고전역학 Classical Mechanics |
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1. 개요
비리얼 정리(Virial Theorem)은 일반적 역학계에서 평균 운동 에너지와 평균 위치 에너지가 서로 비례한다는 정리이다. 천체역학에서 중요한 정리 중 하나로, 다양한 분야에 응용이 가능한 정리이다.일반적으로 2[math(K)] = –[math(U)]라는 식으로 나타내어지고, 은하의 경우 [math(v^2)] = [math(\dfrac{0.4GM}{r_h})]로 표현 가능한데, 여기서 v는 은하의 각 항성들의 고유 운동 속도 제곱의 평균값, M은 은하 전체 질량, [math(r_h)]는 천체 질량의 절반까지를 포함하고 있는 반지름이다.
이를 통해 은하의 전체 에너지 [math(E_{tot})] = [math(K)] + [math(U)] = -[math(K)] = [math(\dfrac{1}{2}U)]임을 알 수 있다.
앞서 설명했던 것은 천체역학에서의 비리얼 정리이고, 양자역학과 전자기학에서도 비리얼 정리를 사용할 수 있다.
비리얼 정리와 관련된 문제가 2020년 국제 천문 및 천체물리 e-경시대회에서 실무/자료분석 부문 문제로 출제된 적이 있다.
은하 중심부의
초대질량 블랙홀 주위에 있는 강착원반에서는
자외선 형태의 열복사가 방출되는 것으로 알려져 있다. 이 열복사는 활동은하핵(AGN)과 관련이 깊다. 밝은 AGN의 광학 스펙트럼에서는 추가적으로 넓은 [math(H_\beta)] 방출선이 나타난다. 이 [math(H_\beta)] 방출선은 넓은 선 방출영역(BLR)의 고밀도 가스가 강착원반의 자외선
광자에 의해 이온화되어 발생한다.
[math(H_\beta)] 방출선 선속의 변화는 자외선 방출량의 변화를 시간 차를 두고 따라간다고 가정할 수 있다. 이 시간 차는 블랙홀과 BLR 사이의 거리 [math(R_{BLR})]과 비례할 것이다. 강착원반의 크기가 [math(R_{BLR})]에 비해 매우 작다고 가정할 때, 다음 물음에 답하시오.
1. 이 그래프는 시간(단위: JD-2400000)에 따른 블랙홀의 B 필터 밝기와 [math(H_\beta)] 방출선의 밝기 변화를 나타낸 것이다. 블랙홀의 B 필터 밝기 변화와 [math(H_\beta)] 방출선 변화 사이의 시간 차(단위: 일)를 구하시오. (1점)
1. [math(H_\beta)](단위: 파섹)를 구하시오. (3점)
1. 지구로부터 AGN까지의 거리가 100 메가파섹일 때, 블랙홀과 BLR 사이의 각거리 [math(\theta_{BLR})](단위: 각초)를 구하시오. (2점)
BLR을 이루는 가스의 속도분산 [math(v_\sigma)]을 안다면 비리얼 정리를 사용해 계 전체의 질량을 추산할 수 있다. 강착원반과 BLR의 질량이 블랙홀의 질량에 비해 매우 작다고 가정하고, 파장의 분산이 [math(\sigma=FWHM/2.35)]로 주어진다고 가정하자. (여기에서 FWHM은 [math(H_\beta)] 방출선의 반치전폭을 의미한다.)
1.#4 이 그래프는 [math(H_\beta)] 방출선의 세기를 파장에 따라 나누어 나타낸 것이다. 이 그래프를 참고하여 속도분산 [math(v_\sigma)](단위: km/s)을 구하시오. (5점)
1. 중심 블랙홀의 비리얼 질량[1] [math(M_{vir,BH})](단위: 태양 질량 [math(M_S)])을 구하시오. (4점)
[math(H_\beta)] 방출선 선속의 변화는 자외선 방출량의 변화를 시간 차를 두고 따라간다고 가정할 수 있다. 이 시간 차는 블랙홀과 BLR 사이의 거리 [math(R_{BLR})]과 비례할 것이다. 강착원반의 크기가 [math(R_{BLR})]에 비해 매우 작다고 가정할 때, 다음 물음에 답하시오.
1. 이 그래프는 시간(단위: JD-2400000)에 따른 블랙홀의 B 필터 밝기와 [math(H_\beta)] 방출선의 밝기 변화를 나타낸 것이다. 블랙홀의 B 필터 밝기 변화와 [math(H_\beta)] 방출선 변화 사이의 시간 차(단위: 일)를 구하시오. (1점)
1. [math(H_\beta)](단위: 파섹)를 구하시오. (3점)
1. 지구로부터 AGN까지의 거리가 100 메가파섹일 때, 블랙홀과 BLR 사이의 각거리 [math(\theta_{BLR})](단위: 각초)를 구하시오. (2점)
BLR을 이루는 가스의 속도분산 [math(v_\sigma)]을 안다면 비리얼 정리를 사용해 계 전체의 질량을 추산할 수 있다. 강착원반과 BLR의 질량이 블랙홀의 질량에 비해 매우 작다고 가정하고, 파장의 분산이 [math(\sigma=FWHM/2.35)]로 주어진다고 가정하자. (여기에서 FWHM은 [math(H_\beta)] 방출선의 반치전폭을 의미한다.)
1.#4 이 그래프는 [math(H_\beta)] 방출선의 세기를 파장에 따라 나누어 나타낸 것이다. 이 그래프를 참고하여 속도분산 [math(v_\sigma)](단위: km/s)을 구하시오. (5점)
1. 중심 블랙홀의 비리얼 질량[1] [math(M_{vir,BH})](단위: 태양 질량 [math(M_S)])을 구하시오. (4점)
자세한 내용은 해당 문서로.
2. 특징
2.1. 안정 상태가 아닐때
이 말인 즉슨 비리얼 정리는 천체가 안정된 상태라고 가정을 하고 만든 정리인데, 만약 운동에너지가 더 크다면 천체가 팽창할 것이고, 위치에너지가 더 크다면 천체는 수축할 것이다.2.2. 다양한 응용 분야
비리얼 정리는 천체역학에서 매우 중요한 정리인 만큼 천체역학에서나, 그 외 다른 분야에도 다양하게 응용할 수 있다.뒤에서 설명할 백색왜성의 찬드라세카르 한계나 은하 회전곡선을 통한 은하의 질량 분포 유추 가능한 것 외에도 태양계와 같은 행성계에서나 플라스모이드[2]의 수명을 알 수 있다.
2.2.1. 백색왜성
비리얼 정리를 활용하여 백색왜성의 찬드라세카르 한계를 유도할 수 있다. 찬드라세카르 한계는 백색왜성이 스스로 중력 붕괴하지 않는 최대 질량을 말하는데 비리얼 정리를 활용하여 운동에너지와 위치에너지의 차이를 이용해 최대 질량을 구할 수 있게 되는 것이다. 회전하지 않는 백색왜성의 경우 찬드라세카르 한계는 태양의 약 1.44배라고 한다.자세한 내용은 해당 문서로.