1. 부정적분
1.1. 개요
복잡한 합성함수를 적분할 때 사용되는 방법이다. 보통 합성함수를 적분할 때 먼저 치환적분을 해본 후 치환적분이 먹히지 않으면 부분적분법을 쓴다. 다만, 이 방법을 적용했을 때 초등함수로 결과가 나오지 않는 함수들이 있다. 단적인 예로 [math(\dfrac{\sin x}{x} )]라거나 [math(e^{-x^2} )]이라거나..[1] 만약 초등함수로 나타나지 않는다면 급수로 나타내서 적분하거나 수치해석을 이용할 수 있다.[math(x=g(t) )] 이고 [math(g(t) )]가 미분 가능할 때, 치환적분법은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \int f(x) \,\mathrm{d}x = \int f\{g(t)\} \,g'(t) \,\mathrm{d}t )][2]
대부분의 고등학생이라면 분명 기호에 불과하다고 배웠던 [math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} )]를, 마치 분수처럼 계산해서 [math(\mathrm{d}x = g'(t) \,\mathrm{d}t)]와 같은 식으로 [math(\mathrm{d}x)]나 [math(\mathrm{d}y)]라는 단독표현을 써서 치환적분법을 배웠을 것이다. 이것은 사실 [math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} )]가 단순한 기호가 아닌 미분형식이라는 엄연한 연산자[3]이기 때문이다. 그런데 이 미분형식은, 해당 문서를 들어가보면 알겠지만 여러 가지 미분 개념을 미리 마스터한 뒤에 배운다. 즉, 대학교를 가도 미적분학 내지는 공업수학을 배우는 공대생이나, 수학과 신입생까지는 대게 고등학교와 마찬가지로 그냥 그런 게 있다 정도로만 알려준다. 이런 판국이니 고교 교육과정 입장에선 저 기호를 제대로 알려줄 수가 없는 것. 물론 지나치게 어려운 내용은 아니고 맘만 먹으면 고교 수준에서도 충분히 정의할 수 있는 개념이긴 하다. 여튼 교육 과정에는 벗어나는 방법이지만, 위 방법도 수학적으로는 문제가 없다.
추가로 치환적분법이 한 참고서[4]에 따르면 '[math(x=g(t) )]가 일대일 대응이어야 한다'라고 고교과정에서 배운다고 하는데, 이는 잘못된 내용이며 고등학교 교과서에서도 [math(x=g(t) )]라는 말 밖에 없다. Thomas 미적분학 교재에서도 [math(x=g(t) )]가 미분가능해야 한다고 설명하며, 일대일 대응 관련 이야기는 없다. 고교 과정에서 위와 같은 말이 나온 이유는, [math(x=g(t) )]가 일대일대응이 아닐경우, [math(x=g(t) )]의 증감에 따라 구간을 나눠야 하는 경우가 생기기 때문이다. 따라서 모든 경우를 생각하여 오류 없이 구간을 잘 나눌 경우에는 [math(x=g(t) )]의 일대일대응 여부는 치환적분과 상관이 없다. 이는 결과적으로 보았을 때 일대일대응이 성립하는 구간만으로 나눈 것임을 알 수 있는데, 상술된 오류처럼 일대일대응이 아니라면 함수를 치환적분할 수 없다라고 하는 것은 비약이다. 일대일대응이 아닌 함수라도 얼마든지 치환적분을 할 수는 있으나, 치환적분을 할 때에 구간이 일대일대응이 되도록 해야한다가 고교 과정에서의 정확한 설명이다. 이런 이야기가 나온 이유는 미적분을 처음 배우는 학생들에게 치환적분에서 구간을 제대로 나누지 않는 오류가 상당히 빈번히 나타나기 때문인데, 따라서 이러한 내용은 학습에 있어서 유의미한 정보라고 할 수 있다.
1.1.1. 예제 1
다음 부정적분을 구하시오.[math(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x )]
- 일단 [math(t=f(x) )]로 둔다.
- 그러면 [math(f'(x)=\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} )]이다.
- 따라서 [math(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x = \int \frac1t \,\mathrm{d}t)]이다.
- [math(\displaystyle \int \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t=\ln\left| t \right|+ \mathsf{const.})]이다. (단, 는 적분상수이다.)
- 위에서 [math(t=f(x) )]라 하였으므로, 그대로 대입하면 최종적으로 [math(\ln{|f(x)|}+C)]이 된다.
[math(\displaystyle \therefore \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x = \ln{|f(x)|}+C )]
1.1.1.1. 예제 1-1
다음 부정적분을 구하시오.[math(\displaystyle \int \tan x \,\mathrm{d}x )]
[풀이 1]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \tan x \,\mathrm{d}x &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \,\mathrm{d}x \\
&= -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x} \,\mathrm{d}x \\
&= -\ln{\left|\cos x\right|}+C
\end{aligned} )]
[풀이 2]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \tan x \,\mathrm{d}x &= \int \frac{\sec x \tan x}{\sec x} \,\mathrm{d}x \\
&= \int \frac{(\sec x)'}{\sec x} \,\mathrm{d}x \\
&= \ln{\left|\sec x\right|}+C
\end{aligned} )]
이 때 [math(\displaystyle \ln{\left|\sec x\right|} = \ln{\left|\frac1{\cos x}\right|} = \ln{\left|\cos x\right|^{-1}} = -\ln{\left|\cos x\right|} )]이므로 두 결과는 일치한다.
1.1.2. 치환 적분을 두 번 이상하는 경우
1.1.2.1. 예제 2[5]
다음 부정적분을 구하시오.[math(\displaystyle \int \sqrt{1+e^{ax+b}} \,\mathrm{d}x )]
[math(e^{ax+b}=t)]라고 두면 [math(\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = ae^{ax+b} = at)]이므로 [math(\mathrm{d}x= \dfrac{\mathrm{d}t}{at} )]로 바꾸어 대입하면
[math(\displaystyle \int \sqrt{1+e^{ax+b}} \,\mathrm{d}x = \frac1a \int \frac{\sqrt{1+t}}t \,\mathrm{d}t )]
[math(\displaystyle \sqrt{1+t}=k)]라고 두면, [math(t=k^2-1)]이고 [math(\mathrm{d}t = 2k\,\mathrm{d}k)]이므로 이를 대입하면
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[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \sqrt{1+e^{ax+b}} \,\mathrm{d}x &= \frac1a \int \frac{\sqrt{1+t}}t \,\mathrm{d}t \\ &= \frac1a \int \frac k{k^2-1} \cdot 2k \,\mathrm{d}k \\ &= \frac1a \int \frac{2k^2}{k^2-1} \,\mathrm{d}k \\ &= \frac1a \int \biggl( 2+\frac1{k-1}-\frac1{k+1} \biggr) \mathrm{d}k \\ &= \frac1a \biggl( 2k + \ln{\biggl| \frac{k-1}{k+1} \biggr|} \biggr) +C \\ &= \frac1a \biggl( 2\sqrt{1+t} - \ln{\biggl| \frac{\sqrt{1+t}-1}{\sqrt{1+t}+1} \biggr|} \biggr) +C \\ &= \frac1a \biggl( 2\sqrt{1+e^{ax+b}} - \ln{\biggl| \frac{\sqrt{1+e^{ax+b}}-1}{\sqrt{1+e^{ax+b}}+1} \biggr|} \biggr) +C \end{aligned} )] |
1.1.3. 삼각 치환
변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.대개 [math(\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x)]는 [math(x = a\sin t)]로, [math(\displaystyle \int \sqrt{a^2+x^2} \,\mathrm{d}x)]는 [math(x = a\tan t)]로 치환하여 적분한다.
[math(\displaystyle \int \sqrt{x^2-a^2} \,\mathrm{d}x)]는 [math(x>0)]일 땐 [math(x = a\sec t)]로, [math(x<0)]일 땐 [math(x = a\csc t)]로 치환하거나 아크시컨트, 아크코시컨트의 도함수를 이용하여 적분한다. 삼각치환을 할 때는 범위를 지정하는 것이 중요하다.
삼각치환으로 적분을 한 후, 적분 결과에 [math(t)] 변수가 있다면, 그걸 본래 정의역인 [math(x)]로 되돌려야 한다. 이때 역삼각함수를 사용하면 편리하다. 예를 들어, [math(x = a\sin t)]로 치환해 적분을 했다면, [math(t = \arcsin (x/a))]로 역치환 해줘야 한다.
1.1.3.1. ∫ √(a²-x²) dx 꼴
다음 부정적분을 구하시오.[math(\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x )]
일단 [math(\displaystyle x = a\sin t)]로 두고, [math(t)]의 범위는 [math(-\dfrac{\pi}2 \le t \le \dfrac{\pi}2)]로 둔다. 양 변을 [math(t)]에 대해서 미분하면 [math(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a\cos t)]이고, 이 식을 [math(\mathrm{d}x = a\cos t \,\mathrm{d}t)]로 바꾸어 본래의 적분에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x &= \int \sqrt{a^2-a^2\sin^2t} \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \\ &= \int \sqrt{a^2(1-\sin^2t)} \,a\cos t \,\mathrm{d}t \\ &= \int a\cos t \,\sqrt{a^2\cos^2t} \,\mathrm{d}t \\ &= a \int \cos t \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \qquad \biggl( \because -\frac{\pi}2 \le t \le \frac{\pi}2 \Rightarrow \cos t \ge 0 \biggr) \\ &= a^2 \int \cos^2t \,\mathrm{d}t \\ &= a^2 \int \frac{1+\cos{2t}}2 \,\mathrm{d}t \\ &= \frac{a^2}2 \biggl( t + \frac12\sin{2t} + C \biggr) \\ &= \frac{a^2}2 (t + \sin t\cos t) + C \\ &= \frac{a^2}2 \biggl( \arcsin{\frac xa} + \frac xa\cos\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) \biggr) + C \\ &\quad \biggl( \because x=a\sin t \Rightarrow \frac xa=\sin t \Rightarrow t=\arcsin{\frac xa}\biggr) \end{aligned} )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) + \cos^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= 1 \\ \biggl(\frac xa\biggr)^2 + \cos^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= 1 \\ \cos^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= 1 - \frac{x^2}{a^2} \\ \therefore \cos\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \\ \quad \biggl( \because -\frac{\pi}2 \le t=\arcsin{\frac xa} \le \frac{\pi}2 &\Rightarrow \cos\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) \ge 0 \biggr) \end{aligned} )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x &= \frac{a^2}2 \biggl( \arcsin{\frac xa} + \frac xa\cos{\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr)} \biggr) + C \\ &= \frac{a^2}2 \arcsin{\frac xa} + \frac{ax}2 \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} + C \\ &= \frac{a^2}2 \arcsin{\frac xa} + \frac x2 \sqrt{a^2-x^2} + C \end{aligned} )] |
1.1.4. ∫ f(lnx)/x dx 꼴
1.1.4.1. 예제 4
다음 부정적분을 구하시오.[math(\displaystyle \int \frac{\sin{(\ln x)}}x \,\mathrm{d}x )]
[math(\ln x=t)]로 두면 [math(x=e^t)]이고, [math(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=e^t)]이므로 [math(\mathrm{d}x=e^t\,\mathrm{d}t)]가 된다. 이를 위의 적분식에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \frac{\sin{(\ln x)}}x \,\mathrm{d}x &= \int \frac{\sin{(t)}}{e^t} \cdot e^t\,\mathrm{d}t \\
&= \int \sin t \,\mathrm{d}t \\
&= -\cos t + C
\end{aligned} )]
[math(\ln x=t)]로 치환했었으니 다시 [math(x)]에 관한 식으로 나타내면 다음 결과를 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \therefore \int \frac{\sin{(\ln x)}}x \,\mathrm{d}x = -\cos{(\ln x)}+C )]
1.1.5. 탄젠트 반각 치환적분
'탄젠트 반각 치환(tangent half angle substitution)'이 올바른 명칭이다. 17세기부터 구면삼각법에서 널리 사용되어 오던 치환법이었고, 1768년 오일러가 저술한 미적분학 교과서에 이 방법이 실려 있었다. 그렇기 때문에 바이어슈트라스가 개발했다면서 명명된 '바이어슈트라스 치환'은 잘못된 명칭이다.[6] 적분하기에 복잡한 삼각함수식을 대수적 변수로 치환해 적분하는 방식이다.적분이 복잡한 다음 식을 가정하면,
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int f(\sin x , \cos x) dx \end{aligned})] |
여기서, [math(t=\tan {x}/{2})]을 적용하면, 임의의 함수는 다음과 같은 대수적 형식으로 치환된다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\displaystyle \int f\left({\left(\dfrac{2t}{1+t^2}\right), \left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)}\right) \dfrac{2}{1+t^2}dt \end{aligned})] |
1.1.5.1. 증명
위의 함수에서 상기하여 [math(\sin, \cos)]를 전개하면,|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sin\,x=2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\\ =2\dfrac{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}\\ =2\dfrac{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\sec^2\left(\dfrac{x}{2}\right)} \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sin\,x=\dfrac{2t}{1+t^2} \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\cos\,x=\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \csc^2\left(\dfrac{x}{2}\right)-\cot^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=1)]이므로,
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\cos\,x=\dfrac{1}{1+t^2}-\dfrac{t^2}{1+t^2}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2} \end{aligned})] |
삼각함수 치환적분을 사용하면 [math(dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt)]. 그러므로, 다음이 정의된다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int f\left(\left(\dfrac{2t}{1+t^2}\right), \left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)\right) \dfrac{2}{1+t^2}dt \end{aligned})] |
1.1.5.2. 활용
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \frac{n_0}{n_1\cos\,x+n_2\sin\,x} {\rm d}x\\ \int \frac{n_0}{n_1\cos\,x+n_2} {\rm d}x\\ \int \frac{n_0}{n_1+n_2\sin\,x} {\rm d}x \end{aligned})] |
2. 정적분
2.1. 개요
닫힌 구간 [math(\left[a,\,b\right] )]에서 연속인 함수 [math(f(x) )]에 대하여 미분가능한 함수 [math(g(t) )] 의 도함수 [math(g'(t) )]가 닫힌 구간 [math([\alpha,\,\beta] )]에서 연속이고 [math(a=g(\alpha),\,b=g(\beta) )]이면[math(\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) \,g'(t) \,\mathrm{d}t )]
2.1.1. 예제 1
다음 정적분을 구하시오.[math(\displaystyle \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x )]
[math(\displaystyle x = a\sin t)]로 두고 [math(t)]의 범위는 [math(-\dfrac{\pi}2 \le t \le \dfrac{\pi}2)]로 두자. 그러면 [math(x=0)]일 때 [math(t=0)]이고, [math(x=a)]일 때 [math(t=\dfrac{\pi}2 )]이다. 또한 [math(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a\cos t)]이므로 위의 정적분은 아래와 같이 진행 가능하다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x &= \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2-a^2\sin^2t} \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2(1-\sin^2t)} \,a\cos t \,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2\cos^2t} \,a\cos t \,\mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} a\cos t \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \\ &= a^2 \int_0^{\pi/2} \cos^2t \,\mathrm{d}t \\ &= a^2 \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos{2t}}2 \,\mathrm{d}t \\ &= \frac{a^2}2 \biggl[ t + \frac12\sin{2t} \biggr]_0^{\pi/2} \\ &= \frac{a^2}2 \biggl[ \biggl( \frac{\pi}2 + \frac12\sin{\pi} \biggr) - (0+0) \biggr] \\ &= \frac{a^2}2 \cdot \frac{\pi}2 \\ &= \frac{\pi a^2}4 \end{aligned} )] |
[1]
이런 함수들은
초등함수 표현이 불가능한 부정적분이 있다고 한다. 전자는
사인 적분 함수, 후자는
오차함수라는
특수함수를 이용해서 적분을 표현해야 한다.
[2]
보통 [math(t=)]([math(x)]에 관한 함수)꼴로 두는데, 이럴 때에 양변에 [math(x)]에 관한 함수의 역함수를 먹여도 된다. 그러면 이 꼴이 된다.
[3]
쉽게 말하면 함수
[4]
숨마쿰라우데 미적분2 4단원 적분법 360쪽
[5]
이 예제에서 [math(a=2)], [math(b=0)]이면 [math(e^x)]의 곡선의 길이를 구하는 함수가 된다.
[6]
1966년 윌리엄 에버라인(William Eberlein)이 바이어슈트라스가 소개했다고 하고, 1987년 미적분학 교과서의 권위자
제임스 스튜어트가 이 낭설을 차용하는 바람에 한동안 잘못된 명칭으로 불렸다. 2019년부터 개정된
피어슨 에덱셀 주관사의
GCE A Level의 심화수학과목의 심화순수수학 1 교과서에서는 바이어슈트라스 치환이라고 언급되었다. 다만, GCE A Level 심화순수수학 1 시험지나
STEP 2-3에선 substitution, [math(t=\operatorname{tan}(\frac{1}{2}x))]으로 언급되긴 한다.
[7]
[math(\displaystyle y=\sqrt{a^2-x^2} )]이라고 두고 양변을 제곱하면 [math(x^2+y^2=a^2 \, (y\ge0) )]이 되므로