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정다각형

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1. 개요2. 성질
2.1. 슐레플리 기호2.2. 유클리드 작도로 작도할 수 있는 다각형들2.3. 뉴시스 작도로 작도할 수 있는 정다각형들2.4. 무한다각형(apeirogon)
3. 측정4. 교육과정에서5. 관련 문서

1. 개요

정다각형( 正 多 角 形)은 선분으로 이루어진 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같은 다각형을 의미한다.[1]

2. 성질

정다각형의 대표적인 성질 두가지는 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같다는 것이다. 정다각형의 성질은 다각형의 성질을 모두 갖는다. 대각선의 길이도 모두 같다고 잘못 알려지는 경우가 있는데, 정사각형과 정오각형은 대각선의 길이도 같지만 정육각형부터는 2종류 이상의 길이가 나온다. 정삼각형은 대각선 자체가 없다.

아래는 정다각형들의 성질이다.
반지름이 1인 원에 내접하는(= 외접원의 반지름이 1인) 정n각형은 아래 성질을 만족한다. 이를 통해 [math(\lim\limits_{θ \to 0} \frac{\sin θ}{θ} = 1)]임을 보일 수 있다.

2.1. 슐레플리 기호

정다각형은 {n} 기호를 사용해서 그 정다각형을 나타내는 기호를 나타낼 수 있다. 이것을 슐레플리 기호라고 하며, 정다각형의 표기는 슐레플리 기호 체계의 기초가 된다.[3] 여기서 n은 변의 개수를 의미한다. 오목 정다각형은 n과 m이 서로소이고, n이 m의 두 배 초과인 자연수일때 {n/m} 유리수각형 꼴로 표현하는데, 여기서 m은 이 다각형에서 꼭지점을 이을 때 m-1개의 꼭지점을 건너뛰어 연결한다는 뜻이다. 약분이 가능한 경우에는 기약분수로 만들었을 때의 서로 합동인 정다각형 여러개를 겹쳐놓은 꼴이 된다.
파일:external/upload.wikimedia.org/200px-Star_polygon_5-2.svg.png
정오각별
예를 들어, 이 도형은 꼭지점 5개를 한 칸씩 건너 뛰어 만들어진 정오각별로, {5/2}이다. 꼭지점이 7개인 정칠각별은 두 가지가 존재하는데, 각 꼭지점을 한 칸씩 건너뛰어 연결한 {7/2}와 두 칸씩 건너뛰어 연결한 {7/3}이 존재한다. 또다른 예로, 꼭지점이 9개인 정다각형은 두 가지가 존재한다. 꼭지점을 한 번 건너뛰어 연결하면 {9/2}가 만들어지며, 꼭지점을 두 번 건너뛰면 {9/3}이 나오는데, {9/3}는 정삼각형과 같다. 꼭지점을 세 칸 건너뛰어 연결하면 {9/4}가 만들어진다. 꼭지점이 11개인 정다각형은 4가지가 존재하며, 꼭지점을 각각 한 칸씩 건너뛰면 {11/2}, 두 칸씩 건너뛰면 {11/3}, 세 칸씩 건너뛰면 {11/4}, 네 칸씩 건너뛰면 {11/5}가 된다.

볼록하든 오목하든 모든 정다각형은 내각의 크기가 유리수이다. 볼록 정다각형은 값이 2 이상인 정수각형, 오목 정다각형은 볼록 정다각형의 교차하는 유리수 각형으로 정의하여, 외각의 크기가 360°에서 꼭짓점의 수를 나눈 값과 같기 때문이다. 3차원 이상의 정다면체부터는 무리수 크기의 이면각을 가진 것이 존재하며 쌍곡도 3차원부터 존재한다. 또한 2차원은 내각이 180°이고, 꼭짓점과 선분이 무한개인 정무한대각형이 정규 벌집이다. 3차원에서는 정육각형, 정사각형, 정삼각형이 2차원의 공간을 채운다. 또한 4차원과 6차원 이상의 n차원은 오로지 입방체만 n차원을 채울 수 있으며, 5차원에서는 정이십사포체, 정십육포체, 정팔포체가 4차원의 공간을 가득 채운다. 쌍곡은 크게 세 가지 콤팩트, 파라콤팩트, 논콤팩트로 나눌 수 있는데, 이들 중 논콤팩트는 다시 세 가지로 나뉘어질 수 있다. 그리고 입방체와 정축체의 n각형 버전도 존재하고 단체와 비슷하게 4 이상의 자연수 n이 연속으로 이어지는 꼴이나 그 옆에 어떤 숫자를 하나씩 붙인 형태의 계열도 있는데, 자세한 내용은 정다포체 문서의 문단을 참고하면 된다. 허수각형까지 고려한다면 2차원에서도 쌍곡도형이 존재할 수도 있으며, 3차원에서도 논콤팩트가 생겨날 수도 있다. 또한 1차원 이하에서의 단체, 초입방체, 정축체는 이포각 계산을 해보면 아예 다른 결과가 나와버린다. 물론 1차원 이하는 단체, 입방체, 정축체의 개녕 자체가 없긴 하지만. 또한 입방체 및 정축체의 n각형 버전 계열이 유클리드 벌집이 되는 차원이나 n각 입방체의 왼쪽에 3을 붙인 {3,n,3,...,3,3}, n각 정축체의 오른쪽에 3을 붙인 {3,3,...,3,n,3} 형태의 계열이나 4 이상의 자연수 n이 연속으로 늘어선 형태[4] 또는 그 옆에 3을 붙인 형태의 계열[5] 유클리드 벌집이 되는 차원도 생각해볼 수 있다.

3차원 이상의 정다포체와 달리 모든 정다각형은 자기쌍대다 보니 무한조각까지 자를 수 있다. 정삼각형의 경우 정육각형, 이렇게 자른 정육각형의 경우 정 십이각형,... 이렇게 무한 반복 가능하다.

2.2. 유클리드 작도로 작도할 수 있는 다각형들

[math(2^{2^n}+1)]각형[6]과 이들 수의 [math(2^n)]배수각형은 유클리드 작도할 수 있다. 3,5,17,257,65537,...각형 등이 이러하다. 이러한 꼴로 나타내지지 않는다고 무조건 유클리드 작도가 불가능한 것은 아니다. 대표적인 예시가 4각형.

2.3. 뉴시스 작도로 작도할 수 있는 정다각형들

뉴시스 작도로는 7,9,13각형 등도 작도할 수 있으며 영문판 위키에서는 11각형도 뉴시스 작도로 작도 가능한게 증명되었다. 뉴시스 작도로 작도가 불가능한 도형은 23각형이 최초의 도형이다. 일본어 위키백과에 7,9,11,13,14,18각형 등의 코사인 값의 거듭제곱근 꼴이 나와있다.

현재까지로는 페르마 소수 각형이거나 [math(2^a3^b+1)][7] 각형의 경우 뉴시스 작도가 가능하다. [math(2^a3^b5^c+1)][8] 각형의 경우 뉴시스 작도가 가능한지 아직 확실하게 밝혀지지 않았다. 한마디로 말하면 밀레니엄 난제인 셈. 이외의 도형은 뉴시스 작도가 확실하게 불가능하다.

뉴시스 작도(neusis construction)로 가능한 다각형: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64,...
뉴시스 작도가 판명나지 않은 다각형: 25, 31, 41, 50, 61, 62,...
뉴시스 작도가 불가능한 다각형: 23, 29, 43, 46, 47, 49, 53, 58, 59,...

2.4. 무한다각형(apeirogon)

한 내각이 180°인 무한다각형{∞}도 있다. 영어로는 아페이로곤 (apeirogon)으로 불린다. 이 무한각형은 몇 가지로 나뉘는데 기본적으로 유클리드 기하학에는 1차원 직선 모양으로 발산하는 형태[9], 쌍곡기하학에서는 180° 미만인 내각을 가진 무한각형이 추가적으로 존재한다. 옛날엔 영문 위키백과에서도 원을 무한대로 확대한 것을 무한다각형으로 칭했지만 이 경우 몇가지 오류가 있어서 현재는 직선 타일링을 무한다각형으로 인정하고 있으며 한국어 위키백과에도 테셀레이션, 직선의 분할로 기술하고 있다. 무한다각형의 경우 R^2의 점군에 속하지 않기 때문에 원이 만들어 질 수 없다. 즉, {6,3}, {3,6}, {4,4}를 무한대로 확대해도 R^3의 점 위에 속하지 않아 구면에 나타낼 수 없듯이 일반적인 무한각형도 원에 나타낼 수 없으며 엄밀히 말하면 정다각형의 정의를 만족시킬 수 없는 발산하는 형태이다. 원을 무한대로 자른 것은 구면기하학, 쌍곡기하학 처럼 다른 형태의 무한다각형으로 보고 있다.

모든 다각형은 변의 개수와 각의 개수가 항상 같으므로 정다각형은 모두 자기쌍대이다.

3. 측정

임의의 정n각형의 넓이는 [math(\dfrac{n}{4}\cot(\dfrac{π}{n})a^2)]이다. 외접원의 반지름은 [math(\dfrac{1}{2}\csc(\dfrac{π}{n})a)], 내접원의 반지름은 [math(\dfrac{1}{2}\cot(\dfrac{π}{n})a)]이다.

다음은 이중근호까지 사용해서 나타낼 수 있는 케이스이다. 십육각형을 제외하면 이중근호로 나타낼 수 있는 케이스를 써 놓았으며 이중근호로 나타낼 수는 있지만 항이 많아지는 40, 60, 120각형은 생략하였다.

또한 정n각형의 면적은 내접원의 반지름을 n/2배한 것과 정확히 같다.
정다각형 넓이 외접원의 반지름 내접원의 반지름
정삼각형 [math(\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2})] [math(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a)] [math(\dfrac{\sqrt{3}}{6}a)]
정사각형 [math(a^{2})] [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)] [math(\dfrac{1}{2}a)]
정오각형 [math(\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}a^2)] [math(\dfrac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}a)] [math(\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{10}a)]
정육각형 [math(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2)] [math(a)] [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)]
정팔각형 [math(2(1+\sqrt{2})a^2)] [math(\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}a)] [math(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}a)]
정십각형 [math(\dfrac{5\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}a^2)] [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a)] [math(\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}a)]
정십이각형 [math(3(2+\sqrt{3})a^2)] [math(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}a)] [math(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}a)]
정십오각형 [math(\dfrac{15}{8}(\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10+2\sqrt{5}})a^2)] [math(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}a)] [math(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a)]
정십육각형 [math(4(1+\sqrt{2}+\sqrt{4+2\sqrt{2}})a^2)] [math(\dfrac{\sqrt{8+4\sqrt{2}+2\sqrt{20+14\sqrt{2}}}}{2}a)] [math(\dfrac{1+\sqrt{2}+\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}a)]
정이십각형 [math(5(1+\sqrt{5}+\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2)] [math(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{4}a)] [math(\dfrac{1+\sqrt{5}+\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}a)]
정이십사각형 [math(6(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6})a^2)] [math(\dfrac{\sqrt{16+10\sqrt{2}+8\sqrt{3}+6\sqrt{6}}}{2}a)] [math(\dfrac{2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}a)]
정삼십각형 [math(\dfrac{15}{4}(3\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{50+22\sqrt{5}})a^2)] [math(\dfrac{2+\sqrt{5}+\sqrt{15+6\sqrt{5}}}{2}a)] [math(\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{50+22\sqrt{5}}}{4}a)]

근삿값은 다음과 같다.
정다각형 넓이 외접원의 반지름 내접원의 반지름
정삼각형 0.43301 0.57735 0.28868
정사각형 1 0.70711 0.5
정오각형 1.72048 0.85065 0.68819
정육각형 2.59808 1 0.86603
정칠각형 3.63391 1.15238 1.03826
정팔각형 4.82843 1.30656 1.20711
정구각형 6.18182 1.46190 1.37374
정십각형 7.69421 1.61803 1.53884
정십일각형 9.36564 1.77473 1.70284
정십이각형 11.19615 1.93185 1.86603
정십삼각형 13.18577 2.08929 2.02857
정십사각형 15.33450 2.24698 2.19064
정십오각형 17.64236 2.40487 2.35232
정십육각형 20.10936 2.56292 2.51367
정이십각형 31.56876 3.19623 3.15688
정이십사각형 45.57452 3.83065 3.79788
정삼십각형 71.35773 4.78339 4.75718

4. 교육과정에서

초등학교에서는 3학년 1학기 때(2015 개정 교육과정에서는 4학년 2학기 때) 정다각형에 대해 배우게 되며,
중학교에서는 1학년 2학기 2단원부터인 도형 단원에서 평면도형에 대한 공식, 성질, 정의를 배우게 된다.
고등학교에서는 수1 도형의 방정식에서 많이 써먹게 된다.

학부 이상 과정에서는 대수학에서 이면군(dihedral group)이라는 이름으로 추상화시켜서 다룬다.

5. 관련 문서


[1] 다만 정삼각형은 보통 세 변의 길이가 같은 삼각형으로 정의하는 편이다. 물론 세 각의 크기가 같은 삼각형으로 정의해도 되며, 두 조건 중 하나만 성립하면 나머지 하나도 반드시 성립하는 유일한 정다각형이다. [2] 경계의 중심을 꼭짓점으로 삼은 짝도형. 여기서는 선분의 정가운데를 꼭짓점 삼아 그린 도형을 말한다. [3] 물론 정다각형에서 끝낼 거면 이 기호 체계는 만들지도 않았다. 이 기호는 정다면체, 나아가 모든 차원의 정다포체에도 쓸 수 있으며, 정다포체를 다양하게 변형한 여러 도형에도 적용 가능하다. [4] 쉽게 설명하면 {4,4,...,4,4}, {5,5,...,5,5}, {6,6,...6,6} 등등과 같은 {n,n,...,n,n}의 계열을 의미한다. [5] 이건 {4,4,...,4,4,3}, {3,4,4,...,4,4}, {3,4,...,4,3}, {5,5,...,5,5,3}, {3,5,5,...,5,5}, {3,5,5,...,5,5,3}, {3,6,...,6,3}, {3,6,6,...,6,6}, {6,6,...,6,6,3} 등등과 같은 형식의 계열을 말하는 것이다. [6] 단, [math(2^{2^n}+1)]은 소수여야 한다. [7] 2와 3 이외의 소인수가 있거나 a, b 둘 중 하나 이상의 값이 0인 경우는 제외 [8] 2, 3, 5 이외의 소인수가 더 있거나 a, b, c 셋 중 하나 이상의 값이 0인 경우는 제외 [9] 무한각형이 무한대로 확대해도 원을 만들 수 없는 그냥 직선이며 원면 대칭군에 속하지 않아 발산하는 직선 타일링이다. 구면기하학은 옹골이라 이게 존재할 수 없고, 쌍곡기하학에서는 정다각형에 대한 정의를 만족시킬 수가 없는 그냥 직선이 된다.

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