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최근 수정 시각 : 2024-10-14 20:09:35

쌍곡선


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아핀 타원 포물선 쌍곡선
유클리드 원 타원 점* 포물선 평행한 두 직선* 쌍곡선 교차하는 두 직선*
* 퇴화 이차곡선

1. 개요2. 쌍곡선의 방정식
2.1. 유도2.2. 일반형
3. 반비례 관계의 그래프와의 관계4. 쌍곡선과 직선
4.1. 위치 관계4.2. 쌍곡선의 접선
4.2.1. 쌍곡선 위의 점에서의 접선4.2.2. 특정한 기울기의 접선
4.3. 쌍곡선의 광학적 성질
5. 기타
5.1. 비유적 표현5.2. 어원
6. 관련 문서

1. 개요

雙 曲 線 / hyperbola

기하학에 등장하는 도형의 일종으로, 평면 상의 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합으로 정의한다. 이때 두 정점을 초점(foci)이라 한다.

대한민국 수학 교과과정에서 가장 처음 배우는 이차곡선이다. 일차함수(직선)와 유리함수를 중1 때 배우면서 쌍곡선을 처음 접하기 때문이다.

2. 쌍곡선의 방정식

아래는 하위 문단의 내용을 요약한 것이다.

2.1. 유도

[1] 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우

파일:나무_쌍곡선_1.png

그림과 같이 꼭짓점이 [math(\mathrm{A}(a,\,0))], [math(\mathrm{A'}(-a,\,0))]이고, 초점이 [math(\mathrm{F}(c,\,0))], [math(\mathrm{F'}(-c,\,0))]인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 [math( |\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}| )]는 일정한 값을 가져야 하며, 점 [math(\mathrm{P})]가 [math(\mathrm{A})]에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 [math(\overline{\mathrm{AA'}}=2a)]여야 한다.(참고로 [math(\overline{\mathrm{AA'}})]를 주축의 길이라 한다.) 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.

[math(\displaystyle (\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}})^{2}=4a^{2} )]

이것을 정리하면,

[math(\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}+2c^{2}-4a^{2}=2\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} )]

이것을 다시 제곱하고, 정리하면,

[math(\displaystyle (c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2}) )]

이때, [math(b^{2} \equiv c^{2}-a^{2})]이라 놓고, 식을 정리함으로써 쌍곡선의 방정식을 얻는다.

[math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]

그런데, 이 방정식을 양함수 형태로 아래와 같이 고칠 수 있고,

[math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x\sqrt{1-\frac{a^{2}}{x^{2} }} )]

이때, [math(x^{2} \to \infty)]일 때, 근호는 1에 한없이 가까워지고, 결국 쌍곡선은 어떠한 직선

[math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)]

에 가까워지는데, 이 직선을 쌍곡선의 점근선이라 한다.

[2] 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우

파일:나무_쌍곡선_2.png

그림과 같이 꼭짓점이 [math(\mathrm{A}(0,\,b))], [math(\mathrm{A'}(0,\,-b))]이고, 초점이 [math(\mathrm{F}(0,\,c))], [math(\mathrm{F'}(0,\,-c))]인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 [math( |\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}| )]는 일정한 값을 가져야 하며, 점 [math(\mathrm{P})]가 [math(\mathrm{A})]에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 주축의 길이인 [math(\overline{\mathrm{AA'}}=2b)]여야 한다. 따라서 위에서 다뤘던 논법과 유사하게 쌍곡선의 방정식을 유도할 수 있으며, 여기선 결과만을 적는다.

[math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 )]

단, [math(a^{2}=c^{2}-b^{2})]이다. 이 경우 또한, 점근선이

[math(\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x)]

임을 위와 같은 논법으로 증명할 수 있다.

2.2. 일반형

쌍곡선 방정식의 일반형은 아래와 같이 나타난다.

[math(\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0 \quad )] (단, [math(AB<0)])

이때, [math(A \sim E)]는 상수이며, 이 일반형을 표준형 꼴로 바꾸면, 쉽게 어떤 쌍곡선을 나타내는 방정식인지 알 수 있게 된다. 괄호 안은 [math(x^2)]항과 [math(y^2)]의 계수의 부호가 반대임을 의미한다.

3. 반비례 관계의 그래프와의 관계

반비례 관계의 그래프 [math(y=ax^{-1})]을 고려해보자. 여기서 [math(a)]는 상수이다. 이 함수는 [math(\pi/4)][1]만큼의 회전변환을 통하여 위의 쌍곡선의 표준형으로 나타낼 수 있다.

[math(\pi/4)]만큼의 회전변환을 기술하는 행렬은

[math( \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos{\dfrac{\pi}{4}} & -\sin{\dfrac{\pi}{4}} \\ \\ \sin{\dfrac{\pi}{4}} & \cos{\dfrac{\pi}{4}} \end{bmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} )]

이 변환에 의해 점 [math((x,\,y) \to (x',\,y'))]으로 옮겨진다고 하자. 그러면,

[math( \begin{aligned} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{aligned} )]

로 쓸 수 있고, 여기서

[math( \begin{aligned} x'&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x - y) \\ y'&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x + y) \end{aligned} )]

이때, 각각을 제곱하고 그 차를 구함으로써 다음을 얻는다.

[math( x'^2-y'^2=-2xy )]

우리가 다루는 함수가 [math(y=ax^{-1})]임을 상기하면,

[math( x'^2-y'^2=-2a )]

이것을 정리하면,

[math( \dfrac{x'^2}{2a}-\dfrac{y'^{2}}{2a}=-1 )]

으로 이것은 명백히 초점이 [math( \mathrm{F}(0,\,2\sqrt{a}) )], [math( \mathrm{F'}(0,\,-2\sqrt{a}) )]에 있는 쌍곡선을 기술하는 방정식임을 알 수 있다.

이번엔 두 곡선이 교점[math((x_0,\, y_0))]에서 어떻게 접하는지 알아보자. 두 곡선의 기울기를 각각 [math(m_1)], [math(m_2)]라고 하자. 쌍곡선 함수를 음함수의 미분을 통해 접선의 기울기를 구하면 아래와 같다.

[math( \begin{aligned} \dfrac{2x}{2a}-\dfrac{2y}{2a}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0 \,\to \, m_1=\dfrac{y}{x} \end{aligned} )]

반비례 관계 함수를 같은 방법으로 미분하면

[math( \begin{aligned} m_2=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= -\dfrac{a}{x^2} \end{aligned} )]

이제 교점에서 이 둘을 곱하면 아래와 같다.

[math( \begin{aligned} m_1m_2=-\dfrac{a}{x_0^2}\dfrac{x_0}{y_0}=-\dfrac{a}{x_0y_0} \end{aligned} )]

이때, 점[math((x_0,\, y_0))]은 두 곡선의 교점이므로 반비례 그래프 위의 점으로 볼 수 있다. 따라서 [math(x_0y_0=a)]이므로, 교점에서 두 기울기의 곱은 -1이다. 즉 교점에서 두 곡선은 직교한다.

따라서 반비례 관계의 그래프는 쌍곡선을 회전변환 시킨 곡선으로 쌍곡선의 한 종류이며, 회전하기 전의 쌍곡선과 회전한 후의 쌍곡선은 교점에서 직교한다.

4. 쌍곡선과 직선

4.1. 위치 관계

  1. 우선 직선의 방정식을 한 변수에 대하여 정리한다.
  2. 1에서 정리한 직선을 쌍곡선의 방정식에 대입하고 적절히 이항하여 이차방정식을 만든다.
  3. 2에서 나온 이차방정식에 판별식 [math(D)]를 적용한다.
판별식의 부호에 따라 쌍곡선과 직선의 위치 관계가 달라진다.
파일:쌍곡선_접선.png

4.2. 쌍곡선의 접선

4.2.1. 쌍곡선 위의 점에서의 접선

이 문단에서는 쌍곡선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]에서 접선의 방정식을 구해볼 것이다.

[1] 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우
우선 음함수의 미분법을 이용하여 접선의 기울기를 구하자.

[math(\displaystyle \frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \,\to\, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{b^{2}x}{a^{2}y} )]

이상에서 해당 점 위의 접선의 방정식은

[math(\displaystyle y-y_{1}=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1}) )]

위 식을 정리하면, 다음의 접선의 방정식이 얻어진다.

[math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]


[2] 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우
위와 같은 방법으로 접선의 방정식이 다음과 같음을 증명할 수 있다.

[math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=-1 )]

4.2.2. 특정한 기울기의 접선

구하는 직선의 방정식을 [math(y=mx+n)]으로 놓아 이것을 쌍곡선 방정식에 대입하고, [math(x)]에 대한 이차 방정식을 만든다. 그 후, 해당 이차 방정식이 중근을 가지면, 즉, 판별식이 0이 되면 직선과 쌍곡선은 접하므로 그것을 이용하면 된다.

[1] 초점이 [math(\boldsymbol{x})]축 위에 있는 경우
이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다.

[math(\displaystyle n=\pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})]

이상에서 구하는 접선의 방정식은 아래와 같다.

[math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}})]


[2] 초점이 [math(\boldsymbol{y})]축 위에 있는 경우
이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다.

[math(\displaystyle n=\pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}})]

이상에서 구하는 접선의 방정식은 아래와 같다.

[math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}})]

4.3. 쌍곡선의 광학적 성질

쌍곡선의 광학적 성질에 대하여 알아보자.

파일:namu_쌍곡선의 광학적 성질.png

위 그림과 같이 쌍곡선

[math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \end{aligned} )]

을 고려하자. 그리고 쌍곡선 위의 한 점을 [math({\rm P}(x_{1},\,y_{1}))]라 하고, 해당 점 위에서 그은 접선 [math(l)], 쌍곡선의 두 초점 [math({\rm F}(\sqrt{a^2+b^2},\,0))], [math({\rm F'}(-\sqrt{a^2+b^2},\,0))], 직선 [math(l)]과 [math(x)]축이 만나는 점 [math(\rm A)]를 고려하자.

직선 [math(l)]의 방정식은

[math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]

따라서 점 [math(\rm A)]의 좌표는 다음과 같이 구할 수 있다.

[math(\displaystyle {\rm A}\biggl(\frac{a^2}{x_{1}},\,0 \biggr) )]

한편, [math(c^{2}=a^2+b^2)]라 놓으면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{{\rm FA}}&=c-\frac{a^2}{x_{1}} \\ \overline{{\rm F'A}}&=c+\frac{a^2}{x_{1}} \\ \overline{\rm{FP}}&=\sqrt{(x_{1}-c)^{2}+y_{1}^{2}} \\\overline{\rm{F'P}}&=\sqrt{(x_{1}+c)^{2}+y_{1}^{2}} \end{aligned})]

또, 점 [math(\rm P)]가 쌍곡선 위의 점이므로

[math(\displaystyle \frac{x_{1}^2}{a^2}-\frac{y_{1}^2}{b^2}=1 \quad \to \quad y_{1}^{2}=\frac{c^2-a^2}{a^{2}}(x_{1}^{2}-a^{2}) )]

이것을 대입하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm{FP}}&=\frac{x_{1}}{a}\biggl( c-\frac{a^{2}}{x_{1}} \biggr)=\frac{x_{1}}{a}\overline{{\rm FA}} \\\overline{\rm{F'P}}&=\frac{x_{1}}{a}\biggl( c+\frac{a^{2}}{x_{1}} \biggr)=\frac{x_{1}}{a}\overline{{\rm F'A}} \end{aligned})]

이상에서

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm{FP} }}{\overline{\rm{FA}} }=\frac{\overline{\rm{F'P} }}{\overline{\rm{F'A} }} \quad \to \quad \overline{\rm{F'P} }:\overline{\rm{FP} }=\overline{\rm{F'A} }:\overline{\rm{FA} } \end{aligned})]

이것이 만족하려면 삼각형 [math(\rm PF'F)]에서 직선 [math(l)]은 [math(\angle \rm{F'PF})]의 각의 이등분선이어야 한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \angle {\rm F'PA}=\angle {\rm APF} \end{aligned})]

결국 선분 [math(\rm F'P)]와 선분 [math(\rm FP)]를 연장해서 생기는 각 또한 맞꼭지각으로 같다.

이는 결과적으로 다음의 광학적 성질을 이끌어 낸다.

파일:namu_쌍곡선의 광학적 성질_2.png

5. 기타

5.1. 비유적 표현

한아름 안고 백화점 나오는 손, 뒤따르는 거지의 쌍곡선

이곳에는 이 사회에서 반드시 존재해 있는 도회의 쌍곡선이 흐르고 있는 것이었다. 보라! 백화점 앞에 자선냄비와 굉장히 높은 빌딩 문간에 헌 누더기 잠자리와, 물건을 사가지고 가는 사람에게 매달리는 어린 거지를. 그곳에는 다 각각 다른 인생의 명암이 있는 것이었다. 이렇게 생각하고 보니 네온사인과 일루미네이션도 빈부귀천의 쌍곡선이 흐르는 것 같았다.
1933년 12월 27일 동아일보

서로 만나지 않으면서 가까운 곳에서 출발해 멀어지는 쌍곡선의 특징에 착안해 '○○의 쌍곡선'과 같이 비유적 표현에 종종 사용된다. 대표적으로 '희비쌍곡선'이란 표현이 있다. 비슷한 시간이나 장소에서 발생/존재하지만 전혀 다른 방향으로 진행하는 속성을 가진 것을 비유한다.

5.2. 어원

6. 관련 문서

[1] [math(45 \degree)]

분류