평행사변형

일반적인 평행사변형.

1. 정의

2. 개념

3. 성질

• 두 쌍의 대변이 각각 평행
• 두 쌍의 대변이 각각 같음
• 두 쌍의 대각이 각각 같음
• 이웃한 두 각의 합이 [math(180\degree)]
• 두 대각선이 서로를 이등분
• 한 대각선이 도형을 이등분, 이등분된 도형들은 합동인 삼각형
• 마름모도 직사각형도 아닌 평행사변형의 경우 두 대각선이 수직이 아니고, 두 대각선의 길이도 다르며, 내접원과 외접원이 모두 존재하지 않음 [1]
• 두 대각선의 교점에 대하여 대칭
• 합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많음
• 쌍대는 닮음 관계의 자기 자신

4. 평행사변형이 되기 위한 조건

• 두 쌍의 대변이 각각 평행
• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 동일
• 두 쌍의 대각의 크기가 각각 동일
• 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분
• 한 쌍의 대변이 평행&길이 동일 (자주 나오는 유형)

5. 다른 사각형과의 관계

• 등변 사다리꼴( 직사각형, 정사각형 포함) → 마름모, 정사각형
  등변 사다리꼴 중 서로 마주보는 변의 중점을 연결한 두 선의 길이가 같은 경우 각 변의 중점을 연결하면 정사각형이 된다. 정사각형도 여기에 속하므로 각 변의 중점을 연결하면 항상 정사각형이 그려진다.
• 연꼴(마름모, 정사각형 포함) → 직사각형, 정사각형
  연꼴 중 두 대각선의 길이가 같은 경우 각 변의 중점을 연결하면 정사각형이 된다. 정사각형도 여기에 속하므로 각 변의 중점을 연결하면 항상 정사각형이 그려진다.
• 위의 두 사각형에 해당하지 않는 사각형 → 평행사변형

6. 공식

평행사변형을 적절히 잘라 직사각형의 넓이로 생각할 수 있다.

• [math(\begin{aligned}\textsf{\footnotesize{(넓이)}}&=\textsf{\footnotesize{(밑변)}}\times\textsf{\footnotesize{(높이)}}\\&=\textsf{\footnotesize{(한 대각선)}}\times\textsf{\footnotesize{(다른 대각선)}}\times{\rm sin}\textsf{\footnotesize{(사잇각)}}\end{aligned})]
• [math(\textsf{\footnotesize{(둘레)}}=\textsf{\footnotesize{(평행하지 않은 두 변의 길이의 합)}}\times 2)]

7. 기타

• 네 변으로 둘러싸인 다각형은 보통 사변형으로 부르지 않고 사각형으로 부르는데, 특이하게도 '평행사각형'보다 '평행사변형'이라는 말을 훨씬 많이 쓴다. 초ㆍ중ㆍ고 교육과정에서도 '평행사변형'이라는 명칭을 채택하고 있다. 그 이유는 평행한 것이 각이 아니라 변이기 때문이라고 한다.
• 두 평면 벡터의 합은 좌표평면상에서 두 벡터가 이루는 평행사변형의 꼭짓점으로 표현된다.