우산 정리

평면기하학 Plane Geometry
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1. 개요2. 증명

1. 개요

雨傘定理

위 그림과 같이 삼각형 [math(\rm ABC)]와 외접원(원 [math(\Gamma)])을 고려하자. 다음의 세 경우에 대하여 아래의 성립한다.

[math(\angle{\rm BAC})]의 이등분선과 [math(\overline{\rm BC})]의 교점을 [math(\rm D)], 원 [math(\Gamma)]와의 교점을 [math(\rm E(\neq \rm A))]라 할 때
[math(\overline{\rm AB}=\overline{\rm CA})]이고, [math(\overline{\rm BC})] 위의 임의의 점 [math(\rm D)]에 대해 [math(\overrightarrow{\rm AD}∩\Gamma = \rm E(\neq \rm A))]라 할 때
점 [math(\rm A)]에서 [math(\rm BC)]에 내린 수선의 발을 [math(\rm D)]라 하고, 원 [math(\Gamma)]의 한 지름을 [math(\overline{\rm AE})]라 할 때

[math(\displaystyle \overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AC}=\overline{\rm AD} \cdot \overline{\rm AE} )]

'우산 정리'라는 이름은 형태가 우산을 연상케 함에 따라 붙었다.

주로 방멱 정리 및 스튜어트 정리와 함께 KMO에서 자주 사용된다.

2. 증명

각 경우에 대하여 우산 정리가 성립함을 증명하여 보자.

(a) 각의 이등분선
보조선으로 선분 [math(\rm CE)]를 사용하자. [math(\displaystyle \angle {\rm ABC}= \angle {\rm AEC})] (호 [math(\rm AC)]에 대한 원주각)이므로 [math(\rm \triangle ABD \sim \triangle AEC)] ([math(\rm AA)] 닮음)이다. 따라서

[math(\displaystyle \overline{\rm AB}\,:\,\overline{\rm AD}=\overline{\rm AE}\,:\,\overline{\rm AC} )]

이고, 비례식의 성질에 따라 외항의 곱과 내항의 곱은 같으므로 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle \overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AC}=\overline{\rm AD} \cdot \overline{\rm AE} )]

(b) 이등변삼각형
보조선으로 선분 [math(\rm BE)]를 사용하자. 삼각형 [math(\rm ABC)]가 이등변삼각형이므로 [math(\displaystyle \angle {\rm ABC}= \angle {\rm ACB})]이고, [math(\displaystyle \angle {\rm BEA}= \angle {\rm ACB})] (호 [math(\rm AB)]에 대한 원주각)이므로 [math(\rm \triangle ABD \sim \triangle EAB)] ([math(\rm AA)] 닮음)이다. 따라서

[math(\displaystyle \overline{\rm AB}\,:\,\overline{\rm AD}=\overline{\rm AE}\,:\,\overline{\rm AB} )]

이고, 비례식의 성질에 따라 외항의 곱과 내항의 곱은 같으므로 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle {\overline{\rm AB}}^{2}=\overline{\rm AD} \cdot \overline{\rm AE} \quad \to \quad \overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AC}=\overline{\rm AD} \cdot \overline{\rm AE} \quad (\because \overline{\rm AB} = \overline{\rm AC}))]

(c) 수선과 지름
보조선으로 선분 [math(\rm CE)]를 사용하자. 지름 [math(\overline{\rm AE})]에 대한 원주각 [math(\angle \rm ACE=90 \degree)]이고, [math(\displaystyle \angle {\rm ABC}= \angle {\rm AEC})] (호 [math(\rm AC)]에 대한 원주각)이므로 [math(\rm \triangle ABD \sim \triangle AEC)] ([math(\rm AA)] 닮음)이다. 따라서

[math(\displaystyle \overline{\rm AB}\,:\,\overline{\rm AD}=\overline{\rm AE}\,:\,\overline{\rm AC} )]

이고, 비례식의 성질에 따라 외항의 곱과 내항의 곱은 같으므로 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle \overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AC}=\overline{\rm AD} \cdot \overline{\rm AE} )]

우산 정리

1. 개요

2. 증명

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