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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
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등호의 모양은 평행선에서 비롯되었다. 평행선 모양은 철도 건널목 기찻길에서도 찾을 수 있다. |
平 行 / parallel
평행이란, 어떤 평면에서의 직선이나 공간에서의 평면을 한없이 늘려도 영원히 만나지 않는 상태를 말한다.[1] 다만 이건 유클리드 기하학에서만 한정되며, 비유클리드 기하학은 평행선 공준을 부정하는 것으로부터 시작하기 때문에 평행선이 존재하지 않거나(타원 공간), 평행선이 여러 개 존재한다(쌍곡 공간). 아래 성질들은 유클리드 기하학에 한한다.
직선이거나 평면인 한 도형 [math(l)]과 다른 도형 [math(m)]이 서로 평행할 때 수학에서는 [math(l//m)] 또는 [math(l \parallel m)]와 같이 표현한다. 전자는 한국에서 많이 쓰이고, 후자는 세계 보편적으로 많이 쓰인다.
좌표 평면 위의 도형을 모양과 크기가 바뀌지 않게 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기는 것은 평행이동이라고 한다.
2. 성질
2.1. 유클리드 기하학적 성질
- 서로 평행한 두 직선에 교차하는 또 다른 직선을 그렸을 때 엇각, 동위각 등의 크기가 같다. 이에 대한 증명은 각 문서 참조.
- 서로 평행한 두 직선은 어느 점을 기준으로 삼아도 다른 직선까지의 거리가 같다.
- 직선 [math(l)]과 직선 밖의 점 [math(P)]에 대하여, [math(l)]과 평행하고 [math(P)]를 지나는 직선은 단 하나밖에 없다(유클리드 제 5공준의 변형).
이러한 성질을 활용하여 한 직선의 평행선을 작도할 수 있다.
- 직선 [math(l)] 있을 때, 그 위에 있지 않은 점 [math(P)]을 그린다.
- 점 [math(P)]를 지나고 직선 [math(l)]과 한 점에서 만나는 직선을 그리고, [math(l)]과 만나는 점을 [math(P)]′라고 한다.
- 점 [math(P)]'에 컴퍼스를 대고 원을 그린다. 이때 원이 직선 [math(\overline{PP})]′와 만나는 점을 점 [math(O)]라고 하고 원과 직선 [math(l)]이 만나는 점을 점 [math(A)]라고 한다.
- 방금 3번에서 그린 원과 같은 반지름으로 점 [math(P)]에 컴퍼스를 대고 원을 그리고, 이 원과 직선 [math(\overline{PP})]′가 만나는 점을 [math(O)]′라고 한다.
- 컴퍼스로 점 [math(O)]와 점 [math(A)]의 거리를 재고 그 길이를 반지름으로 하여 점 [math(O)]′에 컴퍼스를 놓고 원을 그린다. 이 원과 4번에서 그렸던 원을 교점을 [math(A)]′라고 한다.
- 점 [math(P)]와 점 [math(A)]′를 연결하는 직선 [math(l)]′을 그린다. 이로써 직선 [math(l)]의 평행선인 직선 [math(l)]′을 그렸다.
과거 7차 교육과정 4학년 2학기 때도 나왔으며 중1때 수행평가 용도로 종종 써먹었다.
일차함수의 그래프에서의 좌표평면의 두 직선이 서로 평행할 조건은 기울기는 같고, y절편은 달라야 한다는 점을 응용한 것이므로 다음과 같다.
- 두 직선 [math(l:y = mx+n)], [math(l':y = m'x+n')]에 대하여 [math(l)], [math(l')]이 서로 평행하기 위해서는 [math(m = m')], [math(n ≠ n')]이다. 거꾸로 [math(m = m')], [math(n ≠ n')]이면 두 직선은 서로 평행하다.
- 한편, 일차함수의 그래프에서 두 직선이 일치하려면 서로 기울기와 y절편이 모두 같아야 성립하므로 [math(m = m')], [math(n = n')]이면 두 직선은 일치한다.
또한 좌표평면 위의 점 [math(P(x, y))]를 [math(x)]축의 방향으로 [math(a)] 만큼, [math(y)]축의 방향으로 [math(b)]만큼 평행이동한 점을 [math(P'(x', y'))]이라고 한다면, [math(x'=x+a, y'=y+b)]이다. 따라서 점 [math(P)]의 좌표는 [math(x+a, y+b)]이다.
2.2. 벡터적 성질
영벡터가 아닌 두 평면벡터 [math(a)]와 [math(b)]가 이루는 각을 θ(0≤θ≤π)라고 할 때 [math(a)] • [math(b)] = |[math(a)]| |[math(b)]| [math(cos)]θ인데, θ의 값이 0이면 [math(a)]와 [math(b)]는 서로 평행하면서도 방행이 서로 같고, θ의 값이 π이면 서로 평행하면서도 방향은 서로 정반대이다. 이 역 또한 성립되며, 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.[math(a)] ∥ [math(b)] ↔ [math(a)] • [math(b)] = ± |[math(a)]| |[math(b)]|
또는 영벡터가 아니고 정확히 일치하지 않는 두 벡터간에 0이 아닌 실수배 관계가 존재하면 평행으로 볼 수도 있다.
평행인 두 벡터를 외적하면 0이고, 내적하면 두 벡터의 절댓값의 곱이다.
3. 수학 외의 용례
널리 알려진 수학 용어라, 일상적인 용례에서도 쓰이곤 한다. "평행선을 달리다"라는 관용어가 대표적인 예로, 협상 등에서 아무런 접점도 없이 허송세월하는 것을 뜻한다.3.1. 활용
- 직진 도로의 차선은 특수한 상황이 없는 경우 평행하게 만든다.
- 도로가 등에 차들을 일직선으로 주차시키는 것을 평행주차라고 한다.
- 평행봉은 철봉 2개를 평행으로 배치한 도구이다.
- 착시현상을 보여주는 소재로 잘 활용된다. 기하 도형 주변에 특정한 변화를 가하면 시각 자극이 과도하게 수용되어 실제 도형과 다른 뒤틀림 현상이 일어나는데 평행선은 두 개의 곧은 직선만으로 이루어졌다는 명확한 시각 정보를 가지고 있어 그 직선이 아닌 다른 시각 자극을 주면 그것을 뒤틀리도록 하기 쉽기 때문이다. 평행선을 이용한 착시 현상에는 다음과 같은 예가 있다.
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체르너 착시 (Zollner illusion) 평행선 위에 여러 개의 빗금을 긋되 한 선 위에 그어지는 빗금은 서로 평행하게 하며 빗금 간 거리를 일정하게 유지하고, 다른 선 위의 빗금은 옆의 선에 그어진 빗금과 수직이 되도록 그으면 평행선이 휘어 보인다. |
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헤링 착시와 분트 착시 (Herring illusion & Wundt illusion) 서로 평행한 두 직선 사이 한가운데에 방사선을 그으면 두 평행선이 바깥으로 휘어 보인다. 반대로 평행선 바깥쪽에 각각 방사선을 그으면 두 직선이 안으로 휘어 보인다. |
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카페 월 착시 (Cafe Wall illusion) 서로 간의 거리가 같은 평행선 여러 개 사이에 변의 길이가 평행선 간의 거리와 정사각형들을 그리고 위아래로는 서로 어긋나게 배열하고 좌우로는 흑백이 교차되도록 하면 평행선들이 휘어 보인다. 이 때 일반적으로 검은색 칸이 더 바깥쪽으로 나온 곳은 평행선끼리의 거리가 더 멀고 안으로 들어간 곳은 거리가 가까워 보인다. |
- 평행우주 혹은 평행세계, 평행차원은 보통 다중우주를 일컫는 용어로 사용되는데, 이는 우리가 살고 있는 우주가 아닌 다른 시공간에 존재하는 우주를 뜻하는 말로 각 우주가 차원의 벽으로 나뉘어 있어 영원히 만날 수 없는 점이 평행선을 연상시키기 때문에 사용된 용어이다.
4. 역평행
antiparallel.직선은 방향이 없지만, 방향이 있는 벡터를 이야기할때나 수학 외의 분야에서는 평행하지만 방향이 반대인 것을 가리켜 역평행하다고 한다. 일방통행이 아닌 도로와 마찬가지. 역평행인 것 중에 가장 유명한 것은 DNA의 이중나선 구조이다. 두 가닥의 진행방향이 반대다.