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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
Point de Fermat / Fermat Point임의의 삼각형에 대해 그와 같은 평면에 있는 점 중 세 점으로부터의 거리의 합이 최소가 되는 점을 말한다. 세 거리가 모두 같은 점은 외심이지만, 이 외심은 페르마 점이 아니다. 실질적으로 페르마 점이 외심이 되는 삼각형은 정삼각형이 유일하다.
2. 상세
그림과 같이 [math(\triangle\rm ABC)]와 그와 같은 평면 위에 있는 점 [math(\rm P)]에 대해, [math(\triangle ABP)]를 점 [math(\rm B)]를 기준으로 시계 반대 방향으로 60° 회전시켜 점 [math(\rm A, P)]가 이동하는 점을 각각 [math(\rm A', Q)]라 하자.
[math(\triangle ABP \equiv \triangle A' B Q)], [math(\therefore \overline{\rm BP}=\overline{\rm BQ})], [math(\angle{\rm QBP=60\degree})]
[math(\therefore \triangle\rm QBP)]는 정삼각형
[math(\therefore \overline{\rm AP}+\overline{\rm BP}+\overline{\rm CP}=\overline{\rm A' Q}+\overline{\rm QP}+\overline{\rm CP} \geq \overline{\rm A' C})]. 등호가 성립하기 위해선 네 점 [math(\rm A', \rm Q, \rm P, \rm C)]가 모두 한 직선 위에 있어야 한다.
[math(\therefore \angle{\rm A' QP}=\angle{\rm BQP}+\angle{\rm A' QB}=60\degree+\angle{\rm APB}=180\degree)]
[math(\therefore \angle{\rm APB}=120\degree)], 비슷한 방법과 이유로 [math(\angle{\rm BPC}=120\degree)].
따라서 세 점으로부터의 거리의 합이 최소가 되는 [math(\rm P)]는 [math(\angle{\rm APB}=\angle{\rm BPC}=\angle{\rm CPA}=120\degree)]를 만족한다. 단, 세 개의 내각의 크기가 모두 [math(120 \degree)]보다는 작아야만이 이 조건이 성립한다.
내각의 크기가 [math(120 \degree)] 이상인 점이 존재할 경우, 해당 점이 페르마 점이 된다.
2.1. 세 점으로부터의 거리의 합
위에서 세 점으로부터의 거리의 합의 최소를 [math(l)]이라 할 때, [math(l=\overline{\rm A' C})]임을 알아냈다. 따라서 [math(\angle{\rm ABC}=\theta)]라 하고, [math(\overline{\rm BC}, \overline{\rm CA}, \overline{\rm AB})]의 길이를 각각 [math(a, b, c)]라 하자.[math(\triangle\rm A'BC)]에 대해, [math(\angle{\rm A'BC}=\theta+60\degree)]이므로 코사인 제2 법칙에 의해,
[math(l=\sqrt{c^2+a^2-2ca\cos(\theta+60\degree)})], 따라서 세 변의 길이가 주어진 삼각형에 대해 [math(l)]의 값을 쉽게 구할 수 있음을 알 수 있다.
3. 확장
[math(\triangle\rm ABC)]에 대해, 삼각형 외부에 세 개의 정삼각형 [math(\triangle\rm BCX, \triangle\rm CAY, \triangle\rm ABZ)]를 그리자. 이 때, [math(\overline{\rm AX}, \overline{\rm BY}, \overline{\rm CZ})]는 언제나 한 점에서 만나는데, 이 점이 곧 페르마 점이 된다.3.1. 증명
[math(\overline{\rm AX})]와 [math(\overline{\rm BY})]의 교점을 [math(\rm P)]라 하자.
[math(\triangle\rm AZC \equiv \triangle\rm ABY \: (\rm SAS))]이므로, [math(\rm{\angle AZC=\angle ABY}, \: \rm{\angle ACZ=\angle AYB})]. 원주각이 같으므로 [math(\rm {\square AZBP } , \: \square AYCP)]는 각각 한 원 위에 있다.
즉 [math(\angle \rm APB=\angle \rm CPA=120 \degree)], [math(\angle \rm BPC=120 \degree)]. [1] 따라서 [math(\angle \rm BPC + \angle \rm BXC = 180 \degree)]이므로 [math(\square \rm BXCP)]도 한 원 위에 있다.
[math(\rm {\angle APX = \angle APB + \angle BPX = 120 \degree + \angle BCX = 120 \degree + 60 \degree = 180 \degree})]
[math(\therefore \rm{ \overline{AX} \cap \overline{BY} \cap \overline{CZ}= P})], 점 [math(\rm P)]는 [math(\rm \triangle ABC)]의 페르마점
4. 기타
- 페르마 점은 복잡한 기하 문제에 속하며, 도형을 회전하여 길이의 합을 구한다는 아이디어는 굉장히 중요하므로 참고하자.
[1]
여기서 점 [math(\rm P)]가 페르마 점이라는 것은 증명이 끝났으나, 점 [math(\rm P)]가 [math(\overline{\rm AX})] 위에 있음을 보일 필요가 있다.