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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
Penrose tile영국의 수학자 로저 펜로즈(Roger Penrose, 1931~)가 고안한 타일.
평면을 '반복되지 않는 형태'로 채울 수 있지만, '반복되는 형태'로는 채울 수 없다.
2. 상세
펜로즈 타일을 만드는 방법은 여러가지가 있지만, 크게 2가지 방법이 유명하다.
하나는 볼록 연꼴[1] 과 화살촉꼴 (오목 연꼴)[2]로 된 2개의 사각형을 이용해서 만드는 것이다. 또 하나는 내각이 72°, 108°인 마름모, 내각이 36°, 144°인 마름모를 이어붙인 것이다. 이들은 모두 정오각형을 잘라서 재조합하여 만들어 진 것이다. 참고로 가장 원형이 되는 P1 형태는 정오각형, 마름모, 오각별, 짤린 오각별(?) 로 구성된 모습( 보러가기)이다. 이들로 만들어 지는 타일링은 다른 방법으로 변환될 수 있기 때문에 사실상 같은 타일링 방법이다.
타일이 정다각형이면 타일의 모양에는 주기적인 패턴이 나타난다. 그러나 로저 펜로즈는 아무리 타일을 이어붙여도 주기적인 패턴이 나타나지 않는 타일을 고안한 것이다. 펜로즈 타일이 반복되지 않는 이유. 각 타일은 기본형태 기준으로 정오각형의 각 변을 따라 일정한 간격으로 평행선을 그렸을 때 생기는 접점들과 동치인데, 이때 각 점들의 간격의 비율을 유리수로 표현할 수가 없기 때문에 특정 패턴이 절대 반복되지 않음이 증명이 된다.
3. 예시
4. 여담
- 로저 펜로즈는 펜로즈 타일뿐만 아니라 현실에서 불가능한 도형 펜로즈 삼각형을 고안하기도 했다.
- 댄 셰흐트만이 준결정의 이론적 존재 가능성을 입증해 주었다. 하지만 펜로즈 타일을 고안한 펜로즈 자신은 준결정의 존재에 대해 '자연에서는 불가능할 것이다'라고 부정했다.
-
단일 도형만으로 패턴이 반복되지 않는 타일의 존재 여부를 einstein problem이라고 부른다. 여기서 einstein은
아인슈타인과 ein(하나의)+stein(돌)이 발음이 동일함을 이용한 말장난이다.
그런데 이 einstein이 발견되었다고 한다. hat 해당 도형은 자기 자신을 좌우반전한 형태까지 사용한 경우이고 이를 변형해서 좌우반전도 필요없는 사례 spectre[3] 도 발견되었다고 한다. 일단은 피어 리뷰 중이라고 한다.
[1]
사각형의 네 각은 144°, 72°, 72°, 72°
[2]
사각형의 네 각은 216°, 36°, 72°, 36°
[3]
뉴스에서는 '키랄'이라고 하는데 'chiral(키랄성의)'를 착각한 듯하다. 도형의 명칭은 spectre이다.