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다면체 Polyhedron |
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1. 개요
角 臺(각대) / pyramid다각형을 밑면으로 삼고, 다각형의 모든 변을 다각형이 존재하는 평면 밖의 한 점(정점, 頂 點)과 이은 입체 도형. '각대(角臺)'라고도 한다.
밑면 하나와 밑면의 변의 개수만큼의 삼각형 옆면으로 이루어져 있다. 삼각뿔의 경우 밑면도 삼각형이므로 밑면과 옆면을 구분할 수 없다. 모든 면이 정다각형인 볼록 다각뿔은 유클리드 공간에서 오직 3개( 정삼각뿔, 정사각뿔(J1), 정오각뿔(J2))만 존재한다.[2]
각뿔의 밑면과 평행한 모든 단면은 밑면과 닮음이다.
2. 일반적인 다각뿔에 대한 정보
각기둥 밑면의 넓이를 [math(A)], 밑면의 둘레를 [math(\ell)], 높이를 [math(h)]라고 할 때부피(volume) = [math(\displaystyle\frac{1}{3}Ah)]
2.1. 정n각뿔에 대한 정보
| 단위/특성 | 개수 | 비고 |
| 슐레플리 기호 | ()∨{n}[3][4] | |
| 꼭지점(vertex, 0차원) | n+1 | |
| 모서리(edge), 1차원) | 2n | |
| 면(face, 2차원) | n+1 | 정n각형, 삼각형×n |
| 쌍대 | 정n각뿔[5] |
3. 확장된 의미
2차원 다각형의 변을 한 점과 이어 3차원 도형인 각기둥을 만들 수 있듯이, n차원의 도형들을 한 차원 더 높은 차원의 어느 한 점과 이어 초각뿔(hyperpyramid)을 만들 수 있다. 슐레플리 기호는 ()∨P[6]로 3차원 다각뿔과 같다.밑면의 초넓이가 A[7], 높이가 h인 초부피의 높이 t에서의 단면은
[math(\displaystyle A\left(\frac{h-t}{h}\right)^{n-1})]
이므로, 높이 0~h까지 적분하면
[math(\displaystyle\int^{h}_{0}A\left(\frac{h-t}{h}\right)^{n-1}\, dt)]
[math(=\,\displaystyle-A\frac{h}{n}\left[\left(\frac{h-t}{h}\right)^n\right]^{h}_{0})]
[math(=\,\displaystyle\frac{1}{n}Ah)]
따라서 밑넓이 A, 높이 h인 n차원 초각뿔의 부피는 [math(\displaystyle\frac{1}{n}Ah)]이다.
4. 둘러보기 틀
[1]
이게 왜 다각뿔에 해당하는지 궁금할 수도 있으나, 슐레플리 기호로 ()∨{5/2}인 오목 정다각뿔이다. 자세한 내용은 정n각뿔에 대한 정보에서
슐레플리 기호를 참조.
[2]
정삼각형이 6개 모이면 각도가 360°가 되고, 이는 평면도형으로 축퇴되며, 당연히 이보다 많은 정삼각형은 한 점에 모을 수 없다.
[3]
슐레플리 기호에서 ()는 점을 의미하며, ∨는 한 지점으로 도형을 잇는다는 연산자이다.
[4]
참고로 {}는 선분을 의미하고, ()∨{}는 선분의 양 끝을 한 점과 이은 도형, 즉 삼각형을 의미한다.
[5]
밑면과 옆면을 꼭지점으로 치환하고 다시 이어도 똑같은 모양이 된다.
[6]
단, P는 n-1차원 도형
[7]
n차원 초입체를 이루는, n-1차원 도형. 면처럼 취급한다.