헤론의 공식

평면기하학 Plane Geometry
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1. 개요2. 유도

2.1. 피타고라스 정리 이용2.2. 코사인 법칙 이용

3. 변형 공식4. 헤론의 삼각형5. 기타6. 관련 문서

1. 개요

평면 위의 삼각형의 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 공식으로, 세 변의 길이를 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라 하면 넓이는 아래와 같다.

[math(\displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \quad \left(s=\dfrac{a+b+c}{2} \right) )]

삼각형의 세 변의 길이만 알면 바로 공식에 대입하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있기 때문에 상당히 유용하다.

이 공식은 헤론(Ήρων, AD 10 ~ AD 70)의 저서 〈Metrica〉에서 발견되었기 때문에 그의 이름이 붙었다.

2. 유도

헤론의 공식을 유도하는 방법은 다양하다.

2.1. 피타고라스 정리 이용

위 그림과 같은 삼각형 [math(\rm ABC)]를 고려하자. 이때, [math(\angle{\rm A} \geq \angle{\rm B})], [math(\angle{\rm A} \geq \angle{\rm C})]이다.[1] 꼭짓점 [math(\rm A)]에서 밑변 [math(\rm BC)]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하고, [math(\overline{\rm BH}=x)]라 하자. [math(\overline{\rm AH}=h)]로 나뉜 두 직각삼각형 [math(\rm ABH)], [math(\rm ACH)]에 대하여 각각 피타고라스 정리를 적용하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} c^{2}&=h^{2}+x^{2}\\ b^{2}&=h^{2}+(a-x)^{2} \end{aligned} )]

두 식을 빼어

[math(\displaystyle c^{2}-b^{2}=2ax-a^{2} \quad \to \quad x=\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} )]

을 얻고, [math(c^{2}=h^{2}+x^{2})]을 이용하여

[math(\displaystyle \begin{aligned} h^{2}&=c^{2}-x^{2} \\&=c^{2}-\left( \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)^{\!2} \\&=\left( c+\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)\left( c-\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right) \\ &=\left[ \dfrac{(a+c)^{2}-b^{2}}{2a} \right]\left[ \dfrac{b^{2}-(a-c)^{2}}{2a} \right] \\&=\dfrac{1}{4a^{2}}(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)\\&=\dfrac{1}{4a^{2}}\cdot 2s \cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-a) \quad \left( s=\dfrac{a+b+c}{2} \right) \\&=\dfrac{4}{a^{2}}s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned})]

한편, 삼각형 [math(\rm ABC)]의 넓이의 제곱은 아래와 같으므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} (\triangle {\rm ABC})^{2}&=\left( \frac{1}{2}ah \right)^{\!2}\\&=\frac{1}{4}a^{2}h^{2}\\&=s(s-a)(s-b)(s-c) \\ \\ \therefore {\triangle \rm ABC}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c) } \end{aligned} )]

결과식의 형태에서 [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 각각 어떤 변의 길이가 되든 결과는 같다. 즉, 헤론의 공식을 쓸 때 각 변의 길이의 대입 순서는 고려하지 않아도 된다.

2.2. 코사인 법칙 이용

위와 같은 삼각형 [math(\rm ABC)]에서 넓이는 아래와 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&=\dfrac{1}{2}ac\sin{B} \\&=\dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\cos^{2}{B}} \end{aligned} )]

[math(\angle{\rm B}=B)]이고, 삼각함수 항등식 [math(\sin^{2}{B}+\cos^{2}{B}=1)]을 이용했다. 제2코사인 법칙에 의하여

[math(\displaystyle \begin{aligned} b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos{B} \quad \to \quad \cos{B}=\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \end{aligned} )]

이므로 이것을 대입하면,

[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&=\dfrac{1}{2}ac\sin{B} \\&=\dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\left(\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \right)^{2}} \\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{4a^{2}c^{2}-(a^2+c^2-b^{2})^{2}}\\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{[ (a+c)^{2}-b^{2} ] [ b^{2}-(a-c)^{2} ]} \\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{ (a+b+c)(a+c-b) (a+b-c)(b+c-a) } \end{aligned} )]

근호 안의 항은 피타고라스 정리를 사용하여 유도했을 때 봤던 것이므로 [math(16s(s-a)(s-b)(s-c))]이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \triangle {\rm ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned} )]

3. 변형 공식

세 변의 길이 중 일부 혹은 전체에 근호가 포함되는 등 위에서 유도한 공식을 사용하기 어려울 경우 다음과 같은 변형 공식을 사용하면 좋다. 유도는 헤론의 공식에서 [math(s=(a+b+c)/2)]를 대입하고, 전개하고, 식을 유도하면 된다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC} &=\dfrac{\sqrt{2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4} \\&=\dfrac{\sqrt{4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^2+b^2+c^2)^2}}{4}\\&=\dfrac{\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4} \\&=\dfrac{ \sqrt{4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}} }{4} \end{aligned} )]

위에서 밝혔듯, 각 변의 길이의 대입 순서는 고려하지 않아도 된다.

4. 헤론의 삼각형

헤론의 삼각형, 또는 헤로니안 삼각형(Heronian Triangle)은 세 변의 길이가 모두 자연수이고, 넓이 또한 자연수가 나오는 삼각형을 말한다.[2] 가장 대표적인 예시론 세 변의 길이가 13, 14, 15인 삼각형이 있고, 헤론의 공식에 대입해보거나, 다음의 그림과 같이 수선을 내려보면 넓이가 84임을 알 수 있다.

5. 기타

고등수학에서 제2코사인 법칙을 다루면서 이 공식을 보게 된다.[3]
평행선 공준이 참일 때에만 성립한다. 바꿔 말하면 타원 공간, 쌍곡 공간 등에서는 성립하지 않는다. 가령 구면삼각형은 각 변의 합의 절반보다 넓이가 항상 크며[4], 반대로 쌍곡삼각형은 각 변의 합의 절반보다 넓이가 항상 작다.
브라마굽타 공식은 헤론의 공식의 확장과 비슷한 양식의 공식이나, 사각형에 적용 가능하다. 다만 이 때는 사각형이 원에 내접해야 한다는 조건이 있다.[5]

6. 관련 문서

[1] 이 조건을 추가함으로써 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형 모두 헤론의 공식이 성립함을 보일 수 있다. [2] 각 변의 길이가 피타고라스 세 쌍에 해당되는 직각삼각형이 해당된다. [3] 다만 현재는 몇몇 교과서에서는 생략되었다. 학교별로 상이하니 서술형에 쓰기 전에 꼭 확인하자. [4] 구면삼각형의 둘레의 절반보다 넓이가 크다는 사실은 원의 둘레 길이와 구의 겉넓이를 구하는 공식을 알고 있으며, 구면직각정삼각형이 구면의 정확히 1/8이라는 점을 알면 쉽게 증명할 수 있다. [5] 이 조건마저도 없앤 브레치나이더 공식이 존재하나, 잘 쓰이지 않는다.