방정식/풀이

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1. 개요

2. 일원방정식

2.1. 일차방정식

• [math( a=0 )], [math( b \neq 0 )]인 경우: 이를테면 [math( 0 x = 2 )]의 꼴이므로 [math( x )]에 어떤 값을 대입해도 성립하지 않는다. 따라서 해는 없고, 이를 간단히 불능(不能)(가능하지 않음)이라고 한다.
• [math( a=0 )], [math( b=0 )]인 경우: [math( 0 x = 0 )]의 꼴이므로 [math( x )]에 어떤 값을 대입해도 항상 성립한다. 따라서 가능한 [math( x )]는 수 전체이고, 이를 간단히 부정(不定)(정해지지 않음) 혹은 항등식이라고 한다. 이런 방정식을 부정방정식이라고도 한다. [2]

2.1.1. 절댓값을 포함한 일차방정식

• 절댓값 기호 안의 식의 값이 [math(0)]이 되는 [math( x )]의 값을 경계로 하여 [math( x )]의 값의 범위를 나눈다.
• 각 범위에서 절댓값 기호를 없앤 후 식을 정리하여 [math( x )]의 값을 구한다.
• 위에서 구한 [math( x )]의 값 중 해당 범위에 속하는 것만 주어진 방정식의 해이다.
• 드물게 제곱근을 씌워놓고 출제하는 교사들도 있다. 중학교 3학년 때 배운 제곱근과 절댓값의 관계를 아는지 모르는지를 시험하기 위해서이다.

2.2. 이차방정식

• 정수 또는 간단한 유리수 범위 안에서 인수분해되는 꼴일 경우 [math( a \left(x - \alpha\right) \left(x - \beta\right) = 0 )]의 형태로 정리한다. 이때의 근은 [math(\alpha)] 혹은 [math( \beta)]. 즉 근이 2개 존재할 수 있게 되는 것. [math(\alpha )] 혹은 [math(\beta )]가 근인 이유는 실수가 체를 이루고 0이 덧셈에 대한 항등원이기 때문에 [math( AB=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0)]이기 때문이다.
• 정수 또는 간단한 유리수 범위 안에서 인수분해되지 않는 꼴도 있다. 그럴 경우 근의 공식 [math(\displaystyle x = {-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac} \over 2a} )]에 대입시키면 된다. 즉 근이 2개.
  근의 공식은 다음과 같이 유도한다.
  

• 다음과 같이 유도하기도 한다.

• 이차항의 계수가 1일 때, 즉 [math(x^2 + px + q = 0)]이면 PQ 공식을 사용할 수가 있다.
  

• [math(b)]가 짝수인 경우[5] [math(b=2b')]로 치환해서 약분하면 [math(\displaystyle x = {- b' \pm \sqrt{{b'}^{2} -ac} \over a} )]가 나온다. 이것을 짝수 근의 공식[6][7][8]이라고 한다. 한마디로 근의 공식 어레인지 버전.
• 여기서 [math(D \triangleq b^2 - 4ac)][9] 라고 할 때, 이차방정식의 근을 직접 구하지 않고 근이 실근인지 허근인지를 판별하기 위해서는 이차방정식의 근 판별식이라는 게 있는데 이때 [math(D > 0)]이면 서로 다른 두 실근을 가지고 [math(D = 0)]이면 중근 하나만 가진다. 그리고 [math(D < 0)]이면 서로 다른 두 허근[10]을 가진다. 즉 두 근의 값이 복소수라는 이야기다. 이차함수나 이차부등식을 배울 때도 아주 잘 쓰이는 것이니 잘 익혀두자. 참고로 판별식은 계수가 실수일 때만 사용할 수 있다. 계수가 허수인 경우에는[11] [math(D = 0)]일때는 허근인 중근, 0이 아닐 때는 서로 다른 두 근을 가지며, 적어도 하나의 허근을 가진다.
  

  근의 판별식 [math(D = b^2 - 4ac)]

  [math(D > 0)]

  서로 다른 두 실근

  
  

  [math(D = 0)]

  중근

  
  

  [math(D < 0)]

  서로 다른 두 허근

• 짝수 근의 공식이 존재하는 것처럼 짝수 판별식 [math(D' = D/4 = b'^2 - ac)]도 존재한다.[12][13]
• [math(ax^2 + bx + c = 0)]에서 [math(b)]가 실수이고, [math(a)]와 [math(c)]의 부호가 서로 다르면 반드시 서로 다른 두 실근을 가진다. [math(b^2 - 4ac)]에서 [math(a)]와 [math(c)]를 곱하면 음수가 되므로 [math(-4)]와 곱해서 양수가 되는 것을 통해 매우 쉽게 검증할 수 있다.
• 방정식을 [math(t^2=n)]꼴로 변형한 후 양변에 루트를 씌워주면 [math(t=\pm\sqrt{n})]이 되고 이렇게 나온 일차방정식을 두 번 풀어 근을 구할 수도 있다. 사실 이 방법이 이차방정식의 근의 공식을 유도하는 과정에서 쓰인다.
• 일차방정식처럼 절댓값ㆍ제곱근 씌워놓고 출제하는 교사들도 있다. 어떤 교사들은 가우스 기호까지 씌워서 내기도 한다.

2.3. 삼차방정식

• 인수분해가 되는 꼴일 경우 [math( a \left(x - \alpha\right) \left(x - \beta\right) \left(x - \gamma\right) = 0 )] 혹은 [math( a \left(x - \alpha\right) \left(x^2 + \beta x + \gamma\right) = 0 )]으로 정리한 뒤 근을 구한다. 일반적으로 삼차 이상의 방정식은 풀기가 쉽지 않지만 이차방정식의 인수분해를 이용하면 그 해를 구할 수 있다.
• 그 외의 경우 삼차방정식의 근의 공식을 이용한다. 이 공식은 S. 페로와 니콜로 폰타나가 발견했으나, 카르다노는 삼차방정식의 일반적인 해법을 완성하였다. 그 이름을 따와 카르다노의 공식이라고 불린다. 이에 대해서는 니콜로 폰타나, 지롤라모 카르다노 문서로.
  
  [math(\displaystyle-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}}\omega^{k}+\sqrt[3]{{-q-\sqrt{q^{2}+p^{3}}}}\omega^{2k})]
  
  
  ([math(\displaystyle p:=\frac{c}{3a}-\frac{b^{2}}{9a^{2}})], [math(\displaystyle q:=\frac{d}{2a}+\frac{b^3}{27a^3}-\frac{cb}{6a^2})], [math(\omega)]는 [math(x^3=1)]의 원시근([math(\omega^2+\omega+1=0)][14])이다.)
  
  

  ---

  
  
  정수 [math(k)]의 값에 따라 세 가지 값이 나오는데, 각각이 세 근이다. [math(2p\equiv -p\pmod 3)]이고, [math(\omega^2=\bar{\omega})]이므로 [math(\omega^{2k})]제곱 대신 [math(\omega^{3-k})]나 [math(\omega^{-k})], [math(\bar{\omega}^{k})]로 표기하기도 한다.
  
  다항식 챕터에서 인수분해 풀기 싫어서 공식 외우려는 고등학생은 그냥 인수분해 하는 걸 추천한다.[15] 수학과 교수도 (유도과정만 알면 충분히 구하므로) 안 외우는 식이다. 일부 용자들은 이거 외워서 3차 방정식을 풀기도 한다. 4차 방정식도 외우는 용자도 있다. 물론 세제곱근을 암산해야 한다는 게 함정(...) 게다가 식에 [math(\sqrt[3]{\phantom{\cdots}})]이 있기 때문에 종이랑 연필만으로는 답이 안 나오는 경우가 허다하다. 공학용 계산기쯤은 동원해야 되는데 공학용 계산기엔 이미 다항식 풀이 기능이 있다. 다만, Wolfram Alpha 사용자가 카르다노의 해법을 이용한 값을 입력하면 원래 근의 수치해와는 다른 값이 나오므로 주의해야 한다.[16]
  유도 과정은 [math(x=y-\frac{b}{3a})]로 치환해 [math(x^2)]의 계수를 없앤 뒤, [math(a'y^3+c'y+d'=0)]로 정리하고, 여기에서 [math(y=u+v)]로 다시 치환해서 정리하면 [math(\left(3a'uv+c'\right)\left(u+v\right)+a'\left(u^3+v^3\right)+d'=0)]임을 이용, [math(3a'uv+c'=0)]과 [math(a'\left(u^3+v^3\right)+d'=0)]의 연립방정식을 통해 [math(u^3)], [math(v^3)]값을 찾아서 그걸로 [math(y)]값을 구하고 다시 [math(x)]값을 계산한다. 단, 이차항이 없는 방정식 같은 경우 이차항 없애는 과정 없이 바로 [math(y=u+v)]로 치환하는 과정부터 시작하면 된다.[17]

• 인수분해로 유도하는 방법도 있는데 [math((y+u+v)(y+\omega u+\omega^2 v)(y+\omega^2 u+\omega v)=y^3+u^3+v^3-3yuv=0)]을 이용하는 경우 [math(y+u+v=0)]으로 치환해서 [math(y=-u-v)]로 놓으며 [math(-u^3-v^3+d'=0)]로 d'를 u와 v에 관한 식으로 푼 후 [math(v=-\dfrac{c'}{3u})]로 u에 관해서 풀면 [math(u^6-d'u^3-\dfrac{c'^3}{27}=0)]로 u^3에 관해 이차방정식으로 풀면 나온다.

• 다음은 삼차방정식 [math(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0(a \neq 0) )]의 근의 공식이다.

2.4. 사차방정식

• 유리수 범위에서 인수분해가 되는 사차방정식의 경우는 인수분해를 해서 이, 삼차방정식과 같이 구한다.
• 상반방정식 혹은 대칭방정식이라 불리는 방정식의 경우 [math(ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0)]은 [math(cx^2)]을 기준으로 거울처럼 나뉘는데,
1. [math(a \ne 0)]이고 [math(x \ne 0)]이므로 양변을 [math(ax^2)]로 나누면 [math(x^2 + \displaystyle {b \over a} x + \displaystyle {c \over a} + \displaystyle {b \over ax} + \displaystyle {1 \over x^2} = 0)]가 된다.
2. [math(x^2 + \displaystyle {1 \over x^2} + \displaystyle {b \over a} x + \displaystyle {b \over ax} + \displaystyle {c \over a} = 0)]으로 묶어낸다.
3. 여기서 양변에 2를 더해준 뒤 계수가 [math(\displaystyle {b \over a})]인 항끼리 묶어낸다. 이러면 식은 [math(x^2 + 2 + \displaystyle {1 \over x^2} + \displaystyle {b \over a} \left({x + {1 \over x}} \right) + {c \over a} - 2 = 0)]이 된다.
4. 그리고, [math(x^2 + 2 + \displaystyle {1 \over x^2})]는 [math(\left({x + \displaystyle {1 \over x}} \right)^2)]로 묶어내지게 된다. 최종적으로는 [math(\left({x + \displaystyle {1 \over x}} \right)^2 + \displaystyle {b \over a} \left({x + \displaystyle {1 \over x}} \right) + \displaystyle {c \over a} - 2 = 0)]이 되는데,
5. 이제 치환을 하여 [math(y = x + \displaystyle {1 \over x})]로 놓으면, 이것은 [math(y)]에 관한 2차방정식이 되므로 [math(y^2 + \displaystyle {b \over a} y + \displaystyle {c \over a} - 2 = 0)]이라는 식을 얻는다.
6. 마지막으로 두 근을 [math(y)], [math(y')]라고 하면 각각 [math(y = x + \displaystyle {1 \over x})]와 [math(y' = x + \displaystyle {1 \over x})]에 대입하여 [math(x)]의 값 4개를 처음 4차방정식의 근으로 정한다.
• [math(ax^4 + bx^2 + c = 0)]과 같은 복이차식의 경우,
1. [math(x^2)]을 [math(X)]로 치환하여 [math(aX^2 + bX + c)]에 대한 방정식을 풀어내어 두 근 [math(X_1)], [math(X_2)]를 얻어낸다.
2. 그리고 [math(X_1=x^2)], [math(X_2=x^2)]을 또 한번 풀어내어 4개의 근을 구하면 된다.
• 공식을 이용한다. 이 공식 역시 유도 과정이 매우 복잡하다.[20] 증명자는 루도비코 페라리. 위에서 말한 카르다노의 제자다. 보다시피 사차방정식을 풀 때 삼차방정식도 함께 풀어야 한다. 그런데, 이 공식을 이용하면 실수체 위에서 기약인 이차식 둘이 곱해진 사차식을 인수분해할 수 있다. 좌변을 [math((x^2+(b/2a)x+z/2)^2)]로 쓰고 우변이 완전제곱식이 되는 z값을 찾는게 핵심.

• 인수분해로 유도하는 과정은 [math(x=y-\frac{b}{4a})]로 치환해 [math(x^3)]의 계수를 없앤 뒤, [math(a'y^4+c'y^2+d'y+e'=0)]로 정리하고, 여기에서 [math((y+u+v+s)(y+u-v-s)(y-u+v-s)(y-u-v+s)=y^4+u^4+v^4+s^4-2y^2u^2-2y^2v^2-2y^2s^2-2u^2v^2-2u^2s^2-2v^2s^2+8yuvs=0)]에 대해서 [math(y+u+v+s=0)]로 치환해서 [math(y=-u-v-s)]로 놓은 후 [math(-u^4-v^4-s^4+2u^2v^2+2u^2s^2+2v^2s^2+e'=0)]로 e'를 u와 v와 s에 관한 식으로 푼 후 [math(vs=\dfrac{d'}{8u})], [math(v^2+s^2=-u^2-\dfrac{c'}{2})]로 u에 관해서 풀면 [math(-4u^6-2c'u^4+\left(-\dfrac{c'}{4}+e'\right)u^2+\left(\dfrac{d'^2}{16}\right)=0)]로 [math(u^2)]에 관해 삼차방정식으로 풀면 나온다.[21]

2.5. 오차 이상의 방정식

• 당연한 얘기지만, 인수분해가 되면 인수분해해서 다른 방정식과 같은 방법으로 해를 구하면 된다.

• 복삼차식이나 복사차식, 삼복이차식, 복복이차식,... 등도 근의 공식으로 해를 구할 수 있으며 최대 4차까지로 인수분해 가능한 형태이면 근의 공식으로 풀 수 있다. 당장 3차방정식, 4차방정식 근의 공식 유도 과정중에 이러한 과정이 나온다.

• 수학자 아벨이, [math(n\ge5)][23]일 때, [math(n)]차방정식은 주어진 식에서(유리수든 실수든 복소수든 관계없다.) 유한 번의 제곱근 처리 및 사칙연산으로 답을 구할 수 있는 일반화된 해법이 존재하지 않는다는 사실을 증명했다.
• 수학자인 갈루아는 '오차 이상의 대수방정식이 해법이 구해질 수 있는 조건'에 대해 논문을 썼다. 뭔가를 밝혀냈다는 말 없이 논문[24]을 썼다는 것 하나로 서술이 끝났다는 것에서 감이 잡힐 듯 싶다.
• 브링 근호( Bring radical)를 사용하면 임의의 5차방정식의 해를 나타낼 수 있다. 방정식 [math(x^5+x+a=0)]는 오직 하나의 실근을 가지는데, 이 근을 [math(\mathrm{BR}(a))] 또는 [math(\mathrm{ultraradical}(a))][25]로 정의하고 이것을 이용해 오차방정식의 해를 나타낸다. 모든 오차방정식은 치른하우스 변환(Tschirnhaus Transformation)을 통해 [math(x^5+x+a=0)]의 꼴로 축약할 수 있다. 브링 근호는 타원곡선, 초기하함수 등을 이용하여 나타낼 수 있다.
• 다만, 일반화된 해법이 없을 뿐이지, 모든 오차이상의 방정식을 사칙연산과 (거듭)제곱근을 유한번 이용해서 풀 수 없는 것은 아니다. 모든 Root of Unity[26]는 사칙연산과 유한 번 제곱근 처리로 답을 낼 수 있으며,[27] [math(x^5 - 5x + 12 = 0)]나 [math(x^6 + x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0)] 등 특수한 5차 이상의 방정식이 사칙연산과 유한 번 제곱근 처리로 계산이 가능하다는 것을 보여주는 Dummit이나 Hagedorn 등 수학자들의 연구 또한 존재한다. 정확히는 어떤 주어진 5차 이상의 방정식으로 갈루아군을 만들었을 때, 가해군이 된다는 것을 보일 수만 있다면 그 방정식은 대수적인 풀이가 존재하게 된다. 다만 일반화된 5차 이상의 방정식의 경우, [math(\rm{S}_{5})] 이후의 갈루아군은 일반적으로 가해군이 아니기 때문에 대수적인 풀이는 존재하지 않는다.[28]

2.6. 분수방정식과 무리방정식

• 분수방정식 [math(\displaystyle \frac{a}{bx^3+cx^2+dx+e}=1)]은[30] 뒤에 있는 다항식을 상수 [math(a)]를 이항시켜서 [math(bx^3+cx^2+dx+f=0)] 꼴로 만들어 준 후 다항함수의 꼴로 만들어서 근을 구하면 된다. 주의할 점은, 일반적으로 분모는 0이나 허수가 될 수 없으므로 허근이 나올 경우 해당 근들은 배제하여야 한다. 허수의 경우에는 상황에 따라 가능한 경우도 있으니 유의하자.
• 분수방정식은 분모의 최소공배수를 곱하여 다항방정식으로 고친다.
• 무리방정식은 양변을 제곱하여 다항방정식으로 고친다. 이름대로 일부 항의 계수가 무리수이기 때문에 허근에만 켤레근 적용이 가능하다.
• 그 이후로는 다항방정식의 풀이방법과 동일하다.
• 주의! 이들 방정식은 무연근이라는 게 있다. 분수방정식은 분모를 0이 되게하는 해가, 무리방정식은 해를 대입한 결과 양변의 값이 일치하지 않으면 무연근이다. 유리함수에서 2개의 점근선 중 x축 쪽에 있는 것이 무연근이다. 하지만, 분수방정식이라고 꼭 무연근이라는 것을 가지지는 않지만, 무리방정식은 적어도 1개 이상의 무연근을 갖는다.

2.7. 상반방정식

3. 부정방정식

3.1. 디오판토스 방정식

4. 연립방정식

5. 미분방정식

6. 일반적인 방정식의 해법

• 일단 기본적으로는, 치환을 한 다음 인수분해를 해서 주어진 방정식을 1차 방정식들의 곱으로 만든 다음, 그 1차 방정식들에 대해 [math(ab=0)]이면 [math(a=0)] 또는 [math(b=0)]이란 사실을 이용하여 치환된 방정식의 해를 구하고 대입법과 치환된 방정식의 해를 이용해 원래 방정식의 해를 구하면 된다.
• 함수를 이용하는 방법도 있다. 자세한 내용은 다항함수/추론 및 공식 문서로.
• 수치해석학적 알고리즘를 이용해 근사값을 구할 수도 있다. 보통 무한급수의 꼴이나 점화식으로 나타내어지는데, 원하는 오차가 아무리 작더라도 그 오차 이내의 근사값을 충분히 구할 수 있다. 뉴턴-랩슨 방법, 보간법 등을 쓰는데, 이 기법들을 이용하면 연속함수로 이루어진 방정식의 대부분의 해의 근사값을 구할 수 있다.
• 다항방정식인 경우, 유리근 정리를 이용해 해의 후보군을 뽑을 수 있다. 간단히 말하면, 최고차항 계수의 약수와 상수항의 약수의 몫 중에 근이 있을 수 있다는 것이다.

7. 방정식 문제

7.1. 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기

7.2. 치환을 이용한 방정식의 풀이

7.3. 이차방정식의 판별식을 이용하여 미정계수의 값 또는 범위 구하기

7.4. 활용문제

7.4.1. 일차방정식

[예제]

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2018년 고1 3월 모의고사 30번

[풀이]

우선, 위 문제를 풀 때 a=2임을 파악하고 출발해야 한다. M=3(K+2)이고, M과 3(K+2) 모두 네 자리 수이므로, M의 천의 자리 숫자는 적어도 K의 천의 자리 숫자의 3배 이상이다. 그러나, a≠2, a≠8이면 a≥3a이고 그런 자연수 a는 존재하지 않으므로, 귀류법에 의해 a=2이다.
만약 a=8이면, M은 네 자리 수인 반면 3(K+2)는 다섯 자리 수가 되므로 부적합하다.
그 다음, 경우가 세 가지로 나뉘는데, b=2인 경우 b=8인 경우, b≠2, b≠8인 경우이다.
i) b≠2, b≠8인 경우, K=2080+100b+c이고, M=8060+100b+c이므로, 100b+c=907이다. 그러나 원판 B에는 9가 없으므로, b의 값이 9일 수 없다. 따라서 이 경우는 부적합하다.
ii) b=2인 경우, K=2280+c이고, M=8860+c이므로, c=1007이다. 따라서 부적합하다.
iii) b=8인 경우, K=2880+c이고, M=8660+c이므로, c=7이다. 따라서, 이 경우가 가장 적합하다.
혹시나 c=2이거나 c=8일수도 있지 않냐고 반문할 수도 있을것이다. 그러나, c=2이면 3(K+2)의 일의 자리 숫자는 2이고, M의 일의 자리 숫자는 8이므로 부적합하며, c=8이면 3(K+2)의 일의 자리 숫자는 0이고, M의 일의 자리 숫자는 6이므로 이 역시 부적합하다.
따라서, a+b+c=2+8+7=17이다.

7.4.2. 이차방정식

[예제]

-----

2019년 고1 3월 모의고사 18번

7.4.3. 고차방정식

[예제]

-----

2021년 고1 11월 모의고사 29번

7.4.4. 연립방정식

7.4.4.1. 연립일차방정식

[예제]

-----

2017년 고1 3월 모의고사 25번 [풀이] 직사각형이므로 2a=3b···㉠ 4a+5b=88···㉡ ㉠, ㉡에 의해 a=12, b=8 a+b=20

7.4.4.2. 연립이차방정식

[예제]

-----

2017년 고1 11월 모의고사 27번

7.4.5. 부정방정식

7.4.6. 미분방정식

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