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최근 수정 시각 : 2024-03-30 14:58:54

신발끈 공식

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1. 개요2. 계산법3. 주의점4. 유도5. 변형 공식
5.1. 사루스 법칙
6. 기타7. 관련 문서

1. 개요

shoelace formula

좌표평면상 점의 좌표를 이용하여 볼록 및 오목 다각형의 넓이를 계산하는 공식으로, [math(n)]각형의 각 꼭짓점을 시계 반대 방향 순서대로 [math({\rm P_{1}}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm P_{2}}(x_{2},\,y_{2}))], [math({\rm P_{3}}(x_{3},\,y_{3}))], [math(\cdots)], [math({\rm P}_{n}(x_{n},\,y_{n}))]이라 할 때, 그 넓이는 아래와 같다.

[math(\displaystyle \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~&\cdots~&x_{n}~&x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~&\cdots~&y_{n}~&y_{1} \end{vmatrix} )]

신발끈 공식은 1769년에 마이스터 알브레히트 루드비히 프레드리히(Meister Albrecht Ludwig Friedrich, 1724~1788)가 발견했으며, 1795년에 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855) 또한 독자적으로 발견하였다. 공식을 계산할 때 나오는 특별한 방법이 마치 신발끈을 묶는 모양과 같아 '신발끈 공식'이라 부르며, '사선 공식'이라고도 한다.

2. 계산법


파일:신발끈공식_계산법.svg 파일:namu_신발끈공식_다크모드_재수정.svg

위 그림과 같이 한 적색 화살표가 지나는 원소들의 곱의 합에서 한 청색 화살표가 지나는 원소들의 곱의 합을 빼어 절댓값을 취하면 된다. 즉,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~&\cdots~&x_{n}~&x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~&\cdots~&y_{n}~&y_{1} \end{vmatrix} =\frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots+x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n-1}+x_{1}y_{n})| \end{aligned} )]

이 식은 다름 아닌 외적[1]으로, [math(x_{1})], [math(x_{2})], [math(\cdots)]를 벡터 [math(\bold x)]로, [math(y_{1})], [math(y_{2})], [math(\cdots)]를 벡터 [math(\bold y)]로 합치면 아래와 같이 된다.[2]

[math(\dfrac{1}{2}|({\bold x}\times{\bold y})·{\bold u}|)][3]


특히 삼각형에 대한 신발끈 공식을 많이 사용하게 되는데 이는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~ &x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~ &y_{1} \end{vmatrix} =\frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+x_{1}y_{3})| \end{aligned} )]

3. 주의점

4. 유도

우선 이 공식을 유도하기 전 꼭짓점이 [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm B}(x_{2},\,y_{2}))], [math({\rm C}(x_{3},\,y_{3}))]인 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 고찰해볼 필요가 있다. [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))]를 시점으로 하는 두 벡터 [math(\overrightarrow{\rm AB})], [math(\overrightarrow{\rm AC})]의 외적의 크기의 절반이 해당 삼각형의 넓이가 된다. 즉,

[math(\displaystyle \triangle {\rm ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\rm AB} \times \overrightarrow{\rm AC} | )]


파일:신발끈공식_유도.svg

위의 정보를 이용하여 다각형 [math({\rm P}_{1}{\rm P}_{2}{\rm P}_{3} \cdots {\rm P}_{n})]의 넓이 [math(S)]는 육각형을 예시로 든 위 그림과 같이 점 [math(\rm P_{1})]을 기준으로 잡아 해당 다각형을 삼각형 [math({\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k} \, (k \geq 3, \,k \in \mathbb{Z}))]으로 모두 분할한 후 해당 삼각형의 넓이를 모두 합한 값이다. 다만, 분할된 영역의 넓이는 전체 넓이에 대하여 양의 기여를 하기도 하고, 음의 기여(위 그림에서 [math(\triangle \rm{P_{1}P_{3}P_{4}})])를 하기도 한다. 따라서 분할된 영역의 넓이를 구할 때는 절댓값을 취하지 않는다. 즉,

[math(\displaystyle [\triangle {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k}]=\frac{1}{2}\overrightarrow{ {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{{\rm P_{1}}{\rm P}_{k}} )]

대괄호를 씌운 것은 일반적으로 넓이 구하는 법과 차이가 있음을 강조하기 위함이다. 따라서 이것을 모두 합한 뒤 절댓값을 취하면 [math(S)]가 된다. 이때, 점을 반시계 방향으로 명명하였고, 벡터의 외적 연산을 사용하기 때문에 오목한 영역과 볼록한 영역의 경우의 넓이는 서로 다른 부호의 기여를 한다. 이에 기여분에 대한 부호는 자동적으로 계산되므로 신경쓰지 않아도 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} S&= \left| \sum_{k=3}^{n}[\triangle {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k}] \right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \overrightarrow{ {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{{\rm P_{1}}{\rm P}_{k}}\right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} (\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}}-\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{1}}) \times (\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k}}-\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{1}})\right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k}}+\left\{ \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P_{1} }} \times \sum_{k=3}^{n} (\overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{k}}) \right\} \right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{ {\rm O}{\rm P}_{k}}+\{\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{1}} \times \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{2}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{1}} \times \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}_{n}} \} \right| \\&=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n} \begin{vmatrix} x_{k-1}~ &y_{k-1} \\ x_{k}~ &y_{k} \end{vmatrix}+\left\{ \begin{vmatrix} x_{1}~ &y_{1} \\ x_{2}~ &y_{2} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_{1}~ &y_{1} \\ x_{n}~ &y_{n} \end{vmatrix} \right\}\right| \\ &=\frac{1}{2} \left| \sum_{k=3}^{n}(x_{k-1}y_{k}-x_{k}y_{k-1})+\{(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})-(x_{1}y_{n}-x_{n}y_{1}) \} \right| \\&=\frac{1}{2}|(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots+x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1})-(x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n-1}+x_{1}y_{n})|\end{aligned} )]

꼭 벡터를 사용하지 않더라도 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해서도 충분히 유도해 낼 수 있다.

5. 변형 공식

5.1. 사루스 법칙

rule of Sarrus

위 공식을 [math(3 \times 3)] 행렬에 적용한 것으로, [math(3 \times 3)] 행렬의 1, 2열을 그대로 4, 5열에 각각 써서 [math(5 \times 3)] 행렬로 변형한 뒤[4] 신발끈 공식을 적용한 것이다. 차이점은 일직선상의 세 개의 성분을 연달아서 이어야 한다는 점과 실수배를 하지 않는다는 점, 결괏값의 부호는 그대로 놔둔다는 점(절댓값을 취하지 않음), 그리고 2행의 양 끝 성분은 버려지는 점이 있다. [math(3 \times 3)] 행렬이 아닐 경우 성립하지 않기 때문에 선형대수학에서는 사도 취급하지만[5], [math(3 \times 3)] 행렬의 행렬식을 구하는 데 이것만큼 유용한 도구가 없다.

대표적인 사용례로 벡터장의 회전이 있다. 이는 아래와 같이 계산할 수 있다.

[math( \boldsymbol{\nabla} \times \bold{a} = \begin{vmatrix} \mathbf{\hat{x}} & \mathbf{\hat{y}} & \mathbf{\hat{z}} & \mathbf{\hat{x}} & \mathbf{\hat{y}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} & \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} \\ a_x & a_y & a_z & a_x & a_y \end{vmatrix})]

6. 기타

7. 관련 문서


[1] Outer product([math(otimes)])가 아닌 Cross product([math(\times)])임에 주의. 이런 혼동이 생기는 이유는 Outer product와 Cross product를 똑같이 '외적'으로 옮겼기 때문. [2] 이 문서에서는 일반론적인 벡터는 볼드체([math(\bold x)]), 기하학적인 의미로 쓰인 벡터는 화살표([math(\overrightarrow{\rm AB})])로 표기한다. [3] 여기서 [math({\bold u})]는 모든 원소가 1인 n차원 벡터를 말한다. [4] 열 대신 행을 늘린 [math(3 times 5)] 행렬을 사용해도 무방하다. [5] 거의 [math(64/16 = \cancel{6}4/1\cancel{6} = 4)] 같은 방식으로 약분하는 것 같은 취급을 당한다.

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