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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
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| 정육각형 |
여섯모 / 六 角 形 / hexagon, sexangle
여섯 개의 변으로 둘러싸인 도형이며, 당연히 각도 여섯 개다.
2. 성질
육각형의 내각의 총합은 720도이고 외각은 360도이며, 정육각형의 경우 한각은 720도에서 6을 나눈 120도이다. 이 도형부터는 세 면이 닿는 각의 합이 360도 이상이 되어 하이퍼볼릭 타일링이 되기 때문에 이 정다각형 이상의 변을 갖는 정다각형을 면으로 삼는 정다면체는 만들어질 수 없다.정육각형의 경우, 정육각형의 두 꼭짓점을 이은 선분이 정육각형을 이등분하도록 하는 서로 다른 선분을 세 개 그으면 정확히 정삼각형 6개로 등분된다.
견고하면서도 삼각형보다 재료가 덜 드는 효율적인 도형이다. 육각형 모양으로 된 물건들은 외부 충격에 버티는 힘이 매우 강하다.
정육각형의 공식들
- 둘레의 길이:[math(\left(6\right)a)]
- 외접원의 반지름(R):[math(\left(1\right)a)]
- 내접원의 반지름(r):[math(\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)a \approx \left(0.866\right)a)]
- 면적:[math(\left(6\right)\times\dfrac12ra = \left(\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)a^2 \approx \left(2.598\right)a^2)]
| 허니콤 | {6,3,...,3} | {3,6,3,...,3} | {3,3,6,3,...,3} | {3,3,3,6,3,...,3} |
| 이포각 -1 | 3차원 | 3차원 | 3.8차원 | ~4.71428차원 |
| [math(\cos^{-1}\left(3\right))] | [math(\cos^{-1}\left(3\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{24}{5}\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{40}{7}\right))] | |
| 이포각 ±∞ | 4차원 | 4차원 | 4.8차원 | ~5.71428차원 |
| 이포각 1 | 5차원 | 5차원 | 5.8차원 | ~6.71428차원 |
| 허니콤 | {3,...,3,6} | {3,...,3,6,3} | {3,...,3,6,3,3} | {3,...,3,6,3,3,3} |
| 이포각 -1 | 3차원 | 3차원 | 3.8차원 | ~4.71428차원 |
| 이포각 ±∞ | x | 4차원 | 4차원 | 4.8차원 |
| 이포각 1 | x | x | 5차원 | 5차원 |
| 이포각 임계점 | ~-2 | ~2 | ~0.66667 | ~0.4 |
| [math(\cos^{-1}\left(-2\right))] | [math(\cos^{-1}\left(2\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right))] | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{5}\right))] | |
| ~180-100.99797i° | ~180-100.99797i° | ~48.1897° | ~66.4219° |
3. 활용
- 벌집의 방 모양이 정육각형을 이루고 있는 이유도 육각형 구조가 튼튼하기 때문이라고 알려져 있었으나, 최근 벌들은 자신의 집을 원형으로 만든다는 사실이 밝혀졌다. 자세한 사실은 항목 참고. 다만 이런 형태의 벌집이 충격, 특히 위에서 아래로 내리누르는 충격에 강한 건 사실이다.
- 원에 가까우면서도[1] 빈틈없이 공간을 채울 수 있고,[2] 충격에도 강한 구조 + 삼각형으로만 구조물 만들 때보다도 훨씬 재료가 덜 들어가는 점 등등으로 인해 비행기 등에 들어가는 허니콤 페이퍼 등에도 활용되는 도형이다.
- 견고하다는 이미지와 벌집이나 주상절리, 얼음결정 등 묘하게 SF스럽거나 튼튼해 보여서인지 헤일로, 크라이시스 시리즈 , 코드기어스의 다모클레스 등 주로 속이 비치는 형태의 방어막 등이 육각형으로 표현되는 경우가 많다. 탄소나노튜브도 육각형이다. 스타크래프트 시리즈의 프로토스 보호막 역시 불멸자(스타크래프트 2) 등 투명한 구체 표면에 육각형의 패턴이 나타난다. 스타크래프트 2로 들어오면서 그래픽이 발전함에 따라 생긴 디테일한 묘사 중 하나이다. 이 또한 육각형을 통해 프로토스 보호막의 엄청난 내구성을 표현하려 한 듯하다.
- 다만, 인간은 공간 활용을 이유로 육각형이나 삼각형보다는 사각형을 선호한다. 도시계획을 짤 때에도 사각형 단위로 도시계획을 짜면 건물로 꽉 채울 수 있어서 빈 공간이 남지 않지만, 육각형 단위로 도시구조를 짜게 되면 육각형 체계의 중심부는 필연적으로 건물이 들어설 수 없는 광장이 형성된다. 사각형 단위는 거미줄형 확장성이 용이한 반면, 육각형 단위 도시는 육각형의 중심부 광장을 위시로 한 철저한 종주형 모양이 된다. 육각형 단위 도시는 직진을 하기가 어려워지며 이렇게 되면 다른 마을과 소통이 어려워진다. 삼각형 단위로 도시계획을 짜게 된다면 거미줄형 확장을 할 수는 있지만 길이 차지하는 비중이 높아지며 귀퉁이에는 빈 공간이 생기고 광장같은 것을 설치하기가 어려워진다.
- 또한 미래적이거나 사이버틱한 것을 표현하고자 할 때 육각형 패턴이 많이 표현된다. 디지털 앱스트랙트 같은 게 많이 발달한 2010년대 이후 3D 추상 CG 미술계에서는 조금 식상한 감도 없지 않지만 여전히 디자인 소재로써 많이 쓰이고 있다.
- 물은 분자 구조 때문에 응고하여 얼음이 되면 육각형 모양의 결정이 되며, 그 결정이 사각형으로 연결되어 있을 때보다 커지므로 얼음의 부피가 물보다 커지는 이유가 된다. 눈송이를 확대하면 위 사진처럼 육각형의 결정 모양을 볼 수 있다.
- 더 지니어스 시리즈에서는 설명 영상에서 플레이어 이미지가 육각형으로 각진 디자인이고, 메인 홀 테이블이나 로고 등 여러가지 면에서 육각형이 들어갔다.
- 히어로즈 오브 더 스톰의 마크(시공 마크)는 육각형이다.
- 과거 위닝일레븐 시리즈에서 선수의 주요 능력치를 육각형[3]의 방사형 그래프로 나타내었는데, 미드필더의 경우 공격과 수비 능력치가 모두 좋을 수 있어 다른 능력치 역시 뛰어나면 육각형이 꽉 찬 형태가 나타나기 때문에 모든 방면에서 엄청나게 뛰어나다는 표현으로 5툴 플레이어와 비슷하게 "육각형 미드필더", "꽉 찬 육각형" 등의 표현을 쓰기 시작하였다. 이러한 방사형 그래프가 다른 게임들, 더 나아가 실생활의 여러 영역에서 사용될 수 있다보니 점차 의미가 확장되었고, 다른 분야에서도 두루두루 여러가지 일을 잘한다는 의미로 육각형 인재라는 말이 쓰이게 되었다. 반대로 뭐 하나 특출난 것도 없으면서 딱히 빠지는 것도 없고, 능력치들이 전반적으로 높지 않으면 작은 육각형이라고 한다.
- 멕시코 프로레슬링 단체 루차 리브레 AAA 월드와이드는 다른 프로레슬링 단체와는 달리 사각형 링이 아닌 육각형 링으로 사용하고 있다.[4]
4. 기타
- hex- 의 접두어가 있으며 hexed 처럼 보통 주술로 번역되고, 이것이 왈도체로 번역되면 '마녀'가 된다. #
- 육각형이 균형있고 안정적인 도형이라는 것에 착안해서, 여러 능력이나 스펙이 고루고루 뛰어난 캐릭터를 '육각형 캐릭터'라고 부른다.
5. 정육각형을 확장시킨 도형들의 면적
5.1. 정십이각형
모양: https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Regular_dodecagon.svg겉길이:[math(\left(12\right)a)]
면적:[math(\left(6+3\sqrt{3}\right)a^2)]
외접원의 반지름:[math(\left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\right)a)]
내접원의 반지름:[math(\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\right)a)]
6. 관련 문서
[1]
원은 하나의 도형으로만 치면 가장 넓은 면적을 확보할 수 있는 도형이다. 외부에 닿는 면이 가장 많기 때문.
[2]
정칠각형부턴 이게 불가능하다. 당연히 앞서 언급된 원도 지들끼리 뭉치면 빈틈이 숭숭 생긴다. 정삼각형, 정사각형, 정육각형 만이 빈틈없이 채울 수 있으며 사이에 낀 정오각형도 안된다.
[3]
시계 방향으로 공격-테크닉-체력-수비-파워-속도 순
[4]
과거에 육각링으로 사용한 적이 있던 타 단체중에
CMLL,
TNA (現 임팩트 레슬링) 등이 있다.