1. 개요
identity / 恒 等 式문자를 포함한 등식에서, 문자가 가리키는 미지수의 값과 상관없이 항상 성립하는 등식이라는 뜻이다. 반대로 문자가 특정 미지수의 값일 때만 성립하는 것은 방정식이라고 한다. 항등식의 부등식 버전으론 절대부등식이 있다. 주의할 점은 방정식처럼 보이는 [math(ax+b=0)]같은 식도 [math(a=b=0)]라는 조건이 주어지면 항등식이 된다는 사실이다.[1] 조건을 항상 잘 확인하자. 중1 때 잠깐 나오는 건 맛보기라고 여길 법하지만, 고1로 올라가면 나머지정리ㆍ 인수정리와 엮어서 복잡한 문제로 나온다.
[math(f(x)=(x)]에 관한 식[math())]의 형태로 함수 [math(f(x))]를 정의할 때는 등식 [math(f(x)=(x)]에 관한 식[math())]을 [math(x)]에 대한 항등식으로 생각할 수 있다.
2. 예시
[math(e)]는 자연로그의 밑, [math(i)]는 허수 단위이다.2.1. 삼각함수
- [math(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta})]
- [math(\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1)]
- [math(1+\tan^2\theta = \sec^2\theta)]
- [math(1+\cot^2\theta = \csc^2\theta)]
- [math(\cos x+i\sin x = e^{ix})] ( 오일러 공식)
- [math(\sin\theta = -i\sinh i\theta)]
- [math(\cos\theta = \cosh i\theta)]
- [math(\sin x = \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})]
- [math(\cos x = \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})]
- [math(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = -i\,\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}})]
2.2. 지수
- [math(x^{a+b} = x^ax^b)]
- [math(x^{a-b} = \dfrac{x^a}{x^b})] (단, [math(x^b\neq0)])
- [math((x^a)^b = x^{ab})]
- [math((xy)^n = x^ny^n)]
- [math(e^x = \sinh x+\cosh x)]
2.3. 로그
- [math(\log{ab} = \log a+\log b)]
- [math(\log{\dfrac ab}=\log a-\log b)]
- [math(\log{a^n} = n\log a)]
- [math(\log_ab = \dfrac{\log_cb}{\log_ca})] (밑 변환 공식)
- [math(\log_ab = \dfrac1{\log_ba})]
- [math(\log_ix = \dfrac2{i\pi} \log_ex)]
- [math(\operatorname{li}(x) = (\operatorname{Ei} \circ \log_e)(x))][2]
2.4. 미적분
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \,c = 0)] ([math(c)]는 상수)
- [math(\displaystyle \dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \,x^n = nx^{n-1} \quad \leftrightarrow \quad \int x^n = \frac1{n+1} \,x^{n+1} +c)] ([math(c)]는 상수)
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \,e^x = e^x)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \ln x = \dfrac1x)]
- [math(\displaystyle \int_a^b f'(x) \,{\rm d}x = f(b) -f(a))] (단, 함수 [math(f'(x))]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이어야 한다. 미적분의 기본정리 참고.)
- [math(\displaystyle \int_1^e \frac1x \,{\rm d}x = \ln e -\ln1 = 1)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \sin x = \cos x)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \cos x = -\sin x)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \tan x = \sec^2x)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \cot x = -\csc^2x)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \sec x = \sec x\tan x)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \csc x = -\csc x\cot x)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \sinh x = \cosh x)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \cosh x = \sinh x)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \tanh x = \operatorname{sech}^2x)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \coth x = -\operatorname{csch}^2x)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{sech}x = -\operatorname{sech}x\tanh x)]
- [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{csch}x = -\operatorname{csch}x\coth x)]
- [math(\displaystyle \dfrac{\rm d}{{\rm d}x} |x| = \operatorname{sgn}(x) \quad \leftrightarrow \quad \int \operatorname{sgn}(x) = |x| +c)] ([math(c)]는 상수이고 [math(\operatorname{sgn}(x))]는 부호 함수이다.)
- [math(\displaystyle \dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{sgn}(x) = 2\delta(x) \quad \leftrightarrow \quad \int 2\delta(x) = 2\theta(x) +c = \operatorname{sgn}(x) +1+c)] ([math(c)]는 상수, [math(\delta(x))]는 디랙 델타 함수, [math(\theta(x))]는 헤비사이드 계단 함수이다.)
2.5. 벡터
- [math(({\bf a} \times {\bf b}) \times {\bf c} = -({\bf c} \cdot {\bf b}){\bf a} +({\bf c} \cdot {\bf a}){\bf b})]
-
[math({\bf a} \times ({\bf b} \times {\bf c}) = {\bf b}({\bf a} \cdot {\bf c}) -{\bf c}({\bf a} \cdot {\bf b})
)] - [math({\bf a} \times ({\bf b} \times {\bf c}) +{\bf b} \times ({\bf c} \times {\bf a}) +{\bf c} \times ({\bf a} \times {\bf b}) = {\bf 0})]
2.6. 미분류
-
[math({}_n{\rm P}_r = \dfrac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-r+1)} = (n-r+1) \dfrac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-r+2)} = (n-r+1) \cdot {}_n{\rm P}_{r-1})]
(단, 감마 함수에 들어가는 인수의 실수부가 0 이하의 정수이면 안 된다.) - [math(\operatorname{Im}(a) = 0 \quad (a\in\R))][3]
2.7. 곱셈 공식
1. [math((a+b)^2=a^2+2ab+b^2)]
2. [math((a-b)^2=a^2-2ab+b^2)]
3. [math((a+b)(a-b)=a^2-b^2)]
4. [math((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab)]
5. [math((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd)]
2.8. 인수분해
1. [math(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2)]
2. [math(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2)]
3. [math(a^2-b^2=(a+b)(a-b))]
4. [math(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b))]
5. [math(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d))]
곱셈 공식들의 양변을 바꾼 것들이다.
3. 미정계수법
[math(x)]에 관한 등식 [math(a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +\cdots +a_1x +a_0 = 0)]이 [math(x)]에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 [math(a_n = a_{n-1} = \cdots = a_1 = a_0 = 0)]인 것이다. 비슷하게, [math(a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +\cdots +a_1x +a_0 = b_nx^n +b_{n-1}x^{n-1} +\cdots +b_1x +b_0)]이 [math(x)]에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 [math(a_0=b_0, a_1=b_1, \cdots, a_{n-1}=b_{n-1}, a_n=b_n)]인 것이다. 이 두 성질을 이용해서 어떤 다항식의 계수를 찾는 방법을 미정계수법이라고 한다. 방법은 크게 2가지가 있다.- 계수비교법: 동류항의 계수는 같아야 하므로, 동류항의 계수끼리 비교해 식을 세운 뒤 값을 구하는 방법.
- 수치대입법: 문자에 그냥 아무 값이나 대입한 뒤[4] 방정식을 푸는 방법.
4. 판별법
[math(a\times y = a\times y)]식을 정리했을 때, 위와 같이 좌변과 우변이 같다면 항등식이다.