실로우 정리

[[대수학\|대수학 Algebra ]]
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"	이론
기본 대상		연산 · 항등식( 가비의 이 · 곱셈 공식( 통분 · 약분) · 인수분해) · 부등식( 절대부등식) · 방정식( /풀이 · 근( 무연근 · 허근 · 비에트의 정리( 근과 계수의 관계) · 제곱근( 이중근호 · 개방법) · 환원 불능) · 부정 · 불능) · 비례식 · 다항식 · 산술( 시계 산술)
수 체계		자연수( 소수) · 정수( 음수) · 유리수 · 실수( 무리수( 대수적 무리수 · 초월수) · 초실수) · 복소수( 허수) · 사원수 · 팔원수 · 대수적 수 · 벡터 공간
다루는 대상과 주요 토픽
대수적 구조
	군(group)	대칭군 · 기본군 · 자유군 · 리 군 · 괴물군 · 점군 · 순환군 · 군의 작용 · 동형 정리 · 실로우 정리
	환(ring)	아이디얼
	체(field)	갈루아 이론 · 분해체
	대수	가환대수 · 리 대수 · 불 대수( 크로네커 델타)
마그마· 반군· 모노이드		자유 모노이드 · 가환 모노이드
선형대수학		벡터 · 행렬 · 텐서( 텐서곱) · 벡터 공간( 선형사상) · 가군(module) · 내적 공간( 그람-슈미트 과정 · 수반 연산자)
정리·추측
대수학의 기본정리 · 나머지 정리 · 유클리드 호제법 · 부분분수분해 · PID 위의 유한생성 가군의 기본정리 · 산술·기하 평균 부등식 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 호지 추측^미해결 · 가환대수에서의 호몰로지 추측^미해결
관련 하위 분야
범주론		함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 · 토포스 이론 · 타입 이론
대수 위상수학		연속변형성 · 사슬 복합체 · 호몰로지 대수학( 호몰로지 · 코호몰로지) · mapping class group · 닐센-서스턴 분류
대수기하학		대수다양체 · 층 · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브
대수적 정수론		타원곡선 · 디오판토스 방정식 · 유리근 정리 · 모듈러성 정리
가환대수학		스펙트럼 정리
표현론		실베스터 행렬
기타 및 관련 문서
수학 관련 정보 · 추상화 · 1학년의 꿈 · 노름 · 혼합계산 · 분배법칙 · 교환법칙 · 결합법칙 · 교재			}}}}}}}}}

1. 개요2. 몇 가지 정의들

2.1. [math(p)]-군2.2. [math(p)]-부분군2.3. 실로우-[math(p)]-부분군

3. 제1 실로우 정리(1st Sylow theorem)4. 제2 실로우 정리(2nd Sylow theorem)5. 제3 실로우 정리(3rd Sylow theorem)

1. 개요

실로우 정리(Sylow theorem)[1]는 유한군을 분석하기 위한 강력한 도구이다. 주어진 유한군의 구조에 대해 전혀 모르고, 위수(order)[2]만으로도 많은 정보를 주기 때문이다. 라그랑주의 정리가 부분군이 없음을 말하는 데에 유용하다면[3], 실로우의 정리는 부분군이 있다고 말하는 것에 유용하다.
학부 수준에서 군의 작용의 거의 유일한 응용이다.

실로우의 정리는, 위수가 소수의 거듭제곱꼴인 부분군에 대해 말해준다. 이하에서, [math(p)]는 어떤 소수를 나타낼 것이고, 군 [math(G)]는 유한군, [math(\text{exp}_{p}n)]은 [math(n)]이 갖는 [math(p)]의 지수를 나타낸다.[4]

수학과 학부생들은 갈루아 이론에 머리를 쥐어 짜야하기 때문에 많은 학교에서 이 부분의 증명은 건너뛰고 명제만을 가져다가 쓰는 경우가 많다. 설령 증명한다 하더라도 해당 부분을 다루기 위해 다른 분야를 다루지 못하는 경우도 있다, 일반적으로 정역이나 모듈에 대한 이론을 다루지 않는 경우가 많다. 물론 모두 다루는 대학도 있다.

2. 몇 가지 정의들

2.1. [math(p)]-군

[math(G)]가 [math(p)]-군이라 함은, [math(\left|G\right|=p^{k})][5][6]인 것이다.

2.2. [math(p)]-부분군

[math(H<G)]가 [math(p)]-부분군이라 함은, [math(\left|H\right|=p^{k})][7]인 것이다. 이 문서에서는 이를 [math(H<_{p}G)]라 표현한다.

2.3. 실로우-[math(p)]-부분군

[math(H<_{p}G)]가 실로우-[math(p)]-부분군이라 함은, [math(\text{exp}_{p}\left(\left|G\right|\right)=\text{exp}_{p}\left(\left|H\right|\right))]인 것이다. 이 문서에서는 [math(G)]의 실로우-[math(p)]-부분군들의 모임을 [math(\text{Syl}_{p}G)]라 표현한다.

3. 제1 실로우 정리(1st Sylow theorem)

[math(p)]-부분군 (특히 실로우 [math(p)]-부분군) 의 존재성

제1 정리는 유한군에 대한 코시의 정리[8]의 확장이다. 그리고 증명에서 수학적 귀납법을 쓸 때, 기본 경우와 귀납 단계 모두에 쓰인다.

제1 실로우 정리(1st Sylow theorem)
[math(H<_{p}G)]가 [math(\text{exp}_{p}\left|G\right|\neq\text{exp}_{p}\left|H\right|)]이면, [math(K<_{p}G)]가 존재하여, [math(H\vartriangleleft K)]이고, [math(\left[K:H\right]=p)]이다.

여기서 다음 따름 정리를 얻는다.

[math(\text{Syl}_{p}\left(G\right)\neq\emptyset)]

이 따름 정리를 실로우 정리라 하는 경우가 더 많지만, 앞의 정리가 더 많은 내용을 담고 있어[9], 여기서는 앞의 정리를 실로우 정리라 하였다.

4. 제2 실로우 정리(2nd Sylow theorem)

두 실로우 [math(p)]-부분군의 관계는 서로 공액(conjugation) 관계

자명하게, [math(H<P\in\text{Syl}_{p}G)]에 대해, [math(H<_{p}G)]이다. 그러면 자연스러운 질문은, 임의의 [math(H<_{p}G)]에 대해, [math(P\in\text{Syl}_{p}G)]가 존재하여 [math(H<P)]인가 하는 문제이다. 제2 정리는 그에 대한 대답을 해주며, 더 만족스럽다.

제2 실로우 정리(2nd Sylow theorem)
임의의 [math(P\in\text{Syl}_{p}G)]와 [math(H<_{p}G)]에 대해, [math(a\in G)]가 존재하여, [math(H<aPa^{-1})]이다.

[math(aPa^{-1}\in\text{Syl}_{p}G)]이므로 질문에 대한 긍정적인 답을 얻었다. 한편, 임의의[math(Q\in\text{Syl}_{p}G)]도 [math(Q<_{p}G)]이므로, [math(Q<aPa^{-1})]이다. [math(P)], [math(Q)]의 위수가 같으므로 [math(Q=aPa^{-1})]이다. 여기서 다음의 따름 정리를 얻는다.

임의의 [math(P\in\text{Syl}_{p}G)]에 대해,
* [math(\text{Syl}_{p}\left(G\right)=\left\{aPa^{-1}:a\in G\right\})]이다.[10]
* [math(P\vartriangleleft G )]와 [math(\text{Syl}_{p}\left(G\right)=\left\{ P\right\})]는 동치이다.

따름 정리의 두 번째 명제와 [math(P\vartriangleleft N_{G}\left(P\right))]를 결합하여 다음을 얻는다.

[math(N_{G}\left(P\right)=N_{G}\left(N_{G}\left(P\right)\right))]

그리고 이는, 유한멱영군이 [math({\displaystyle \prod_{p}}\text{Syl}_{p}\left(G\right))]꼴임을 보여준다.[11]

5. 제3 실로우 정리(3rd Sylow theorem)

실로우 [math(p)]-부분군의 개수

[math(\text{Syl}_{p}G)]에 대한 기본적인 질문 중 하나는 그것의 크기이다. 즉, 실로우-[math(p)]-부분군의 개수에 대해 알고 싶다. 제3 정리는 가능성이 있는 개수를 제한해준다. [math(n_{p}:=\left|\text{Syl}_{p}G\right|)]라 하자.

제3 실로우 정리(3rd Sylow theorem)
* [math(n_{p}=\left[G:N_{G}\left(P\right)\right]\mid\left|G\right|)]
* [math(n_{p}\equiv1~\left({\rm mod}\ p\right))]

이 정리는 정규부분군의 존재를 보이는 것에 아주 유용하다. [math(n_{p}=1)]라 결론짓기만 하면 되기 때문이다.

이 점이 실로우 정리의 가장 강력한 점이다. 대개 두 가지 방법이 있다. 단순히, 이 두 조건을 같이 쓰면, 어떤 소수 [math(p)]에 대해서는, [math(n_{p}=1)]이라 결론 내릴 수도 있다.

그렇지 않더라도 [math(q\mid \left|G\right|)]인 소수 [math(q)]에 대해, 모두 [math(n_{q}>1)]를 가정하여, [math(\left|G\right|\leq\left|{\displaystyle \bigcup_{p}}\left(\bigcup\text{Syl}_{p}G\right)\right|)]를 얻어 모순을 얻을 수도 있다.

[1] 보통 영어 발음으로 읽어서 실로우 정리라고 하지만, 이 정리를 발표한 수학자는 노르웨이의 페테르 루드비 메이델 쉴로브(Peter Ludvig Meidell Sylow)이므로, 올바르게 발음하자면 쉴로브 정리가 더 올바른 번역이다. 한국어 위키백과는 쉴로브 정리를 정식 표제어로 채택했다. 하지만 대한수학회의 공식 역어는 실로우 정리라는 역어를 채택하고 있다. [2] 군을 구성하는 원소의 수 [3] 라그랑주의 정리에 따르면, 위수가 15인 군에 위수가 4인 부분군은 있을 수 없다. [4] [math(\text{exp}_{2}\left(2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5^{6}\right)=5)]이다. [5] 군의 위수 [6] 이는 모든 원소의 위수가 p의 거듭제곱꼴(1 포함)임과 동치이기 때문에, 이를 정의로 쓰는 경우도 있다. [7] 군의 위수 [8] [math(p\mid \left|G\right|)]면, [math(1\neq a\in G)]가 존재하여, [math(a^{p}=1)]이다. 즉, 위수가 p인 원소가 존재하고, [math(H<G)]이 존재하여 [math(p=\left|H\right|)]이다. [9] 그것이 유용한지와는 별개로 [10] 요약하자면, 실로우-[math(p)]-부분군은 서로 공액(conjugation)이라는 것이다. 이것을 제2 정리라 하기도 한다. [11] 위의 정리와 다른 정리에 따르면, [math(G)]가 멱영군일 때, [math(N_{G}\left(P\right)=G)]이다. 따라서, [math(P\in\text{Syl}_{p}\left(G\right))]는 유일하여 관습상 [math({\displaystyle \prod_{p}}\text{Syl}_{p}\left(G\right))]라는 표현을 쓸 수 있다.