다.* 오목삼각형이 존재한다. 즉 한 각의 크기가 [math(\pi)]를 초과할 수 있다.
* 삼각형의 내각의 합은 [math(3\pi)]보다 작다. 내각의 합이 [math(3\pi)]가 되는 경우에도 위상기하학적으로는 삼각형이다. 커지는 경우는 [math(5\pi)]까지 가능하지만 [math(3\pi)]를 초과한 경우 구의 표면적을 절반 초과 덮게 된다.
* 최소 3개의 수심을 갖는다. 하나 이상의 각이 직각인 삼각형은 수심이 4개이다.
3. 공식
3.1. 구면직각삼각형의 공식
빗변의 길이가 [math(c)]( 라디안)인 경우.[math(\cos c=\cos a\cos b)]
[math(\sin A= \dfrac{\sin a}{\sin c} , \cos A=\dfrac{\tan b}{\tan c} , \tan A=\dfrac{\tan a}{\sin b} )]
[math(\cos A)]를 기술하는 항에서 [math(c=\dfrac{\pi}{2})]일 경우, 로피탈의 정리를 취해 [math(\dfrac{\sec^2b}{\sec^2c}=\dfrac{\cos^2c}{\cos^2b})]로 계산해야 한다.
3.2. 구면삼각형의 사인 법칙
[math( \dfrac{\sin a}{\sin A}=\dfrac{\sin b}{\sin B}=\dfrac{\sin c}{\sin C} )]3.3. 구면삼각형의 코사인 법칙
-
변에 대한 코사인법칙
[math( \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C )]
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각도에 대한 코사인법칙
[math(\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c )]
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각도의 코사인 법칙과 변의 코사인 법칙을 합한것
[math(\cos c=\dfrac{\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos A\cos B}{1-\sin a\sin b\sin A\sin B})]
[1]
3차원상의 콤팩트한 2차원 곡면에서 해당 곡면의 가우스 곡률 [math(K)]와 측지곡률 [math(x_g)], 그리고 해당 곡면의 오일러 지표[math(\chi(M))]에 대하여 성립하는 상관관계를 서술한 정리다. 가우스 곡률을 면 전체에 대해서 중적분하고 측지곡률을 측지선에 따라 선적분한 값을 합치고, 여기에 다각형의 외각의 합을 더하면 해당 곡면의 오일러 지표의 [math(2\pi)]배가 나온다.
[2]
단위구의 표면적은 [math(4\pi)]이므로 위의 식에 대입하면 자명한 결과다.
[3]
구면삼각형은 모든 각이 직각일 수 있음을 많이 접해봤을 것이다.
[4]
상술했듯이 구면을 평면으로 근사시킬 수 있을 정도로 작은 공간, 혹은 구면의 곡률이 0에 근사될 정도로 큰 구 위에서 그려진 삼각형이라면 [math(\pi)]에 한없이 근접한다.