1. 개요
유계 집합( 有 界 集 合, bounded set)은 거리, 순서, 위상 등에 의해 그 크기 또는 범위가 제한된 집합을 의미한다.2. 정의
2.1. 실수 집합의 유계 집합
실수 전체의 집합 [math(\R)]의 부분집합 [math(X)]에 대해서 집합 [math(X)]에 속하는 모든 원소보다 크거나 같은 실수를 [math(X)]의 상계( 上 界, upper bound)라 하고 [math(X)]에 속하는 모든 원소보다 작거나 같은 실수를 [math(X)]의 하계( 下界, lower bound)라고 한다. 예를 들어 열린 구간 [math((0, 1))]의 상계는 구간 [math([1, \infty))]의 임의의 원소이다. 마찬가지로 구간 [math((-\infty, 0])]에 속하는 각 원소는 구간 [math((0, 1))]의 하계이다. [math(X)]의 원소이면서 동시에 [math(X)]의 상계 또는 하계가 되는 것도 가능하다. 예를 들어 1은 닫힌 구간 [math([0, 1])]의 모든 원소보다 크거나 같고, 따라서 상계가 된다.상한(최소 상계, 上限, supremum, least upper bound)과 하한(최소 하계, 下限, infimum, greatest lower bound)은 각각 상계의 최솟값과 하계의 최댓값을 말한다. 즉, 집합 [math(X)]의 상한은 [math(X)]의 모든 원소보다 크거나 같은 수들 중 가장 작은 수를, 하한은 [math(X)]의 모든 원소보다 작거나 같은 수들 중 가장 큰 수이다. [math(X)]의 상한과 하한을 각각 [math(\sup X, \inf X)]로 나타낸다. 열린 구간에서 볼 수 있듯이 모든 집합에 대해 최솟값과 최댓값이 존재하는 것은 아니다. 하지만 상한과 하한은 최대/최솟값을 갖지 않는 유한 열린구간에도 존재하며, 따라서 상한과 하한을 최대, 최솟값의 일반화라 볼 수 있다. 예를 들어 [math((0, 1))]는 최댓값과 최솟값이 존재하지 않지만 상계 [math([1, \infty))]의 최솟값과 하계 [math((-\infty, 0])] 최댓값은 각각 [math(1)]과 [math(0)]으로 존재한다.
집합 [math(X)]가 상계(하계)를 가지면 [math(X)]는 위로(아래로) 유계(bounded above, bounded below)라고 하며, [math(X)]가 위로 유계인 동시에 아래로 유계인 경우 [math(X)]를 유계 집합(bounded set)이라고 한다.
2.2. 거리 공간의 유계 집합
거리공간 [math((X, d))]에 대해 [math(X)]의 부분집합 [math(A)]가 유계라 함은 [math(A\subset B_d(x, r))]을 만족시키는 점 [math(x\in X)]와 실수 [math(r>0)]이 존재함을 뜻한다. 이때 점 [math(x)]는 반드시 집합 [math(A)]의 점일 필요가 없음에 주의하자. 동치인 명제로 [math(\forall a, b \in A \subset X)]에 대하여 실수 [math(\exist r\in \R^{+}\cup\{0\})]이 존재하여 [math(\sup(d(a,b))\le r)]이라는 명제가 있다.2.3. 위상 벡터 공간의 유계 집합
[math(\mathbb{K})]-위상 벡터 공간 [math(X)]([math(\mathbb{K\in\{R,C\}})])의 부분집합 [math(A)]가 [math(X)]의 임의의 열린 집합 [math(U)]에 대하여 [math(rA\subseteq U)]인 [math(r\in\mathbb{K})]을 가지면 [math(A)]를 [math(X)]의 (폰노이만) 유계 집합이라고 한다.2.4. 순서 집합의 유계 집합
순서 집합 [math(X)]의 부분집합 [math(A)]에 대하여, 집합 [math(A)]에 속하는 모든 원소보다 크거나 같은 수 [math(x(\in X))]가 존재하면 [math(x)]를 상계라 하고 집합 [math(A)]는 위로 유계라 한다. 반대로, 집합 [math(A)]에 속하는 모든 원소보다 작거나 같은 수 [math(x(\in X))]가 존재하면 [math(x)]를 하계라 하고 집합 [math(A)]는 아래로 유계라 한다. [math(A)]가 위로 유계이면서 동시에 아래로 유계인 경우, '집합 [math(A)]는 유계(bounded)'라고 한다. 집합 [math(A)]의 상계 중 최솟값이 존재하는 경우 이를 최소 상계 또는 상한이라 하고 [math(\operatorname{lub}A)] 또는 [math(\sup A)]라고 표기한다. 마찬가지로, 하계 중 최댓값이 존재하는 경우 이를 최대 하계 또는 하한이라 하고 [math(\operatorname{glb}A)] 또는 [math(\inf A)]라고 표기한다.3. 예시
- 집합 [math(\R)]의 유계 부분 집합
- 열린 구간 [math((0, 1))]에 대하여 [math(0)]과 [math(1)] 사이의 모든 수보다 큰 수인 [math(2)], [math(0)]과 [math(1)]사이의 모든 수보다 작은 수인 [math(-1)]이 각각 존재하므로 열린구간 [math((0, 1))]는 유계인 집합이다.
- 실수의 완비성에 의해 실수 집합의 위로(아래로) 유계인 부분 집합은 상한(하한)을 갖는다.
- 실수 집합에서 거리 공간, 위상 벡터 공간, 순서 집합으로서의 유계성은 일치한다.
- 집합 [math(\R^n)]의 유계 부분 집합
- 유클리드 공간 [math(\R^n)]은 거리 [math(d:\R^n\times\R^n\to[0,\infty))]를 갖춘 거리공간이므로 단위 구 [math(B(0, 1))] 등은 [math(\R^n)]의 유계 집합이다.
-
집합 [math(\R^2)]의 전순서 [math(\le)]를 다음과 같이 정의하자.
{{{#!wiki style="margin:1.2em 1.2em ;text-align: center;"
\begin{cases}x\le z,& y=w\\
y\le w,& y\ne w\end{cases})]}}}순서 공간 [math((\R^2, \le))]에서 집합 [math(A=\{(1,y):y\in\R\})]는 유계 집합이다.
- 유클리드 공간은 거리 공간이지만 순서 공간이 아니므로 [math(\R^n)]에서 유클리드 거리 공간으로서의 유계성과 순서 공간으로서의 유계성은 서로 구분된다. 예를 들어 위 순서 공간의 유계 집합 [math(A)]는 유클리드 공간 [math(\R^2)]에서 유계가 아니다.
4. 기타
일상에서는 상한선, 하한선이라는 용어를 사용하는데, 근본적으로는 유계 집합을 염두에 둔 것이라고 볼 수 있다.대표적인 용례로 진급 상한선이 있다.