|
평면기하학 Plane Geometry |
|||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
<colbgcolor=#765432> 공통 | 도형 · 직선 ( 반직선 · 선분 · 평행) · 각 ( 맞꼭지각 · 동위각 · 엇각 · 삼각비) · 길이 · 넓이 · 다각형 ( 정다각형 · 대각선) · 작도 · 합동 · 닮음 · 등적변형 · 삼각함수 ( 덧셈정리) · 접선 · 벡터 | |
| 삼각형 | 종류 | 정삼각형 · 이등변삼각형 · 부등변삼각형 · 예각삼각형 · 직각삼각형 · 둔각삼각형 | |
| 성질 | 오심 ( 관련 정리 · 구점원) · 피타고라스 정리 · 사인 법칙 · 코사인 법칙 · 헤론의 공식 · 신발끈 공식 · 스튜어트 정리 · 우산 정리 · 오일러 삼각형 정리 · 데자르그 정리 · 메넬라오스 정리 · 나폴레옹의 정리 · 체바 정리 · 사영 정리 · 판아우벌 정리 | ||
| 기타 | 세모 모양 · 평범한 삼각형 · 젤곤 삼각형 · 랭글리 삼각형 · 페르마 점 | ||
| 사각형 | 정사각형 · 직사각형 · 마름모 · 평행사변형 · 사다리꼴 · 등변 사다리꼴 · 연꼴 · 네모 모양 | ||
| 그 외 다각형 | 오각형 · 육각형 · 칠각형 · 팔각형 ( 정팔각형) · 구각형 · 십각형 · 십일각형 · 십이각형 · 백각형 | ||
| 원 | 단위원 · 원주율 · 호 · 부채꼴 · 할선 · 활꼴 · 방정식 · 원주각 · 방멱 정리 · 톨레미 정리 | ||
| 원뿔곡선 | 포물선 · 타원 · 쌍곡선 · 파스칼 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 · 보조선 · 테셀레이션( 펜로즈 타일) · 제곱근의 앵무조개 · 픽의 정리 · 논증 기하학 · 해석 기하학 · 3대 작도 불능 문제 | }}}}}}}}} | |
1. 개요
Penrose tile영국의 수학자 로저 펜로즈(Roger Penrose, 1931~)가 고안한 타일.
평면을 '반복되지 않는 형태'로 채울 수 있지만, '반복되는 형태'로는 채울 수 없다.
2. 상세
펜로즈 타일을 만드는 방법은 여러가지가 있지만, 크게 2가지 방법이 유명하다.
하나는 볼록 연꼴[1] 과 화살촉꼴 (오목 연꼴)[2]로 된 2개의 사각형을 이용해서 만드는 것이다. 또 하나는 내각이 72°, 108°인 마름모, 내각이 36°, 144°인 마름모를 이어붙인 것이다. 이들은 모두 정오각형을 잘라서 재조합하여 만들어 진 것이다. 참고로 가장 원형이 되는 P1 형태는 정오각형, 마름모, 오각별, 짤린 오각별(?) 로 구성된 모습( 보러가기)이다. 이들로 만들어 지는 타일링은 다른 방법으로 변환될 수 있기 때문에 사실상 같은 타일링 방법이다.
타일이 정다각형이면 타일의 모양에는 주기적인 패턴이 나타난다. 그러나 로저 펜로즈는 아무리 타일을 이어붙여도 주기적인 패턴이 나타나지 않는 타일을 고안한 것이다. 펜로즈 타일이 반복되지 않는 이유. 각 타일은 기본형태 기준으로 정오각형의 각 변을 따라 일정한 간격으로 평행선을 그렸을 때 생기는 접점들과 동치인데, 이때 각 점들의 간격의 비율을 유리수로 표현할 수가 없기 때문에 특정 패턴이 절대 반복되지 않음이 증명이 된다.
3. 예시
4. 여담
- 로저 펜로즈는 펜로즈 타일뿐만 아니라 현실에서 불가능한 도형 펜로즈 삼각형을 고안하기도 했다.
- 단 셰흐트만이 준결정의 이론적 존재 가능성을 입증해 주었다. 하지만 펜로즈 타일을 고안한 펜로즈 자신은 준결정의 존재에 대해 '자연에서는 불가능할 것이다'라고 부정했다.
-
단일 도형만으로 패턴이 반복되지 않는 타일의 존재 여부를 einstein problem이라고 부른다. 여기서 einstein은
알베르트 아인슈타인과 ein(하나의)+stein(돌)이 발음이 동일함을 이용한 말장난이다.
그런데 이 einstein이 발견되었다고 한다. hat 해당 도형은 자기 자신을 좌우반전한 형태까지 사용한 경우이고 이를 변형해서 좌우반전도 필요없는 사례 spectre[3] 도 발견되었다고 한다. 일단은 피어 리뷰 중이라고 한다.
[1]
사각형의 네 각은 144°, 72°, 72°, 72°
[2]
사각형의 네 각은 216°, 36°, 72°, 36°
[3]
뉴스에서는 '키랄'이라고 하는데 'chiral(키랄성의)'를 착각한 듯하다. 도형의 명칭은 spectre이다.