1. 개요
부분적분을 할 때 쓰이는 방법론 중 하나로, 브래들리 대학의 Herbert Kasube가 제안한 LIATE 법칙을 설명한다.2. 상세
| <colbgcolor=#f2f2f2,#191919> L | Logarithmic functions ( 로그함수) | [math(\ln{x})], [math(\log_{a}{x})] 등[1] |
| I | Inverse trigonometric functions ( 역삼각함수) | [math(\sin^{-1}{x})], [math(\tan^{-1}{x})] 등 |
| A | Algebraic functions ( 대수적 함수) | [math(x^{2})], [math(\dfrac{x^2-1}{x^2+1})], [math(\sqrt{x+\sqrt{x}})] 등 |
| T | Trigonometric functions ( 삼각함수) | [math(\sin{x})], [math(\tan{x})] 등 |
| E | Exponential functions ( 지수함수) | [math(e^{x})], [math(\sinh x)][2][3] 등 |
표의 위쪽(LIATE 기준 왼쪽)으로 갈수록 미분 우선이고, 표의 아래쪽(LIATE 기준 오른쪽)으로 갈수록 적분 우선이다. 이러한 우선순위가 존재하는 까닭은 로그함수로 갈 수록 적분이 까다로워지기 때문이다. 다만, 로그함수와 역삼각함수의 경우에는 우선순위가 유동적인 경우가 많아 LIATE 법칙이 항상 옳은 것은 아니다. 때로는 ILATE 순이 더 적절할 수도 있다.
2.1. 로다삼지
한국의 고등학교 교육과정에서는 역삼각함수를 배우지 않고, 대수적 함수라는 표현 대신 다항함수[4]라는 표현을 쓰기 때문에 이 순서를 'LATE 법칙'이라고 하며, '로다삼지'라는 순서로도 흔히 외운다.3. LIATE 법칙이 적용되지 않는 경우
다만 때에 따라서는 적분 우선이라는 삼각함수, 지수함수 적분이 단순 로그함수 적분보다 훨씬 어려워지기도 한다. 특수함수가 나오면 다행이고[5], 아예 대응 특수함수조차 없는 상황도 꽤 잦다. 이런 내막을 모른 채 로다삼지를 과신하면 계산이 어려워진다.대응 특수함수 적분식이 없는 함수는 울며 겨자먹기로 (대학교 미적분학 과정에서) 테일러 전개 혹은 중적분의 극좌표 변환( 가우스 적분)을 활용하여 적분하거나, ( 공업수학에서) 라플라스 변환/ 푸리에 변환[6]으로 돌아서 가는 방법을 사용해야 한다.
3.1. 삼각함수
- [math(\displaystyle \int \sin x^2\, \mathrm{d}x = S(x) + \mathsf{const.})] - 프레넬 사인 적분 함수를 사용해야 한다.[7]
- [math(\displaystyle \int \cos x^2\, \mathrm{d}x = C(x) + \mathsf{const.})] - 프레넬 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.[8]
- [math(\displaystyle \int \sin(x^{-1}) \, \mathrm{d}x = -\mathrm{Ci}(x^{-1}) + x \sin(x^{-1}) + \mathsf{const.})] - 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \cos(x^{-1}) \, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x^{-1}) + x \cos(x^{-1}) + \mathsf{const.})] - 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \sin |x| \, \mathrm{d}x = (1- \cos x) \ \mathrm{sgn}(x)+1 + \mathsf{const.})] - 부호 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \tan |x| \, \mathrm{d}x = - \ln \circ \cos (x) \ \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.})] - 부호 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \csc |x| \, \mathrm{d}x = \ln \circ \tan \left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.})] - 부호 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \cot |x| \, \mathrm{d}x = \ln \circ \sin(x) \ \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.})] - 부호 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \left|\sin x \right| \mathrm{d}x = - \mathrm{sgn} \circ \sin(x) \cos x+ \mathsf{const.})] - 부호 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \left|\cos x \right| \mathrm{d}x = \mathrm{sgn} \circ \cos(x) \sin x+ \mathsf{const.})] - 부호 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \left| \tan x \right| \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn} \circ \tan(x) \ln \left| \cos x \right| + \mathsf{const.})] - 부호 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \left| \sec x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\sec x\right) \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.})] - 부호 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \left| \csc x \right| \, \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.})] - 부호 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \left| \cot x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\cot x\right) \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.})] - 부호 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int x \tan x \, \mathrm{d}x = \frac{i}{2}(\mathrm{Li}_2(-e^{2ix})+x(x+2i \ln(1+e^{2ix})))+ \mathsf{const.})] - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int x \csc x \, \mathrm{d}x = -2 i \mathrm{Li}_2(e^{i x}) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2(e^{2 i x}) - 2 x \tanh^{-1} e^{i x} + \mathsf{const.})] - 폴리로그함수와 역쌍곡선 탄젠트를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int x \sec x \, \mathrm{d}x = -i (\mathrm{Li}_2(i e^{i x}) - \mathrm{Li}_2(\sin x -i \cos x) + 2 x \tan^{-1}e^{i x}) + \mathsf{const.})] - 폴리로그함수와 역탄젠트를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int x \cot x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}(-i \mathrm{Li}_2(-e^{2ix})-ix^2+2x \ln(1-e^{2ix}))+ \mathsf{const.})] - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \frac{\sin x}{x} \, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x) + \mathsf{const.})] - 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \frac{\cos x}{x} \, \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) + \mathsf{const.})] - 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \frac{\tan x}{x} \, \mathrm{d}x)] - 대응하는 적분식 자체가 없다.
- [math(\displaystyle \int \frac{\csc x}{x} \, \mathrm{d}x)] - 대응하는 적분식 자체가 없다.
- [math(\displaystyle \int \frac{\sec x}{x} \, \mathrm{d}x)] - 대응하는 적분식 자체가 없다.
- [math(\displaystyle \int \frac{\cot x}{x} \, \mathrm{d}x)] - 대응하는 적분식 자체가 없다.
물론 위에 적분식이 없다고 언급된 네 함수는 직접 대응시키는 적분식은 없지만, 테일러 급수 전개를 통해서 무한급수의 형태로 만드는 것은 가능하다.
3.2. 지수함수
- [math(\displaystyle \int e^{-x^2} \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \mathrm{erf}(x) + \mathsf{const.})] - 오차함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \frac{e^x}{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Ei}(x) + \mathsf{const.})] - 지수 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int e^{\frac{1}{x}} \mathrm{d}x = xe^{\frac{1}{x}} + \mathrm{Ei}\left(\frac{1}{x}\right) + \mathsf{const.})] - 지수 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int x^{x} \mathrm{d}x)] - 대응하는 적분식 자체가 없다.
3.2.1. 쌍곡선 함수
- [math(\displaystyle \int x\tanh{x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(-e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(e^{-2x}+1)} + \mathsf{const.})] - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int x\,\mathrm{coth}\,{x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(-e^{-2x}+1)} + \mathsf{const.})] - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int x\,\mathrm{sech}\,{x}\,\mathrm{d}x = i\,\mathrm{Li}_2(ie^{-x}) - i\,\mathrm{Li}_2(-ie^{-x}) + 2x\,\mathrm{arccot}{(e^x)} + \mathsf{const.})] - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int x\,\mathrm{csch}\,{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Li}_2(\sinh{x}-\cosh{x}) - \mathrm{Li}_2(e^{-x}) - 2x\,\mathrm{arcoth}{(e^x)} + \mathsf{const.})] - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \frac{\sinh{x}}{x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{Shi}(x) + \mathsf{const.})] - 쌍곡 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \frac{\cosh{x}}{x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{Chi}(x) + \mathsf{const.})] - 쌍곡 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \sinh{e^x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Shi}(e^x) + \mathsf{const.})] - 쌍곡 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \cosh{e^x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Chi}(e^x) + \mathsf{const.})] - 쌍곡 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \sinh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x = x \sinh(x^{-1}) - \mathrm{Chi}(x^{-1}) + \mathsf{const.})] - 쌍곡 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \cosh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x = x \cosh(x^{-1}) - \mathrm{Shi}(x^{-1}) + \mathsf{const.})] - 쌍곡 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \sinh x^2\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{4}(\mathrm{erfi}(x) - \mathrm{erf}(x)) + \mathsf{const.})] - 오차함수, 복소오차함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \cosh x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{4}(\mathrm{erfi}(x) + \mathrm{erf}(x)) + \mathsf{const.})] - 오차함수, 복소오차함수를 사용해야 한다.
3.3. 삼각함수 + 지수함수 합성
- [math(\displaystyle \int \sin e^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(e^x) + \mathsf{const.})] - 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int \cos e^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(e^x) + \mathsf{const.})] - 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int e^{\sin x} \mathrm{d}x)] - 대응하는 적분식 자체가 없다.
- [math(\displaystyle \int e^{\cos x} \mathrm{d}x)] - 대응하는 적분식 자체가 없다.
- [math(\displaystyle \int e^x \tan x \, \mathrm{d}x = ie^x {}_2 F_1 (-\frac{i}{2}, 1; 1 -\frac{i}{2}; -e^{2ix}) - \frac{2+i}{5} e^{(1+2i)x} {}_2 F_1(1, 1 -\frac{i}{2}; 2 -\frac{i}{2}; -e^{2ix}) + \mathsf{const.})] - (가우스) 초기하함수[9]를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int e^x \csc x \, \mathrm{d}x = -(1 + i) e^{(1 + i) x} {}_2F_1(\frac{1-i}{2}, 1; \frac{3 - i}{2}; e^{2 i x}) + \mathsf{const.})] - 초기하함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int e^x \sec x \, \mathrm{d}x = (1 - i) e^{(1 + i) x} {}_2F_1(\frac{1-i}{2}, 1; \frac{3 - i}{2}; -e^{2 i x}) + \mathsf{const.})] - 초기하함수를 사용해야 한다.
- [math(\displaystyle \int e^x \cot x \, \mathrm{d}x = -ie^x {}_2 F_1 (-\frac{i}{2}, 1; 1 -\frac{i}{2}; e^{2ix}) - \frac{2+i}{5} e^{(1+2i)x} {}_2 F_1(1, 1 -\frac{i}{2}; 2 -\frac{i}{2}; e^{2ix}) + \mathsf{const.})] - 초기하함수를 사용해야 한다.
물론 위에 적분식이 없다고 언급된 두 함수는 직접 대응시키는 적분식은 없지만, 테일러 급수 전개를 통해서 무한급수의 형태로 만드는 것은 가능하다.
4. 특수함수의 경우
수준이 올라가면 쌍곡선 적분 함수나 람베르트 W 함수, 브링 근호 등 특수함수를 적분하거나 특수함수와의 곱으로 이루어진 함수를 적분하는 일도 나오는데, 초등함수의 적분 또는 미분방정식의 해로 정의된 특수함수의 경우 로그함수/역삼각함수보다 더 미분우선이 된다. 즉 특수함수(Special functions)까지 고려하면 SLIATE 또는 SILATE가 된다.단, 아래 둘은 예외적으로 적분우선이다. 함부로 미분했다간 계산을 망치기 딱 좋기 때문이다.[10]
- 부호 함수 [math(\mathrm{sgn}(x))]
- 헤비사이드 계단 함수 [math(u(x))]
[1]
특히 로그함수가 역수 꼴로 들어오면
매우 난해해진다. ([math(\displaystyle \int \frac{1}{\ln x} {\rm d}x = \mathrm{li}(x) + \mathsf{const.})])
[2]
쌍곡선 함수는 지수함수의 일종이다.
[3]
[math(\cosh x = \dfrac{1}{2} (e^x+e^{-x}), \sinh x = \dfrac{1}{2} (e^x-e^{-x}))]
[4]
다만, 대수적 함수와 다항함수는 완전히 같지 않다. 왜냐하면 다항함수 외에도
분수함수나
무리함수도 모두 대수적 함수이기 때문이다. 다만 적분 연산에서는 xr(r은 실수)꼴로 표현되는 모든 함수인 대수적 함수를 다항함수와 동치라고 퉁치기도 한다. r=-1일 경우
패턴이 달라지긴 하지만.
[5]
오히려 특수함수를 알고 있으면 그대로 LIATE 법칙을 써도 무방하다.
[6]
파르스발 정리(Parseval's theorem)를 이용하여 [math(\dfrac {\sin^4x}{x^4})] 등을 적분하라는 문제가 나올 수 있다.
[7]
[math(\displaystyle S(x)= \int_{0}^{x} \sin {\pi t^2 \over 2} \, \mathrm{d}t)]라 정의한 경우 [math(\displaystyle \sqrt{\pi \over 2} \, S \left(\sqrt{\pi \over 2}x \right) + \mathsf{const.})]가 된다.
[8]
마찬가지로 [math(\displaystyle C(x)=\int_{0}^{x} \cos {\pi t^2 \over 2}\, \mathrm{d}t)]라 정의한 경우 [math(\displaystyle \sqrt{\pi \over 2} \, C \left(\sqrt{\pi \over 2}x \right) + \mathsf{const.})]가 된다.
[9]
[math( {}_2 F_1 (a, b; c; z))]는 일반화된 초기하함수로 확장되기 전의 형태로 자주 쓰이는 초기하함수인데,
오일러도 이에 대해 연구했지만
가우스가 최초로 체계적으로 연구했기 때문에 앞에 가우스라는 인명을 붙이기도 한다. 정칙 특이점이 3개인 모든 2계 선형 상미분방정식은 이 함수가 해로 도출되는 초기하 미분방정식으로 변환할 수 있다. 아래에 적힌 나머지도 모두 가우스 초기하함수 형태이다.
[10]
참고로 저 둘의 적분은 쉽다(각각 [math(|x|+ \mathsf{const.}, \dfrac{x+|x|}{2}+ \mathsf{const.})]).