1. 개요
Kepler's laws of planetary motion요하네스 케플러(Johannes Kepler 1571-1630)가 티코 브라헤(Tyge Ottesen Brahe)의 자료를 분석한 후 발표한, 행성의 공전에 대한 법칙이다. 3가지 법칙으로 구성된다. 케플러가 처음 이 법칙을 발표할 때는 관측에 기반한 경험적인 법칙으로서 이를 발표하였는데, 한 세대 뒤에 뉴턴이 고전역학의 힘을 빌어 하나씩 수학적으로 증명했다.
태양계의 행성은 근사적으로 중력이란 중심력이 작용하는 계라 볼 수 있다. 따라서 중심력 문서에서 우리는 이러한 계가 어떻게 운동하는지를 이미 밝혔으므로 이 문서에는 별도로 증명 없이 해당 문서의 결과를 그대로 사용할 것이다. 이 문서를 읽기 전 중심력 문서를 읽고 오기를 권한다.
과학계에서 천동설을 끝장낸 계기기도 하다. 천동설 문서에도 설명이 있듯이, 실제 논쟁의 전개 과정은 현재의 결과론만 어설프게 주워들은 현대인들의 편견과는 백만 광년 떨어진 개판이었고, 한 때의 과도기적 문제이긴 해도 지동설 역시 수준이 낮아 오히려 주전원을 더 가져다붙이고, 티코 브라헤의 수정판에 대응하지 못하는 등의 비과학적인 추태로 오히려 과학자들의 반발을 사서 일부는 교회의 보호를 받는 사태가 나오기도 했다. 이런 개판을 뒤집기 시작한 것이 바로 이 케플러의 법칙이고, 이것 등을 증명하여 쐐기를 박기 시작한 게 뉴턴 역학이라 할 수 있다.
2. 상세
2.1. 제1법칙: 타원 궤도의 법칙
| 행성은 타원을 궤도로 공전한다. 이때 타원의 두 초점 중 한 곳에 항성이 위치한다. |
두 초점이 일치하지 않는 한, 항성은 궤도의 중앙이 아닌 한쪽으로 치우친 점에 위치하기 때문에 상대적으로 항성과 가까운 점과 먼 점이 생긴다. 항성과 가장 가까운 점을 근일점(Perihelion), 가장 먼 점을 원일점(Aphelion)이라 한다. 지구의 경우, 1월에 근일점, 7월에 원일점에 도달한다.[1]
따라서, 제1법칙을 도식화하면, 다음과 같다.
[math(\mathrm{O})]는 타원 궤도의 중심이며, [math(a)]는 타원 궤도의 긴 반지름, [math(b)]는 타원 궤도의 짧은 반지름을 나타낸다. [math(\mathrm{F'})]는 허초점을 나타내며, [math(r_{\mathrm{min}})]은 항성으로 부터 근일점까지, [math(r_{\mathrm{max}})]은 항성으로 부터 원일점까지 거리를 나타낸다. 중심력 문서에서의 결과를 참조하면, 항성을 주위로 행성은 이심률
[math(\displaystyle \epsilon=\sqrt{1+\frac{2El^{2}}{\mu (Gm_{1}m_{2})^{2} } } )]
로 운동한다. [math(E)]는 행성이 가진 에너지, [math(l)]은 행성이 가진 각운동량의 크기, [math(G)]는 만유인력 상수, [math(m_{1},\,m_{2})]는 각각 항성과 행성의 질량, [math(\mu)]는 환산 질량이다. 또한,
[math(\displaystyle r_{\mathrm{min}}=\frac{r_{0}}{1+\epsilon} \qquad \qquad r_{\mathrm{max}}=\frac{r_{0}}{1-\epsilon} )]
이고, [math(r_{0} \equiv l^{2}/(G \mu m_{1}m_{2}))]이다. 또한,
[math(\displaystyle a=\frac{r_{0}}{1-\epsilon^{2}}=\frac{\alpha}{2 |E|} \qquad \qquad b= \sqrt{r_{0}a} )]
임을 얻는다. 또한, 타원의 성질에 따라 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle r_{1}+r_{2}=\mathrm{const.} )]
여담으로 발견은 법칙 순서대로가 아닌 '제2법칙 → 제1법칙 → 제3법칙' 순서로 발견했다고 한다. 이전까지만 해도 궤도는 완벽한 원이라는 사실이 거의 정설로 받아들여졌고, 이를 뒤집는 것은 결코 쉬운 일이 아니었다. 오죽하면 갈릴레오 갈릴레이도 인정하지 않았겠는가.
2.2. 제2법칙: 면적 속도 일정의 법칙
| 항성과 행성을 연결하는 선분이 같은 시간 동안 휩쓸고 지나가는 면적은 일정하다. |
휩쓸고 지나간다는 표현이 조금 애매할 수 있는데, 쉽게 설명하자면 행성의 궤적으로 호를 그린다고 생각하면 된다. 같은 시간 동안 이동했다면 어디를 기점으로 호를 그려도 크기가 같다는 소리.
참고로, 지구는 1월에 근일점, 7월에 원일점에 도달하므로, 1월에 공전 속력이 더 빠르다. 24절기 또한 이러한 연유로 1월경이 7월경보다 절기 간 간격이 짧다고 한다.
제2법칙을 도식화하면, 아래와 같다.
따라서 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle S_{1}=S_{2}=S_{3} )]
중심력 문서의 결과에 의하면, 면적 속도는
[math(\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^{2} \,\frac{d \theta}{dt} )]
으로 구할 수 있고, 우리는 [math(dA/dt)]가 이미 어떠한 상수값을 갖는 다는 것을 해당 문서에서 증명했다. 그런데, 우변을 변화시켜보면,
[math(\displaystyle r \cdot (r\dot{\theta}) )]
으로 쓸 수 있는데, 원일점(aphelion)과 근일점(perihelion)에서 물체의 속력은 [math(r\dot{\theta} \equiv V)]이므로
[math(\displaystyle r_{\sf{ap}}V_{\sf{ap}}=r_{\sf{pe}}V_{\sf{pe}} \quad \to \quad V_{\sf{ap}}:V_{\sf{pe}}=r_{\sf{pe}}:r_{\sf{ap}} )]
즉, 원일점 근처는 속력이 작고, 근일점 근처는 속력이 크다는 사실 또한 보일 수 있다.
2.3. 제3법칙: 조화의 법칙
| 행성의 공전 주기의 제곱은 그 행성의 타원 궤도 긴 반지름의 세제곱에 비례한다. |
[math(\displaystyle \frac{T^{2}}{a^{3}} =\frac{4\pi^{2} }{G(m_{1}+m_{2})} \simeq \frac{4\pi^{2} }{Gm_{1}}=\mathrm{const.} )]
이때 해당 상수는 16676 정도의 값이 나온다.
이를 고교 물리학Ⅱ 수준으로 증명한 것은 이곳을 참고한다. 중등교육에서는 '주기 = 2글자 = 제곱', '반지름(장반경) = 3글자 = 세제곱'으로 외우는 법이 유명하다.
3. 태양계 관측 자료
케플러가 티코 브라헤의 자료를 바탕으로 하였는데, 당시 관측된 행성인 수성, 금성, 화성, 목성, 토성 외에 태양을 도는 다양한 천체에도 케플러의 법칙이 들어맞는다.특히 조화의 법칙은 공전주기의 단위를 년([math(\mathrm{yr})]), 긴 반지름의 단위를 천문 단위([math(\mathrm{AU})])로 둘 때 비례관계를 알아보기 쉽다. [math(\mathrm{AU})]는 지구와 태양의 거리를 [math(1\,\mathrm{AU})]로 정한 단위이기 때문에 따로 상수를 고려하지 않아도 거의 맞기 때문.[3]
| 천체 | 긴 반지름 | 공전 주기 | 이심률 | |||
| ([math(\times 10^{8}\,\mathrm{km})]) | ([math(\mathrm{AU})]) |
세제곱 ([math(\mathrm{AU}^{3})]) |
([math(\mathrm{yr})]) |
제곱 ([math(\mathrm{yr}^{2})]) |
||
| 수성 | 0.579 | 0.387 | 0.058 | 0.241 | 0.058 | 0.2056 |
| 금성 | 1.082 | 0.723 | 0.378 | 0.615 | 0.378 | 0.0068 |
| 지구 | 1.496 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 0.0167 |
| 화성 | 2.279 | 1.524 | 3.536 | 1.881 | 3.538 | 0.0935 |
| 목성 | 7.786 | 5.204 | 141.0 | 11.86 | 140.7 | 0.0489 |
| 토성 | 14.33 | 9.582 | 879.9 | 29.46 | 867.7 | 0.0565 |
| 천왕성 | 28.72 | 19.20 | 7079 | 84.01 | 7058 | 0.0457 |
| 해왕성 | 44.95 | 30.05 | 2.713×104 | 164.79 | 2.716×104 | 0.0113 |
| 명왕성[4] | 59.06 | 39.48 | 6.154×104 | 247.68 | 6.135×104 | 0.2488 |
| 핼리 혜성 | 17.8 | 5640 | 75.3 | 5670 | 0.967 | |
| 에리스 | 101.7 | 67.95 | 31.38×104 | 558.04 | 31.14×104 | 0.4407 |
| 세레스 | 4.14 | 2.77 | 21.20 | 4.6 | 21.16 | 0.0758 |
면적 속도 일정의 법칙은 원일점과 근일점을 기준으로 아래 표와 비교할 수 있다. 아래 표에서 '최대 공전속력'과 '최소 공전속력'[5]을 각각 근일점과 원일점에서의 거리와 나타내었다.
| 천체 | 근일점 | 원일점 | ||||
|
거리 ([math(\times 10^{8}\,\mathrm{km})]) |
공전 속력 ([math(\mathrm{km/s})]) |
면적 속도 ([math(\mathrm{km^{2}/s})]) |
거리 ([math(\times 10^{8}\,\mathrm{km})]) |
공전 속력 ([math(\mathrm{km/s})]) |
면적 속도 ([math(\mathrm{km^{2}/s})]) |
|
| 수성 | 0.460 | 59.0 | 13.6 | 0.698 | 38.9 | 13.6 |
| 금성 | 1.075 | 35.3 | 19.0 | 1.089 | 34.8 | 19.0 |
| 지구 | 1.471 | 30.3 | 22.3 | 1.521 | 29.3 | 22.3 |
| 화성 | 2.066 | 26.5 | 27.4 | 2.492 | 22.0 | 27.4 |
| 목성 | 7.405 | 13.7 | 50.7 | 8.166 | 12.4 | 50.6 |
| 토성 | 13.57 | 10.14 | 68.8 | 15.07 | 9.14 | 68.9 |
| 천왕성 | 27.33 | 7.13 | 97.4 | 30.01 | 6.49 | 97.4 |
| 해왕성 | 44.71 | 5.47 | 122.3 | 45.59 | 5.37 | 122.4 |
| 명왕성 | 44.35 | 6.10 | 135.3 | 73.04 | 3.71 | 135.5 |
4. 법칙의 유도
사실 위의 케플러의 세 가지 법칙은 서로 독립적이지 않다. 다시 말해, 한 법칙은 나머지 두 법칙으로부터 유도 가능하다. 예를 들어, 제3법칙은 타원의 정의와 각운동량 보존을 이용하면 유도할 수 있다. #이유를 쉽게 설명하자면, 행성의 운동을 [math(xy)]평면에서 나타낸다고 하면 [math(x)]와 [math(y)]의 두 가지 좌표만 있으면 충분하고 이 두 좌표는 두 가지 구속조건 또는 방정식을 만족하도록 풀 수 있기 때문이다. 만약 케플러의 세 가지 법칙이 모두 독립적이라고 한다면, 두 개의 미지수가 세 개의 방정식을 만족해야 하기 때문에 이런 경우 해가 존재하지 않는다. 셋 중 하나가 종속적이기 때문에 실제로 독립적인 방정식은 두 개이고 이로부터 유일한 해 [math(x)]와 [math(y)](즉, 행성의 위치)가 결정된다. 이상하게도 고등학교는 물론 대학교에서도 거의 언급하지 않는 내용이다.[6]
케플러 제1법칙과 제2법칙으로부터 뉴턴의 만유인력 법칙까지도 유도할 수 있다. 물론 케플러 제3법칙은 자동으로 덤으로 얻어진다. 이것이 제3법칙이 제1, 2법칙으로부터 유도될 수 있는 이유이다.
우선 제1법칙으로부터 타원궤도는
[math(\displaystyle x^2+y^2=(ex+p)^2)]
으로 기술될 수 있다. 여기서 [math(e)]는 궤도 이심률(상수), [math(p)]는 semi-latus rectum이라 불리는 상수이다. 이것을 한 번 미분하면
[math(\displaystyle x \dot{x} + y \dot{y} = (ex+p) e \dot{x})]
두 번 미분하면
[math(\displaystyle x \ddot{x} + y \ddot{y} -r e \ddot{x}= e^2 \dot{x}^2 -\dot{x}^2-\dot{y}^2)]
을 얻는다. 여기서 [math(r=\sqrt{x^2+y^2})]로 정의되었다. 한편, 한 번 미분한 식으로부터
[math(\displaystyle e^2 \dot{x}^2 = \biggl(\frac{x\dot{x} + y\dot{y}}{ex+p} \biggr)^2 = \frac{(x\dot{x}+y\dot{y})^2}{r^2})]
이므로,
[math(\displaystyle (x-re) \ddot{x} + y \ddot{y} = - \frac{(y\dot{x} - x\dot{y})^2}{r^2})]
이 얻어진다.
다음으로, 제2법칙으로부터 각운동량은 보존되므로 이를 방정식으로 표현하면 [math(x\dot{y}-y\dot{x}=h)] 꼴로 표현할 수 있다. 여기서 [math(h)]는 각운동량과 관계된 상수이다. 이것을 한 번 미분하면 [math(x\ddot{y}-y\ddot{x}=0)]을 얻는다.
요약하자면 제1법칙으로부터
[math(\displaystyle (x-re) \ddot{x} + y \ddot{y} = - \frac{(y\dot{x} - x\dot{y})^2}{r^2} = - \frac{h^2}{r^2})]
제2법칙으로부터 [math(x\ddot{y}-y\ddot{x}=0)]을 유도할 수 있다. 이 두 방정식을 이용해서 [math(\ddot{x})]와 [math(\ddot{y})]를 [math(x)], [math(\dot{x})], [math(y)], [math(\dot{y})]의 함수로 표현해 보자. 일단 행렬로 표현하면,
[math(\displaystyle \begin{bmatrix} x-re & y \\ y & -x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot{x}\\ \ddot{y}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -{h^2}/{r^2} \\ 0\end{bmatrix} )]
이 되고, [math(\ddot{x})]와 [math(\ddot{y})]에 대해서 풀면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix} \ddot{x}\\ \ddot{y}\end{bmatrix} &= \frac{1}{(x^2+y^2)-rex} \begin{bmatrix} x & y \\ y & -(x-re) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -{h^2}/{r^2} \\ 0\end{bmatrix} \\&= -\frac{1}{rp} \begin{bmatrix} x & y \\ y & -(x-re) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {h^2}/{r^2} \\ 0\end{bmatrix} \end{aligned})]
가 된다. 여기서 [math(x^2+y^2=(ex+p)^2=r^2)]을 이용하였다. 최종적으로
[math(\displaystyle \begin{bmatrix} \ddot{x}\\ \ddot{y}\end{bmatrix} = -\frac{h^2}{p} \frac{1}{r^3} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = - \frac{\mu}{r^3} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} )]
을 얻을 수 있다. 여기서 [math(\mu = {h^2}/{p})]로 정의되고 gravitational parameter로 불리는 상수이다. # 윗 식은 완벽한 뉴턴의 만유인력 법칙이며, 이로부터 케플러 제3법칙은 쉽게 유도된다. 이와 같이, 케플러 제1법칙과 제2법칙만을 이용하여 제3법칙은 물론, 뉴턴의 만유인력 법칙까지도 완벽하게 유도할 수 있음을 보일 수 있다.
두 가지 좌표, 즉 [math(x)]와 [math(y)]를 결정하기 위해서 두 개의 법칙만이 필요하다는 설명은 부족하다. 하지만, 제1, 2법칙을 미분하는 것만으로도 제3법칙을 유도할 수 있는 것도 사실이다. 정확하게는, 제1법칙을 두 번 미분하고 제2법칙을 한 번 미분해서 얻은 가속도에 대한 운동방정식이 유일하게 결정된다는 점이다. 즉, 두 개의 미지수 [math(\ddot{x})], [math(\ddot{y})]가 제1, 2법칙을 미분한 두 개의 미분방정식으로부터 유일하게 결정되어, 행성의 운동 방정식(뉴턴의 만유인력 법칙)을 계산할 수 있다는 설명이 타당하다. 그리고 이 운동 방정식으로부터 케플러의 제3법칙은 자연스럽게 유도된다.
사실 '케플러'의 법칙이 적절하지 않다는 의견도 있다. 이미 기원전에 원뿔곡선을 분류한 아폴로니우스가 비슷한 법칙을 발견했다는 기록이 있었기 때문.[7]
5. 법칙 발견 순서
3법칙→1법칙→2법칙 순서여야 맞지 않나 의문이 들 것이다. 상식적으로 타원궤도인 것을 발견 못했으면 2법칙을 찾을 수가 없어 보이고 반대로 3법칙이야말로 타원인 것을 못 받아들인 채로도 찾을수 있는 법칙 같으니까. 그러나 2법칙을 먼저 발견한게 맞다. 왜냐하면 코페르니쿠스의 지동설 + 정원궤도 + 주전원 + 이심개념 도입 체계 내에서 헤메다가 2법칙을 먼저 발견해낼 수 있었기 때문이다. 3법칙은 태양과 6행성 각각 간의 상대적인 거리 비를 수많은 자료들의 검토를 통해 추산해 내고 나서야 공전주기와 반경 수치를 한참 곱씹다가 유도해 낼수 있는 것이었으므로 발견이 두 법칙에 비해 늦어졌다.
케플러에게는 운도 따랐다. 왜냐하면, 케플러가 2법칙을 발견할 때 사용한 자료는
화성의 궤도 운동 자료였기 때문이다. 화성의 궤도 이심률은 0.0934로 수성을 제외하고 모든 행성들 중에 가장 크다. 지구는 0.0167, 금성은 0.0068, 목성은 0.0484이다. 화성의 궤도가 가장 원궤도에서 어긋나 있었던 것이다. 만약 케플러가 다른 행성을 대상으로 삼았다면 그의 1법칙은 발견되지 않았을 수도 있다. 원궤도에 대한 믿음이 워낙 강해서 계산 실수나 관측 오차로 치부했을 가능성이 높다. 심지어 그는 처음에 이심 원형 궤도(offset orbit), 즉 원 궤도이되, 태양이 원의 중심에서 약간 비껴난 궤도를 생각하기도 했었다. 이렇게 하면 제2법칙을 어느 정도 설명할 수 있었기 때문이다. 하지만, 화성은 그렇게 설명하기에는 이심률이 너무 커서 원 궤도라고 주장하기에는 무리가 있었고, 타원으로 설정하면 계산이 꼭 들어맞는다는 것을 확증하면서 1법칙을 발표하기에 이른다.
6. 고등학교 교육과정에서
고등학교 3학년 때 배우는 물리학 Ⅱ와 지구과학 Ⅱ에서 나온다.하지만 조금 차이가 있는데, 두 과목 다 세 법칙을 다 다루고 있지만 물리학 Ⅱ는 등속원운동, 지동설과 천동설, 그리고 뉴턴의 중력 법칙과 함께 배우는 반면, 지구과학 Ⅱ는 공전/회합 주기와 함께 배우고, 궤도 이심률 역시 구해준다. 또한 케플러의 제3법칙은 물리학 Ⅱ에선 구심력과 만유인력을 통해 유도하며, 지구과학 Ⅱ에선 쌍성을 통해 유도한다.
반면 공통점으로는 두 과목 다 케플러의 제1법칙과 제2법칙은 증명하지 않는다는 것이다. 이유로는 케플러의 법칙은 논리적인 추론을 통해 얻은 법칙이 아닌 관측 데이터를 분석하여 얻은 경험 법칙이라는 점, 그리고 케플러의 법칙을 논리적으로 증명하려면 고등학교 교육과정보다 급이 훨씬 높은 고전역학의 내용 전반과 극좌표계 개념, 미적분학을 배워야 한다는 점 때문으로 보인다.
한편 2009 개정 교육과정에선 물리 1, 지구과학 1에서 다뤄졌다.
이에 관련된 대표적인 수능 기출문제로는 2019 수능 지구과학1 20번, 2020 수능 지구과학1 17번, 2022 9월 모의평가 지구과학2 14번, 2023 수능 물리학2 16번 등이 있다.
7. 관련 문서
[1]
1월이 근일점이면 왜 북반구는 1월이 겨울인지 생각할 수 있는데, 결론만 요약하면 지구의 궤도는 근일점에 영향을 받지 않을 정도로 충분히 원에 가깝고 태양과의 거리는 멀다. 다른 이유에 관해서는 다음 링크 참고.
#
[2]
만약 행성이 완전한 원궤도이면 2법칙은 아무런 의미가 없는 법칙이기에, 궤도가 타원이라는 1법칙이 먼저 나오게 된 것이다.
[3]
이와 비슷한 경우가 바로
자연 단위계 혹은
플랑크 단위계라고 불리는 단위계로, 인간이 사용하는
SI 단위는 모두 인간의 기준에 맞췄기 때문에 자연현상에 그대로 대입하려면 관련 상수계수가 계산을 방해하는 경우가 있다. 특히 양자역학 등의 경우는 기본적인 단위계가 길이만 따져도 [math(1.61624\times10^{-35}\,\mathrm{m})]로 계수가 무지막지하게 작은데다가, 중력상수, 플랑크 상수는 모두 어마어마하게 작고, 광속은 이와 비교해서 어마어마하게 크기 때문에 실질적인 SI 단위계로는 계산이 지나치게 복잡해진다. 그렇기 때문에 자연 단위계는 중요한 상수인 시간, 거리, 무게를 전부 플랑크 단위에 맞춰 1이라고 강제로 맞춰버리는 것으로 계산을 매우 간편화시킨다. 마찬가지로 천문학적 단위에서 괜히 천문단위([math(\mathrm{AU})]), 광년([math(\mathrm{LY})]), 파섹([math(\mathrm{pc})]) 등의 거리단위를 쓰는 게 아니다. 천문학적 범위가 되면 이런 단위를 사용해야 계산이 간편해지기 때문.
[4]
1930년에 발견되었으며 지금까지 공전주기보다 덜 경과한 관계로 부정확할 수 있다.
[5]
출처:
수성,
금성,
지구,
화성,
목성,
토성,
천왕성,
해왕성,
명왕성
[6]
기본적으로 미지수가 [math(n)]개인 연립방정식이 해를 가질 최소필요조건은, 독립적인 연립방정식의 수가 [math(n)]개 이하여야 한다는 조건이다. [math(n+1)]개 이상이 될 경우는 불능이 되며, [math(m\,(m<n))]개일 경우는 [math(n-m)]개의 미지수가 다른 미지수들의 결합으로 표현 가능해야 한다.
[7]
안타깝게도 해당 저서가 보관되어 있던
알렉산드리아 도서관이 파괴되는 바람에 전해지지 않는다.