1. 개요
Tsiolkovsky's rocket equation1903년 러시아의 과학자 콘스탄틴 치올코프스키가 발표한, 이상적인 조건에서 로켓의 운동을 기술하는 식이다. 로켓은 발사하면 소모된 연료만큼 앞으로 나아가지만 동시에 연료를 소모하기에 로켓의 질량은 점점 줄어든다. 이 운동을 미분방정식으로 나타낸 것.
로켓을 멀리 보내려 할수록 더 많은 연료가 필요한데, 이는 로켓의 질량을 더 무겁게 하므로 로켓의 추진력에 부담이 된다. 이 딜레마 상황을 로켓방정식의 저주라고 한다.
퍼텐셜이 없는 공간에서 1차원 운동하는 로켓의 초기 속도를 [math(v_{i})], 나중 속도를 [math(v_{f})], 초기 질량을 [math(m_{i})], 나중 질량을 [math(m_{f})], 로켓에 대한 연료의 분출 속력을 [math(u)]라 하면, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle v_{f}=v_{i}+u\ln{\biggl( \frac{m_{i}}{m_{f} }\biggr)} )]
로켓이 중력장에 있을 경우에는 다음이 성립한다. [math(m_{0})]는 [math(t=0)]에서 로켓의 질량, [math(m)]은 [math(t)]에서의 로켓의 질량이다.
[math(\displaystyle v=-gt+u \ln{\biggl(\frac{m_{0}}{m} \biggr)} )]
2. 유도
2.1. 퍼텐셜이 없을 때
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퍼텐셜이 없는 1차원에 국한되어 운동하는 로켓을 고려한다. 로켓은 가속을 얻기 위해서 연료를 방출할 것이며, 이 로켓에선 연료의 분출 방향 또한 로켓의 운동 방향과 평행하다고 가정한다.
시각 [math(t)]에서 질량이 [math(m)]인 로켓의 속도를 [math(v)]라 하자. 시각 [math(t+{\rm d}t)]에서 연료가 분출된 후 로켓의 질량이 [math(m+{\rm d}m)](단, 질량이 줄어드는 상황이므로 [math({\rm d}m<0)])으로 변했다면, 분출된 연료의 질량은 [math(-{\rm d}m)]이 된다. 연료의 분출 속도를 [math(v')]이라 하자. 또, 로켓의 속도는 [math(v+{\rm d}v)]로 변할 것이다.
이상에서 [math(t)]에서 로켓의 계의 운동량은 [math(mv)]이고, [math(t+{\rm d}t)]에서 로켓의 운동량은 [math((m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v))], 연료의 운동량은 [math(-v'\,{\rm d}m)]이다. 이는 곧 [math(t+{\rm d}t)]에서 로켓의 계의 운동량은
[math( (m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)-v'\,{\rm d}m )]
로켓의 계에 가해지는 외력이 없으므로 계의 운동량은 보존되어야 한다. 즉, [math(t)], [math(t+{\rm d}t)]에서 운동량은 같아야 하므로
[math( mv=(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)-v'\,{\rm d}m )]
한편, 연료의 로켓에 대한 상대적인 분출 속도 [math(-u \equiv v'-(v+{\rm d}v))]를 도입하면,
[math( mv=(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)+{\rm d}m [u-(v+{\rm d}v) ] )]
이것을 전개하여 정리하자.
[math( m\,{\rm d}v=-u\, {\rm d}m \quad \cdots \quad (\ast) )]
변수분리를 통해 위 미분 방정식을 풀 수 있으며
[math( {\rm d}v=-u \dfrac{{\rm d}m}{m} )]
에서 로켓의 초기 속도를 [math(v_{i})], 나중 속도를 [math(v_{f})], 초기 질량을 [math(m_{i})], 나중 질량을 [math(m_{f})]라 하면,
[math(\displaystyle \int_{v_{i}}^{v_{f}}{\rm d}v=-u \int_{m_{i}}^{m_{f}}\dfrac{{\rm d}m}{m} )]
인데 아래와 같이 적분의 결과를 나중 속도에 대하여 정리하면,
[math(\displaystyle v_{f}=v_{i}+u\ln{\biggl( \frac{m_{i}}{m_{f} }\biggr)} )]
참고로 식 [math((\ast))]의 양변을 [math({\rm d}t)]로 나누면
[math( m \dfrac{{\rm d}v}{{\rm d}t}=-u\, \dfrac{{\rm d}m}{{\rm d}t} )]
이 식의 좌변은 곧 로켓이 받는 힘으로도 생각할 수 있는데 우변을 '로켓의 추진력'이라 정의하기도 한다.
2.2. 중력장이 있을 때
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이번에는 중력장 내에서의 로켓 방정식을 유도해보자. 위 결과에서 [math({\rm d}t)] 동안 계의 운동량 변화는
[math( mv-[(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)-v'\,{\rm d}m] )]
운동량과 충격량 사이의 관계에 의하여
[math( [(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)-v'\,{\rm d}m]-mv=-mg\,{\rm d}t )]
마찬가지로 연료의 로켓에 대한 상대적인 분출 속도 [math(-u \equiv v'-(v+{\rm d}v))]를 도입하면,
[math(\begin{aligned} [(m+{\rm d}m)(v+{\rm d}v)+[u-(v+{\rm d}v) ]\,{\rm d}m]-mv&=-mg\,{\rm d}t \end{aligned})]
위 식을 정리하면
[math(\begin{aligned} m\,{\rm d}v + u\, {\rm d}m&=-mg \,{\rm d}t \end{aligned})]
이때, 양변을 [math({\rm d}t)]로 나누면
[math(\begin{aligned} \dot{v} + \frac{u}{m} \dot{m}&=-g\end{aligned})]
문제를 간단히 하기 위해 연료의 질량 감소율은 일정하다고 하면 [math(\dot{m}\equiv -\alpha)]이다. 따라서
[math(\begin{aligned} {\rm d}v= \left(-g+\frac{\alpha}{m}u \right)\,{\rm d}t \end{aligned})]
이 방정식을 그대로 풀기에는 [math(m)]에 대한 정보가 없기에 [math({\rm d}m=-\alpha\, {\rm d}t)]임을 이용해서 시간을 소거하자.
[math(\begin{aligned} {\rm d}v= \left(\frac{g}{\alpha}-\frac{u}{m} \right)\,{\rm d}m \end{aligned})]
양변을 적분하면
[math(\begin{aligned} \int_{0}^{v}{\rm d}v'= \int_{m_{0}}^{m} \left(\frac{g}{\alpha}-\frac{u}{m'} \right)\,{\rm d}m' \end{aligned})]
이고, 이 결과는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} v=-\frac{g}{\alpha}(m_{0}-m)+u \ln{\biggl(\frac{m_{0}}{m} \biggr)} \end{aligned})]
한편, 시간 [math(t)]까지의 연료의 질량 감소량은 [math(-\alpha t)]이므로
[math(\begin{aligned} m_{0}-m=\alpha t \end{aligned})]
이상에서 다음을 얻는다.
[math(\begin{aligned} v&=-gt+u \ln{\biggl(\frac{m_{0}}{m} \biggr)} \\&=-gt-u \ln{\biggl(\frac{\alpha t}{m_{0}}+1 \biggr)} \end{aligned})]
3. 여담
- 가수 윤하가 이 방정식과 딜레마에서 영감을 받은 로켓방정식의 저주라는 노래를 발표했다. 알쓸인잡에서 로켓방정식의 저주에 대한 이야기를 하는 것을 듣고 이것이 우리의 꿈과 이상과 비슷하다고 느꼈다고 한다.