1. 개요
linear approximation / 線 型 近 似선형 함수를 이용해서 어떤 함수를 어림하는 방법. 대학에 가서 미분을 처음 배울 때 differential의 개념과 함께 고등학교와 차이가 나타나는 부분이다.
2. 정의
2.1. 실함수
미분가능한 실변수 함수 [math(f)]가 주어질 때, [math(n=1)]일 때 테일러 정리의 식을 쓰면| [math(f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2} \quad)] ([math(R_2)]는 나머지) |
| [math(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a))] |
[math(x)]가 [math(a)]에 충분히 가깝다면 이 근사는 꽤 정확한 것으로 알려져있다. 이는 곡선을 매우 면밀히 확대하였을 때 곡선이 직선과 닮았기 때문이다. 우변의 식이 접선의 방정식과 같은 것도 바로 이 이유이다.[1]
2.2. 벡터 함수
벡터 함수더라도 스칼라 함수와 같은 방식으로 구한다. 예를 들어, 미분가능한 함수 [math(f(x,\,y))]가 주어질 때, [math((a,\,b))]에 가까운 [math((x,\,y))]에서 다음과 같은 식으로 근사한다.| [math(f(x,\,y)\approx f(a,\,b)+\dfrac{\partial f}{\partial x}\biggr|_{(a,\,b)}(x-a)+\dfrac{\partial f}{\partial y}\biggr|_{(a,\,b)}(y-b))] |
가장 일반적인 정의는 바나흐 공간(Przestrzeń Banacha)에서 정의하는 것이다. 선형 근사는
| [math(f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a))] |
3. 활용
선형 근사는 다른 미분의 수많은 개념과 관련되어 있기 때문에 이 자체로만 쓰인다기 보다는 테일러 정리 등과 엮일 수 있다. 하지만 자체로 가장 흔히 쓰이는 근사 방법이기 때문에 물리학 등 다양한 부분에 두루 쓰인다.
[1]
애당초 미분계수가 접선의 기울기인 이유가 곡선을 무한히 확대했을 때 직선과 같기 때문이다.