최근 수정 시각 : 2024-12-28 17:35:49
1. 개요2. 에너지 보정량2.1. 강한 자기장(strong field)2.2. 약한 자기장(weak field) 3. 관련 실험
자기장이 원자의 축퇴된 에너지
준위를 갈라지게 하는 현상.
스핀-궤도 결합에 의한 내부 자기장에 비해 약한 자기장에서는 스핀-궤도 결합(spin-orbit coupling)이 주요한 항이지만, 강한 자기장이 가해지면 스핀-외부 자기장 간의 상호작용이 주요한 항이 된다. 물론 중간 정도 되는 자기장에서는 한쪽을 주요 항으로 두는 근사를 할 수 없으니 유의하자. 한편, 강한 자기장으로 갈수록 에너지 준위가 서로 겹치지 않으려 하는 non-crossing theorem이 적용된다.
1896년 네덜란드
레이던 대학의
피터르 제이만이 발견하였다.
전자는 다음과 같이 궤도
각운동량 [math(\bf L)]에 의한
자기 모멘트 [math(\bm\mu_L)]과 스핀 각운동량 [math(\bf S)]에 의한 자기 모멘트 [math(\bm\mu_S)]를 갖는다.
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[math(\begin{aligned} \bm\mu_L & =-\frac{g_le}{2m}{\bf L} \\ \bm\mu_S & = -\frac{g_se}{2m}{\bf S} \end{aligned} )]
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전자의 총 자기 모멘트는 [math(\bm\mu = \bm\mu_L + \bm\mu_S)]임에 따라 외부 자기장 [math(\bf B)]에 대한 보정 해밀토니언은 아래와 같다.
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[math(\begin{aligned} \mathcal H'_Z &= -\bm{\mu\cdot{\bf B}} \\ &= \frac e{2m}(g_l{\bf L}+g_s{\bf S})\bm\cdot{\bf B} \end{aligned})]
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위 식에서 Dirac particle인 경우에 [math(g_l = 1)]및 [math(g_s = |g_e| = -g_e = 2)]로 놓는다.
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[math(\begin{aligned} \mathcal H'_Z &= -\bm{\mu\cdot{\bf B}} \\ &= \frac e{2m}({\bf L} + 2{\bf S}) \bm\cdot{\bf B} \end{aligned})]
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외부 자기장의 방향을 [math(z)]축 방향이라 하면 최종적으로 보정 해밀토니언은 아래와 같다.
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[math(\begin{aligned} \mathcal H'_Z &= -\bm{\mu\cdot{\bf B}} \\ &= \frac e{2m}(L_z+2S_z)B \end{aligned})]
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2. 에너지 보정량
2.1. 강한 자기장(strong field)
외부 자기장이 원자 내부의 자기장(스핀-궤도 결합)보다 크므로 미세 구조보다 외부 자기장의 효과가 커진다. 따라서 주 섭동항은 미세 구조에 의한 것이 아닌 외부 자기장에 따른 것이 된다.
위 문단에서와 같이 보정 해밀토니언은 다음과 같다.
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[math(\mathcal H'_Z = \dfrac e{2m}(L_z+2S_z)B)]
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[math(\mathcal H'_Z)]과 [math(L^2)], [math(S^2)], [math(L_z)], [math(S_z)]는 서로 교환되므로 섭동을 잘 기술하기 위한 좋은 양자수의 집합은 [math(\{l,\,s,\,m_l,\,m_s\})]가 된다. 다만, 총 각운동량 [math(\bf J = L + S)]에 대하여 [math(J^2)], [math(J_z)]는 [math(\mathcal H'_Z)]과 교환되지 않으므로 [math(j)], [math(m_j)]는 좋은 양자수가 아니다. 따라서 섭동항의 에너지는
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[math(\begin{aligned} E_Z^{(1)} &= \left<lsm_lm_s \biggm| \frac e{2m}B(L_z+2S_z) \biggm| lsm_lm_s \right> \\ &= \mu_{\rm B} (m_l + 2m_s)B \end{aligned})]
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이때, [math(\mu_{\rm B} = \cfrac{e\hbar}{2m})]으로 보어 마그네톤이다.
결과적으로 강한 자기장이 걸리는 경우에는 양자수 합 [math(m_l + 2m_s)]에 의해서 축퇴(degenerated)된 상태들이 풀린다.
2.2. 약한 자기장(weak field)
외부 자기장의 세기가 원자 내부의 자기장(스핀-궤도 결합)보다 약한 경우 외부 자기장에 의한 것이 아닌 미세 구조가 주요한 섭동항이 된다. 따라서 좋은 양자수의 집합은 주요한 섭동항과 같은 [math(\{ l,\,s,\,j,\,m_j \})]가 된다. 그러나 위 문단에서 나온 보정 해밀토니언은 이러한 양자수로 기술할 수 없다. 따라서 총 각운동량 [math(\bf J = L + S)]와 관련된 항으로 바꾸어보자.
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[math({\bf L} + 2{\bf S} = \bf J + S)]
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이고, 이 케이스의 경우 자기장이 스핀-궤도 결합을 깰 정도는 아니므로 [math(\bf S)]는 여전히 [math(\bf J)] 주위를 회전한다. 따라서 평균값 계산에는 [math(\bf J)]와 평행한 성분만 그 취급이 중요해지므로
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[math({\bf S}\to \dfrac{\bf J\bm\cdot S}{J^2}{\bf J})]
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로 대치하여 계산을 한다. 한편, [math(\bf L = J-S)]이므로 양변을 제곱하여 정리하면
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[math(\begin{aligned}\bf J \bm\cdot S &= \frac12\left(J^2-L^2+S^2\right) \\ \\ \therefore\bf J+S &= \left[1+\frac{J^2-L^2+S^2}{2J^2} \right]{\bf J}\end{aligned})]
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보정 해밀토니언은 위 결과를 종합하여 아래와 같이 쓸 수 있다.
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[math(\mathcal H'_Z = \dfrac e{2m}\left[ 1+\dfrac{J^2-L^2+S^2}{2J^2} \right] J_zB)]
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에너지 보정량은 다음과 같다.
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[math(\begin{aligned} E_Z^{(1)} &= \langle lsjm_j | \mathcal H'_Z | lsjm_j \rangle \\ &= \frac{e\hbar}{2m}{\cdot}m_j \left[1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2j(j+1)} \right]B \end{aligned})]
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이때 대괄호 항을 란데 [math(g)] 인자(Landé [math(g)]-factor) [math(g_J)]로 정의하고, 보어 마그네톤 [math(\mu_{\rm B} = \cfrac{e\hbar}{2m})]을 사용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
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[math(E_Z^{(1)} = \mu_{\rm B}g_Jm_jB)]
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3. 관련 실험
제이만 효과를 잘 보여주는 실험 영상. 네온 기체에 가하는 자기장을 최대 [math(11\,300{\rm\,G} = 1.13{\rm\,T})]까지 증가시킴에 따라 네온의 선 스펙트럼이 갈라짐을 확인할 수 있다.