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1. 개요
[math(\Re(s)=\dfrac12 \Leftrightarrow \forall s\in {\mathbb C} \backslash 2{\mathbb Z}^- \ {\sf s.t.}\ \zeta(s)=0)]
리만 제타 함수 [math(\zeta\left(s\right) = 0)]을 만족하는 모든 자명하지 않은 근의 실수부는 [math(\displaystyle \frac{1}{2})]이다.
리만 가설(리만
假
說, Riemann hypothesis)은
베른하르트 리만이 설립한,
소수의 규칙성에 관한
가설이다.리만 제타 함수 [math(\zeta\left(s\right) = 0)]을 만족하는 모든 자명하지 않은 근의 실수부는 [math(\displaystyle \frac{1}{2})]이다.
2. 설명
카를 프리드리히 가우스는 소수의 규칙성에 대해 연구를 하던 중 소수의 분포를 대략적으로 알아내는 함수인 [math(\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\pi(x)\log x}x = 1)]을 찾게 된다.[1] 그리고 훗날의 수학자 베른하르트 리만은 오일러의 함수를 변형해 입체적인 그래프를 만드는데, 놀랍게도 이 그래프에서 리만이 계산한 4개의 비자명 근이 복소평면 위에서 모두 일직선상에 위치했다. 그래서 그가 '다른 근 역시 모두 일직선상에 있는 것 아닌가'라고 추측한 것이 리만 가설의 대략적인 이야기다.리만이 가설을 내놓은 이후, 많은 유명 수학자들이 이것의 증명에 도전했지만 모두 실패했다. 단지 그 과정에서 얻어진 성과는 리만의 근 뒤로 일직선상에 무수하게 많은 근들이 있다는 것. 하지만 일직선을 벗어난 곳에 근이 있을 가능성을 배제할 수 없기 때문에 증명이라고 할 수 없었다.[2] 쉽게 말해 "일직선상에서 벗어난 곳에 근이 있을 수 있나요?"라는 질문에 대해 그렇다고도, 또는 아니라고도 확답할 수가 없다는 것이다. 천재 수학자인 존 내시가 이것을 연구한 이후에 조현병이 발병했기 때문에 한동안 수학계에서 이것에 대해 연구하는 것을 꺼리는 분위기가 생겼었다는 루머가 있었으나, 영화발 유언비어다. 실제로 학계에서는 꾸준히 관련 연구와 논문이 발표되고 있다.
오히려 리만 가설이 자연을 이루는 미지의 법칙들과 연결되어 있다는 점들이 밝혀지는 중이다. 역사적으로는 수학자 오일러가 소수와 원주율의 관계를 발견한 사례가 있었고, 현대에는 리만 가설과 양자역학이 서로 완벽히 일치하는 부분이 있다는 사실[3]이 밝혀졌다. 이 발견은 상당히 우연한 계기로 이루어졌다. 리만 가설 쪽을 연구하던 수학자와 친분이 있던 물리학자가 개인적 만남의 자리에서 수학자가 자신이 연구하고 있는 분야라며 식을 보여주었는데 물리학자 역시 자신의 분야인 입자물리학에서 알고 있는 식과 형태가 완전히 동일해서 놀랐다고 한다. 즉, 소수의 비밀과 관련 있는 연구를 수학자들이 하고 있는데 이것이 알고보니 우주의 근본을 이루는 입자물리학에서 통용되는 식과 같다는 것이 밝혀진 셈으로, 소수의 비밀이 곧 우주를 이루는 근간과 관련이 있는 것이 아닌가 하는 추측이 가능해져 물리학자들도 연구에 참여하고 있다.
힐베르트의 23가지 문제와 밀레니엄 문제 모두에 포함되는 문제로, 콜라츠 추측과 더불어 정수론 최고난도 문제다. 원래는 리만 가설 대신 페르마의 마지막 정리가 난공불락의 명성을 가졌지만 1993년 6월 23일 이후로 증명됨으로써 교체됐다.
3. 유형별 설명
3.1. 수포자를 위한 설명
간단히 말하자면 " 소수의 분포에 무언가 규칙성은 있어 보이는데 그게 정말 참인지는 증명이 되지 않고있다." 리만 가설이 증명된다고 해서 현대 수학이나 암호학 체계에 즉각적인 변화가 일어나는 것은 아니지만, 수학계를 오랫동안 괴롭혀 온 난제가 풀리는 셈이 된다. 이러한 이유로 전 세계 수많은 수학자들이 리만 가설의 증명을 위해 인생을 바치고 있다.
3.2. 일반인을 위한 설명
이 설명은 존 더비셔 著의 ' 리만 가설'이라는 수학 교양 서적에 나오는 내용이며 다음 설명은 미네소타 대학의 해석적 정수론학자 데니스 헤이절(Dennis Hejhal)의 아이디어임을 미리 밝혀둔다. 그는 일반인에게 제타 함수나 복소수의 개념 없이 리만 가설에 대해 설명하기 위해 고안해 냈다고 한다. 또한, 그의 설명을 존 더비셔가 좀 더 풀어서 설명한 것이다.- 2부터 출발해 모든 자연수를 나열한다. 그리고 그 아래는 소인수분해를 해둔다.
- 이들 중 거듭 제곱 이상이 포함된 수는 무시한다.
- 소인수의 개수가 짝수 개면 H, 홀수 개면 T라고 표시한다. H와 T는 동전의 앞면, 뒷면이라는 뜻이다.[4]
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
| 2 | 3 | 2² | 5 | 2×3 | 7 | 2³ | 3² | 2×5 | 11 | 2²×3 | ... |
| T | T | T | H | T | H | T | ... |
그럼 위 표로 돌아가보자. 복습하면 T는 소인수의 개수가 홀수 개인 자연수이며 소수는 소인수가 1개이므로 여기에 속한다. H는 소인수의 개수가 짝수 개인 자연수이다. 리만 가설은 H에 속하는 자연수와 T에 속하는 자연수의 개수가 동전던지기와 매우 유사하게 거의 50:50이며 차이가 나더라도 [math(\sqrt{N})]개 이하로 따라간다는 사실을 말해준다. 즉, 소수의 거듭제곱을 약수로 갖지 않는 자연수들 중 소인수가 짝수 개 또는 홀수 개일 확률은 50:50으로 나타난다는 것이다.
즉 임의의 자연수를 골라 소인수분해 했을 때(소수의 거듭제곱인 약수가 포함된 수는 제외하고) 소인수의 개수가 짝수 또는 홀수일 가능성은 동전 던지기처럼 50 대 50 이라는 것이다.
이는 직관적으로 생각해 봤을 때 아주 틀린 주장 같지는 않아 보인다. 그러나 이것을 증명하면 그것은 리만 가설을 증명하는 것과 마찬가지이다.[6]
3.3. 미적분을 배운 고등학생 이상을 위한 설명
본 설명은 3Blue1Brown의 해당 유튜브 영상을 바탕으로 작성됐다. 네이버 블로그의 이 설명도 참고할 것.일단 이 리만 제타 함수가 무엇인지부터 알아보자. 우선 기본형인 제타 함수는 [math(\zeta(s) = \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^s})]로, 고등학교 수학에서 많이 봤던 무한급수의 합이다. 즉 [math(\zeta(s)=\displaystyle\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots)]이라는 말.
이러한 제타 함수에 어떤 값을 넣으면 다른 값이 나온다. [math(\displaystyle \zeta(2) =\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots = \frac{\pi^2}{6})][7]이고, [math(\displaystyle\zeta(4) =\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\cdots = \frac{\pi^4}{90})] 등.
리만은 이 함수를 실수뿐만이 아니라 복소수, 즉 복소평면에 대해서도 확장했다. 즉, [math(\displaystyle\zeta(2+i) =\frac{1}{1^{2+i}}+\frac{1}{2^{2+i}}+\frac{1}{3^{2+i}}+\cdots)]식으로, 고등학교 수학에서는 허수의 지수를 다루지 않기 때문에 직관적으로는 이해가 힘들 수 있지만, 복소수 지수에 대해 분석하면 다음과 같다. [math(\displaystyle\frac{1}{2^{2+i}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\!2} \left(\frac{1}{2}\right)^{\!i})]. 이를 정의역으로 하는 제타 함수를 '리만 제타 함수'라고 한다.
이 수는 복소평면에서 원점에서의 거리가 [math(\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{\!2})]이고, 원점에서의 편각이 [math(\displaystyle\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) \mathrm{rad}(1\,\mathrm{rad} = \frac{180}{\pi}\degree))]이라는 것을 뜻한다. 지수 참고.
그러면 복소수인 리만 제타 함수에 대해서도 생각해 볼 수 있게 됐다. 길이를 나타내는 실수부가 특정 수로 수렴한다면, 방향을 복소평면으로 뒤틀어도 이 값은 특정 복소수로 수렴할 것이다. 리만 제타 함수도 함수이므로, 이 함수에 대한 그래프를 그려 보면 아래와 같다. 단, 정의역이 복소수이고 공역도 복소수이므로, 그래프 위에 그래프를 겹쳐 그리는 식으로 시각화하는 방법이 쓰인다.
노란 가로선과 분홍색 세로선이 리만 제타 함수에 들어가서 변형되면 아래와 같이 변한다.
우리가 앞서 설명했듯이, 정의역에는 길이가(즉, 실수부가) 1 이상인 값만 넣기로 허용했기 때문에 실수부가 [math(\displaystyle\frac{1}{2})]인 곳을 기점으로 오른쪽에만 그래프가 그려진 것을 볼 수 있다. 리만 제타 함수에서 일단 실수 방향으로 1이 이동했기 때문에, 복소지수에 의해 반대방향으로 이동하더라도 실수부는 특정 수 이하로 내려갈 수 없고, 그 값이 [math(\displaystyle\frac{1}{2})]가 된다.
보면 알겠지만 그래프를 칼로 자른 듯이 정확히 갈라져 있는데, 수학자들은 이 리만 제타 함수를 확장해(그러니까, 우리가 앞서 정의했던 [math(\zeta(s) = \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^s})]를 버리고, [math(\zeta(s) = ?)](값이 나오는 무언가)로 정의하는 것) 정의역을 모든 복소수로 변경하고, 실수부 [math(\displaystyle\frac{1}{2})]의 좌측 부분에도 그래프를 정의했다.
사실 어떻게 정의하든 리만 제타 함수 자체로는 상관없긴 한데(실제로 정의되지 않는 부분이니까), 이 함수에 해석적 확장을 적용하면 그래프는 하나로 나온다.[8]
해석적 확장에 대해 생소할텐데, 이를 쉽게 예를 들면 다음과 같다. 등비수열의 무한합 [math(1+r+r^2+\cdots)]은 [math(r)]의 절댓값이 1 미만일 경우에만 수렴하고, 절댓값이 1 이상이면 발산한다. 그러나 해당 식을 다른 대수적 표현인 [math(\displaystyle\frac{1}{1-r})]로 나타낸다면, 해당 함수는 절댓값이 1 미만인 부분에서는 [math(1+r+r^2+\cdots)]와 완전히 동일하고, 1이 아닌 다른 부분에서는 [math(1+r+r^2+\cdots)]을 완전히 포함하면서 새로운 공역이 나오게 된다. 말 그대로 해석적 확장인 것이다. 이것을 리만 제타 함수 [math(\zeta(s))]에도 적용하면 아래와 같은 특정한 그래프가 나오게 된다.
여기서 붉은 부분이 원함수, 파란 부분이 해석적 확장을 적용한 새로운 리만 제타 함수이다. 이렇게 확장한 그래프를 잘 보면 어떤 특정한 값들은 함수값이 0이 되도록 하는 것을 볼 수 있다. 수학자들은 계산을 통해 -2, -4, -6 등의 값이 함수값을 0이 되게 만든다는 것을 알아냈고(이를 자명한 근이라고 부른다.[9]), 나머지는 시각적으로 특정 임계값의 값들만이 함수값을 0으로 만들 수 있게 한다는 것을 밝혀내었다.
리만은 (자명한 근을 제외하면) 이 범위 내에서 오직 실수부가 [math(\displaystyle\frac{1}{2})]인 곳에서만 함수값을 0으로 만드는 점이 존재한다는 가설을 세웠다. 이것이 리만 가설이다.
4. 개론
리만 가설은 소수의 분포도, 즉 보다 정확히 말하자면 주어진 x 보다 크지 않은 소수의 개수 [math(\pi(x))]에 대한 문제와 관련이 있다. 가우스는 관찰을 통해 [math(\pi(x))]가 [math(\displaystyle\frac{x}{\ln x})]에 근사한다는 소수 정리(prime number theorem)를 제시했고, 이 소수의 규칙을 얼마나 정밀하게 나타낼 수 있는지가 사실상의 리만 가설의 내용이다.4.1. 리만의 논문
리만 가설은 리만이 1859년 '주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여(Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe)'라는 논문에서 처음 밝힌 가설이다. 이 논문에서 리만이 한 일은,-
리만 제타 함수 (Riemann zeta function)를 복소수 [math(s)]의 실수부가 [math(1)]보다 클 때 다음처럼 정의했다.
{{{#!wiki style="margin:10px 0;text-align:center"
- 이 제타 함수의 정의역을 [math(s=1)]을 제외한 복소수 범위로 확장했다. 확장한 함수는 [math(s = -2, -4, -6, \ldots)]에서 자명한 근(trivial zeros)을 갖고, 나머지 근들은 실수부가 [math(0)]부터 [math(1 )]사이인 범위에 분포해 있다.[10] 이에 대한 해석적 확장은 아래문단에서 서술한다.
- 이 비자명 근들의 실수부는 모두 [math(1/2)]이라는 가설, 소위 리만 가설을 제시했다. 리만은 '이것에 대한 증명은 별로 안 중요해 보임. 그러니까 증명생략.' 이라고 외치고는 바로 본론에 들어간다.
-
가장 중요한 부분인데,
소수 계량 함수 [math(\pi\left(x\right))]를 나타내는 공식을 제시했다. 그 공식은 제타 함수의 비자명 근들에 대한 합으로 나타난다. 현대적인 언어로 이를 동치인 형태로 나타내면 다음과 같다.[11]
리만-폰 망골트 명시적 공식(Riemann-von Mangoldt explicit formula)
[math(\psi\left(x\right) = x - \displaystyle \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \ln\left(2\pi\right) - \frac{1}{2}\ln\left(1-x^{-2}\right))]
여기서 [math( \rho)]는 제타 함수의 모든 비자명 근들이고, [math( \psi\left(x\right))]는 체비쇼프 함수 [math(\psi\left(x\right)= \displaystyle \sum_{p^k\leq x}\ln\left(p\right))]로, x가 증가함에 따라 대략 [math(x)]혹은 [math(\pi\left(x\right)\ln\left(x\right))]의 크기를 갖는다.
이 모든 내용 + α가 고작 8페이지 안에 담겨 있다.
대부분의 중간과정과 계산과정은 생략되어 있고[12], 제타 함수의 근을 비롯한 많은 내용이 매우 뜬금없이 제시된다. 하지만 이 논문은 당대 수학자들은 물론이요, 현대의 정수론 연구자들에게도 절대 벗어날 수 없는 엄청난 영향을 끼치고 있다. 예를 들어 제타 함수의 복소수 변수는 항상 s로 통일되어 있는데, 이는 해석적 정수론에서는 반드시 리만의 논문의 표기를 따라야 하는 불문율이 있기 때문이다.
4.1.1. 리만 제타 함수의 해석적 확장
리만 제타 함수의 해석적 확장 방법에는 아래 둘 이외에도 부분적분을 이용한 확장 방법 등등 여러 가지가 있지만, 해석적 확장의 특성상 어떤 식으로 확장해도 값은 동일하다. 확장 방법 자체는 이 문서의 논의 자체에는 크게 중요하지 않으므로 접기 표시했다.
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4.1.2. 해석
리만 논문의 핵심은 사실상 다음의 명시적 공식이다.[math(\psi\left(x\right) = x - \displaystyle \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \ln\left(2\pi\right) - \frac{1}{2}\ln\left(1-x^{-2}\right))]
여기서 [math(\psi(x) \sim \pi(x) \log x)]라는 사실을 다시 떠올려 보고, 가우스의 소수정리
[math( \psi\left(x \right) \sim x )]
와 비교한다면, 결국에 위 공식이 말하고자 하는 것은 소수정리의 오차항이 [math(\displaystyle\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho})] 크기라는 것이다. 복소지수의 성질을 생각해 보면 [math(x^{\rho})]의 크기는 [math(\rho)]의 실수부에만 좌우된다. 즉 이들 실수부가 모두 1/2라는 리만 가설의 실질적인 내용은, 바로
소수의 개수 [math(\pi(x))]는 소수정리에서 제시하는 값과[13] 대략 [math(x^{1/2})] 크기만큼의 오차밖에 나지 않는다
로 요약될 수 있는 것이다.리만 제타함수의 근이 소수 계량 함수의 진동을 결정한다
는 사실이, 바로 수학자들이 말하는 리만 제타 함수가 소수의 성질을 결정한다는 내용의 요체라 볼 수 있다.물론 위 내용만 가지고는 수학적으로 100% 정확하다고 보기 힘든데, 당장의 저 합 [math(\displaystyle\sum_\rho\frac{x^\rho}{\rho})] 자체가 어디에 있을지도 모르는 근들에 대한 무한합이고 절대수렴하지도 않는다. 이를 정확하게 만들려면 복소해석학의 여러 가지 지식과 복잡한 계산이 뒷받침돼야 한다. 저 공식을 보고 많은 수학자들이 '리만 제타 함수의 모든 복소수 근의 실수부는 1보다 작다.'라는 사실만 증명해도 소수정리가 증명될 수 있다고 추측했고 이 추측이 증명됐지만, 이것을 이용해 아다마르와 푸생이 소수정리를 1896년에 엄밀히 증명하기까지는 37년의 시간이 더 걸린 이유도 여기에 있다.[14]
4.1.3. 명시적 공식의 대략적 해석
소수 계량함수가 진동을 하니 푸리에 변환을 연상시킬 수도 있겠는데, 실제로 나름의 연관이 있다. 명시적 공식의 우변을 얻어낸 과정을 간단히 말하면 [math(\zeta'(s)/\zeta(s))]에 라플라스 변환의 변종 멜린 변환(Mellin transform)을 통해[15] 얻어낸 것이다. 마치 푸리에 변환을 하면 사인, 코사인이 나타나는 진동 모드의 분포를 얻어낼 수 있듯이, 멜린 변환을 취하면 [math(x^{\rho})]의 '진동'모드들이 나타나는 빈도를 끌어낼 수 있다. 물론 푸리에 변환 자체가 쓰였다는 오해는 피하는 것이 좋다. 비교적 최근의 교양서(Mazur, Stein의 서적 등)에서 이러한 관점이 간단히 소개되기도 한다.한편 좌변은 비교적 친숙한 다음의 제타 함수의 오일러 곱(Euler product)[16]에서 끌어왔다고 생각할 수 있다.
[math( \zeta(s) = \displaystyle\prod_{p} (1-p^{-s})^{-1} )]
여기서 양변에 로그를 취하면
[math( \log\zeta(s) = -\displaystyle\sum_{p} \log(1-p^{-s}) = \displaystyle\sum_p p^{-s} + (\cdots) )][17]
이걸 [math(s)]로 미분하면
[math( \dfrac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \displaystyle\sum_p p^{-s} \log p + (\cdots))]
여기에 멜린 (역)변환을 취하면 [math(\psi)] 함수 [math(\displaystyle\sum_{p^k\le x} \log p)]가 나오게 된다.
4.2. 리만 이후
오일러 곱이 존재하는 '제타 함수'의 근과 '소수'의 계량이 연관이 있다는 리만 논문의 사고방식은 여러 가지 방식으로 일반화되어 해석적 정수론에서 일파만파 퍼져나갔다. 당장에 디리클레 정리에 적용되어 등차수열을 이루는 소수들에 대해서도 소수정리 비슷한 내용이 성립함이 1936년 지겔-왈피츠 정리(Siegel-Walfisz theorem)로 증명됐다. 리만 가설은 정수론 연구자들의 입장에선 단순히 가설 하나가 아니라 정수론의 패러다임 중 하나를 정립한 도그마로서 의미가 있다.현대의 수학자들은 그 이후로도 소수의 규칙에 대한 수많은 부수적 성과들을 계속 찾아내고 있지만, 리만 가설에 대한 실질적인 진전은 거의 나오지 않고 있다. '어떤 [math(\epsilon)]에 대해 모든 비자명근의 실수부가 [math(1-\epsilon)]보다 작다'라는 명제도 증명이 되지 않고 있을 정도. 수학자들은 리만 가설을 증명하기 위해서는 듣도 보도 못한 새로운 기법이 필요하다는 것에 동의하고 있다.
하지만 이 리만 가설을 뒷받침하는 수없이 많은 수치적 증거나 휴리스틱(heuristic) 등으로, 대부분의 수학자들이 리만 가설을 참이라 믿는 것도 사실이다. 수학자들은 리만 가설 자체와 더불어 제타 함수의 근들의 허수부가 '임의로' 분포한다는 가설도 믿고 있다. 이를 소수정리와 연관시켜 이야기하자면, 리만 가설은 소수정리의 오차항 [math(\psi\left(x\right) - x)]이 대략 [math(x^{1/2})]의 크기라는 것과 동치인데, 사람들은 이에 더불어 이 오차항이 랜덤하게 진동한다고까지 생각하는 것이다. 상당수의 수학자들이 이를 참이라 믿는 단적인 예로는 정수론의 상당히 많은 연구들이 '리만 가설이 참이라면~'로 시작한다는 점이 있고, 덕분에 리만 가설이 증명되건 반증되건 (반증 쪽이 압도적으로 크겠지만) 수학자들에게는 상당한 파장을 불러일으킬 것이다.
5. 관련 명제
5.1. 제타 함수 자체의 특성
리만 가설에 따르면 제타 함수의 도함수는 임계띠(보다 정확히 실수가 0보다 크고 1/2보다 작은 지점) 내에서 근을 가질 수 없다. 즉 [math(\zeta'(s)=0)]을 만족해야 한다. 이는 리만가설과 필요충분조건이다.임의의 실수 [math(\epsilon>0)]에 대해 다음이 성립한다.
[math(-\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-x)^n}{(n-1)\zeta(2n)}=O(x^{1/4+\epsilon}))]
이 또한 필요충분조건이다.
5.2. 로빈 부등식
[math(\sigma(n)<e^{\gamma}n \ln(\ln(n)))]
여기서 [math(\sigma(n))]은 1차 약수 함수[18], [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다. 해당 부등식을 위배하는 n은 유한하며, 정확히는 최대 5040 이하의 수만 해당 부등식을 만족시키지 않는 것으로 알려져 있다. 만약 5041 이상의 수 중 해당 부등식을 위배하는 수가 없다면 리만 가설이 참이 되며, 이런 n이 무한하다면 리만 가설은 거짓이 된다.
5.3. 메르텐스 정리
모든 [math(\epsilon>0)]에 대해[math(M(x)=O(x^{1/2+\epsilon}))]
이면 리만 가설이 참이 되며, 그 역도 성립한다.
이보다 강력한 정리[19] 메르텐스 추측 [math(M(x)≤\sqrt{x})]이 있었으나 1985년에 반증되었다. [math(M(x)>\sqrt{x})]를 만족시키는 x의 하한값은 현재 [math(10^{10^{39}})]이지만 정확한 값은 알려져 있지 않다. 다만 1경 이전에는 위배점이 나타나지 않는다.
5.4. 드 브루인 뉴먼 상수
이변수함수 H를 다음과 같이 정의한다. 이때 [math(\lambda)]는 실수 매개변수이고, z는 복소수 범위의 변수이다.[math(H(\lambda, z)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }{e^{\lambda u^2}\Phi(u)cos(zu)du})]
이때 [math(\Phi)]는
[math(\Phi(u)= \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}{(2\pi^2n^4e^{9u}-3\pi n^2e^{5u})e^{-\pi n^2e^{4u}} })]
로 정의된다.
이때 H가 실근을 가지기 위해서는 [math(\lambda)]가 특정 상수를 기준으로 이보다 커야 하는데, 이 임계상수를 드-브루인 뉴먼 상수라 부른다.
드-브루인 뉴먼 상수가 0보다 작거나 같으면 리만 가설은 참이 되고, 0보다 크다면 거짓이 되는데, 뉴먼은 이 값이 0보다 크거나 같다고 추측했고, 하한값은 2011년 기준 -1.1*10-12까지 갱신되었다가 2018년 테렌스 타오와 Brad Rodgers가 음수가 될 수 없음을 보이면서 뉴먼의 추측을 증명했다. 상한값은 2020년 0.2까지 떨어졌다. 결론적으로 만약 리만 가설이 참이라면 드 브루인-뉴먼 상수는 0이 되며, 역 또한 성립한다.
5.5. 크라메르 추측
크라메르 추측은 소수 사이의 간격에 관련된 추측으로 여러 가지 방식으로 기술될 수 있다. 크라메르 추측에 따르면 다음이 성립해야 한다.[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}=\frac{p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_n)^2}=1)]
이 추측은 크라메르 모형에서 유래된 것으로 n이 소수일 확률이 통계적으로 [math(\displaystyle \frac{1}{\ln n})]임에서 유래한 것이다. 현재는 [math(2e^{-\gamma}\approx 1.12)]로 개선되었으며, 크라메르 모형에 따르면 크라메르 추측이 성립할 확률은 1로 수렴한다.
리만 가설이 참임을 가정했을 때 크라메르는 소수의 분포에서 다음이 성립함을 보였다.
[math(\pi(p)-\ln p=O(\sqrt{p}\ln p))]
5.6. 린델뢰프 가설
제타 함수를 [math(\zeta(\sigma+it))]로 쓰기로 하자. 이때 [math(\sigma)]에 대하여 [math(\zeta(\sigma+it)=O(t^\mu))]를 만족시키는 [math(\mu)]의 최소값을 [math(\mu(\sigma))]라고 하자. 이때 [math(\sigma>1)]이라면 [math(\mu(\sigma)=0)]이고, [math(\sigma<0)]이라면 [math(\mu(\sigma)=-\sigma+\frac{1}{2})]를 만족한다. 다만 [math(0<\sigma<1)]일 때는 알려져 있지 않으며, 특히 [math(\sigma=\frac{1}{2})]일 때, [math(\mu(\sigma)=0)]이라고 추측된다. 보다 정확히는 어떤 [math(\epsilon>0)]에 대해서 [math(\zeta(\frac{1}{2}+it)=O(t^\epsilon))]이 성립하는 것으로 추측되는데, 이를 린델뢰프 가설이라고 부른다. 리만 가설이 증명되면 린될레프 가설 또한 참으로 증명된다. 역은 성립하지 않는다.6. 증명 이후
만약 내가 1000년 간의 잠을 잔 뒤에 깨어난다면 나의 첫 번째 질문은 "인류가 리만 가설을 증명했습니까?"일 것이다.
Wenn ich nach tausend Jahren Schlaf aufwachen würde, wäre meine erste Frage: Hat man die Riemannsche Vermutung bewiesen?"
다비트 힐베르트
증명에 성공하든 반례를 발견하든 리만 가설이 참/거짓임을 완전히 증명해내는 데 성공한다면 상금 100만 달러를 얻고, 수많은 수학자와 과학자들의 존경과 찬사를 한 몸에 받을 것이며,
필즈상을 비롯한[20] 수학계의 권위 있는 상들을 다수 수상하는 큰 영예를 누리게 될 것이고, 인류 문명이 멸망할 때까지
대수학과
정수론을 다룬 모든 책에는 그의 이름이 대문짝만 하게 실리게 될 것이다. 또한, 모든 정수론 책에 증명한 논문은 참고 문헌에 이름과 같이 올라간다. 즉, 리만 가설 해결에 대한 상금으로 주어지는 100만 달러는 휴지 조각이나 다름없다고 해도 과언이 아닐 만큼 엄청난 영예와 명성을 얻게 될 것이다.Wenn ich nach tausend Jahren Schlaf aufwachen würde, wäre meine erste Frage: Hat man die Riemannsche Vermutung bewiesen?"
다비트 힐베르트
또한 리만 가설은 양자역학을 비롯한 물리 법칙과도 매우 밀접한 관련이 있는 만큼 수학계뿐만 아니라 과학계에서도 권위있는 상들 다수, 대표적으로 노벨물리학상까지도 수상하게 될 가능성이 대단히 높다. 즉 인류 역사상 최초로 필즈상과 노벨물리학상을 단 한 가지 업적으로 수상하는 것도 가능하다. 단순히 본인이 상을 수상하는 것에서 그치지 않고, 그의 이름을 딴 수학계의 새로운 상이 만들어질 가능성도 있다.
다만 보통 어려운 문제가 아닌 만큼 수학자들은 외계인을 만난다면 그들에게 이것이 증명 가능한지 물어볼 것이라고 한다. 그만큼 풀 수 있을지조차 의문이라, 세상에서 100만 달러를 버는 가장 어려운 방법이라는 농담도 있다.[21]
6.1. 암호 체계와의 연관성
현대 암호 체계의 안전성은 대체로 큰 자연수를 소인수 분해하는 것이 어렵다는 사실과 밀접한 관련이 있다. 리만 가설이 소수에 대한 정보를 많이 담고 있는 건 사실이지만, 일각에서 말하는 것처럼 리만 가설을 풀면 현대의 암호가 모두 무용지물이 된다는 괴담은 사실이 아니다. 단적으로 리만 가설을 가정한 상태에서도 아직까지 1025 이하, 자리수가 25자리 이하인 소수의 개수조차 알지 못한다. 하지만 현대의 암호에 보통 사용하는 소수는 100자리를 넘는다. 물론 리만 가설을 증명, 혹은 반증하는 방법론이 무엇이냐에 따라 다를 가능성은 있지만, 적어도 리만 가설 자체는 큰 수를 소인수 분해하는 방법을 제공하지 못한다는 것이 정설이다.
정경훈, 네이버캐스트 수학산책 <리만가설> #
소수와
암호 체계와의 연관을 통해
RSA 등등의 암호 체계의 안정성이 깨지느니 마느니에 대한 이야기가 있는데
#, 결론부터 말하자면 리만 가설이 증명되거나 반증된다고 해서 RSA의 안정성이 깨지는 것은 아니다. 적어도 현재까지 예상되는 리만 가설의 해결 방향성으로는. 이는 리만 가설이 흔히 '소수의 규칙을 찾는 문제'로 소개되는 까닭으로, 리만 가설이 특정한 규칙을 제공해줄 것이라는 오해에서 오는 것이다. 하지만 리만 가설의 핵심 내용과 더불어 현대 수학자들이 '참이라고' 믿고 있는 명제는 바로 '소수의 규칙은 없다'라는 것이다. 위에 있는 가설의 지문도 “[math(\zeta(s)=0)]이면 [math(\Re(s)=\dfrac12)]”이라고만 했지 [math(\Im(s))]에 대해서는 일언반구도 없다. 즉 리만 가설을 만족하는 수를 뽑아 허수부를 취하면 규칙이 있다고 단언할 수 없다는 것이다.정경훈, 네이버캐스트 수학산책 <리만가설> #
RSA를 무너뜨릴 수 있는 소인수분해 문제의 경우 1998년 제시된 Schnorr-Seysen-Lenstra의 알고리즘이 일반화된 리만 가설(GRH)하에서 [math(O\left(\exp\left(\left(1+o\left(1\right)\right) \left(\log n\right)^{1/2}\left(\log \log n\right)^{1/2} \right)\right))]의 시간 복잡도를 보여주기는 하지만 다항 시간 해법에는 여전히 택도 없다. 리만 가설 없이도 지수 복잡도 아래([math(o\left(n^{\epsilon}\right))])는 이미 도달 가능했고, 적어도 현재까지는 리만 가설을 포함한 어떤 정수론의 가설(GRH, Lindelof, BSD, ...)도 모두 소인수분해의 문제의 해법에 전혀 다가가지도 못하고 있다.
오히려 암호와 리만 가설과의 관계는 서로 공생 관계라고 볼 수 있다. 만약 리만 가설이 참이라고 증명된다면 암호 체계를 무너뜨리는 것이 아니라 암호 체계를 견고히 하는 것에 가깝다. 반증된다고 해도 어떤 형태의 반증이냐에 따라 다르겠지만 암호 체계를 통째로 무너뜨리지는 않을 확률이 높다. 이러한 이유는 애초에 암호 체계 자체가 리만 가설이 참임을 가정하고 이를 토대로 구축되어 있기 때문이다.
물리학과 수학에서 어떤 명제가 참임을 가정하고 전개하는 또 다른 명제가 있는 경우는 많다. 실제로 리만 가설이 해결되면 수 많은 정리가 같이 증명된다는 것은 이를 두고 얘기하는 것이며 암호 분야에도 여럿 포함되어 있다. 예를 들어 소수판별 알고리즘 중 하나인 밀러-라빈 소수판별법을 보면 원래 밀러의 알고리즘은 일반화 리만 가설[22]에 기반한 결정론적 알고리즘이라고 서술되어 있다. 실제로 문서 하단에 보면 "일반화 리만 가설이 맞다고 했을 때, ~~하면 이 수는 실제로 소수이다." 라고 쓰고 있다. 이 말인 즉슨, 그냥 리만 가설이 맞다고 생각하고 저대로 계산해서 나온 수가 소수라고 생각하자고 가정하고 있다는 뜻이다.[23][24]
실제 RSA 등의 소수를 이용하는 암호 체계에는 위와 같은 소수판별법으로 나온 '큰 수의 소수'가 진짜 소수인지 아닌지 1부터 계산하는 과정을 거치지 않고 저 판별법을 거친 후 가져다 암호문으로 만드는데 쓴다. 즉, 판별법이 리만 가설이 참이라고 가정하고 있기에 그 판별법을 기반으로 한 암호체계도 리만 가설이 참이라고 믿고 쓰고있는 것이다.
즉 리만 가설 자체는 증명만 되지 않았을 뿐이지 많은 분야에서 참이라고 믿고 이미 활용되고 있는 내용이다. 가설 자체가 모든 소수의 규칙성을 찾아내는 내용이 아니므로 리만 가설을 참이라고 증명한다고 해서 갑자기 모든 소수에 적용되는 어떠한 계산법이 튀어나오지는 않는다. 기존에 존재하는 리만 가설을 기반으로 소수판별법들이 완벽히 참임을 증명할 뿐이다.
만약 일반화 리만 가설을 기반으로 제시된 소수가 실제로는 소수가 아니어서 보안이 뚫리거나 알고리즘 계산이 제대로 안 된다면 일반화 리만 가설이 틀렸다는 것을 입증하는 셈이니 밀레니엄 문제 중 하나인 '리만 가설'이 거짓임이 증명되는 엄청난 사건이 되며, 컴퓨터과학과 수학에도 엄청난 대사건이 될 것은 틀림없다. 하지만 현재까지 '일반화 리만 가설이 맞다면'으로 전개된 모든 이론들에 대해서는 한 건의 반례도 나오지 않았다.
7. 도전
워낙 어렵다 보니 수학자들 사이에선 '리만 가설을 풀면 영생을 얻게 된다'라는 농담까지 있다. 이는 수학자로서의 명성이 영원히 남는다는 의미를 내포하고 있다. 또한 리만 가설이 풀리지 않는 이유는 '문제 자체는 풀린 적이 있으나, 해답을 알게 된 순간 미쳐버리거나 갑자기 죽어버리기 때문에 알려지지 않는 것'이라는 소문도 있다. 통칭 리만의 저주. 이 문제에 대한 수학자들의 애증을 잘 보여준다.[25]20세기 영국의 유명한 수학자 G. H. 하디[26]가 배를 타고 영국으로 돌아갈 때 안전한 항해를 위해 '리만 가설을 증명했음'이란 전보를 보험삼아 남겼다는 일화가 있다. "자신이 죽는다면 가설을 증명했는데 안타깝게 죽었다고 사람들이 믿을 것이고 가설을 증명했다는 위대한 업적을 갖게 되겠지만, 신은 철저한 무신론자인 자신에게 그런 영광을 허락하지 않으려고 죽이지 않을 것이다."라는 논리다. 이때 하디는 "내가 죽으면 불쌍한 수학자들은 페르마의 대정리 외에 또 하나의 괴물에게 시달려야 하지 않느냐"라며 페르마를 깠다.
하디가 소수에 관심을 가질 수 있던 이유 중 하나는 어린 시절 교회를 다니던 중 교회 찬송가 번호들을 소인수분해 하는 과정에서 소수에 흥미를 키울 수 있었기 때문이다. 실제로 하디는 1/2을 실수부로 갖는 해가 무한하단 걸 증명한 바가 있다. 참고로 모든 해가 아니다. 이 증명은 비록 무한한 해의 실수부가 1/2 이라도, 나머지 유한하거나 무한히 많은 해의 실수부가 1/2 가 아닐 수 있다는 가능성을 남기고 있다. 간단히 비유하자면, 무한한 자연수 중 짝수가 무한하다고 증명했다는 것이 모든 자연수가 짝수란 소리는 아니다.
현대의 많은 유명 수학자들도 젊었을 때 다른 분야에서 업적을 내고 중년에 리만 가설에 뛰어들어서 늙어서도 포기하지 않고 리만 가설을 연구하고 있다. 게임 이론의 "내시 균형"으로 박사 학위를 받은 존 내시 교수가 리만 가설에 도전했다가 조현병을 앓게 된 것은 유명한 루머이다. 그런 존 내시의 일대기를 영화한 것이 뷰티풀 마인드이다. 필즈상 수상자인 셀베르그, 코언, 봄비에리, 들리뉴, 콘도 리만 가설을 연구했고 아래 나올 아티야도 연구하고 있었다! 폴 코언은 연속체 가설로 필즈상을 받고 평생 리만 가설에만 매달렸다고 한다. 그 외 라마누잔 역시 여기에 도전했다가 복통에 시달렸다고 한다.
흥미로운 사실이지만 국내에도 비전공 도전자들이 꽤 있었다. 2015년 4월에 디시인사이드에 한 유저가 자신이 멘사 회원이고 대한수학회에 자신이 증명했다고 논문 투고를 해서 수학 커뮤니티에서 뜨거운 관심을 받았다. 물론 당연히도 제대로 된 증명이 아니었다.
2019년 12월 31일, 전북대학교 명예 교수인 김양곤 교수가 리만 가설 증명에 성공했다고 주장했다. 그리고 논문 평가 기관들(AMS, Zentralblatt)로부터 부정적이 아닌 평가를 받았다. 하지만 아직까지는 공식적으로 공표가 되지 않은 상태에 있다.
리만 가설을 연구하는 유명한 국내 연구자 중 한 명은 국내서 몇 안되는 해석적 정수론 전공자인 연세대학교 수학과의 기하서 교수. [27]국내서 이 분야의 대표 주자로, 본래 캘리포니아 공과대학교에서 수리논리를 전공했으나 전공을 바꾸고 20년 넘게 리만 가설만 연구 중이다.
2024년 11월 17일, xAI의 Grok-3가 리만 가설을 증명했다는 개발자의 포스트가 올라왔다. 증명이 올바른지는 현재 확인 중이다.
7.1. 마이클 아티야 미세 구조 상수 증명법
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Title: The Riemann Hypothesis
제목: 리만 가설
Abstract: The Riemann Hypothesis is a famous unsolved problem dating from 1859. I will present a simple proof using a radically new approach. It is based on work of von Neumann (1936), Hirzebruch[28] (1954) and Dirac (1928).
요약: 리만 가설은 1859년에 제기됐을 때부터 풀리지 않은 가설로 유명하다. 나는 새로운 접근 방법을 이용해 이 가설에 대한 간단한 증명법을 발표하고자 한다. 나의 증명법은 존 폰 노이만이 1936년에 발표한 작용소 이론, 히르체부르흐가 1954년에 발표한 히르체부르흐-리만-로흐 정리, 그리고 디랙이 1928년에 발표한 디랙 방정식에 기반을 두고 있다.
제목: 리만 가설
Abstract: The Riemann Hypothesis is a famous unsolved problem dating from 1859. I will present a simple proof using a radically new approach. It is based on work of von Neumann (1936), Hirzebruch[28] (1954) and Dirac (1928).
요약: 리만 가설은 1859년에 제기됐을 때부터 풀리지 않은 가설로 유명하다. 나는 새로운 접근 방법을 이용해 이 가설에 대한 간단한 증명법을 발표하고자 한다. 나의 증명법은 존 폰 노이만이 1936년에 발표한 작용소 이론, 히르체부르흐가 1954년에 발표한 히르체부르흐-리만-로흐 정리, 그리고 디랙이 1928년에 발표한 디랙 방정식에 기반을 두고 있다.
“Nobody believes any proof of the Riemann hypothesis, let alone a proof by someone who’s 90”
"리만 가설에 대한 어떤 증명도 사람들은 믿지 않습니다. 90세 노인의 증명은 말할 것도 없고요."
“People say ‘we know mathematicians do all their best work before they’re 40’” “I’m trying to show them that they’re wrong. That I can do something when I’m 90.”
"사람들은 수학자들이 40세 이전에서야 최고의 결과를 할 수 있을 거라고 말합니다. 저는 그렇지 않다는 걸 보여주려고 합니다. 90살에도 할 수 있다는 걸 말이죠."
마이클 아티야 본인 Famed mathematician claims proof of 160-year-old Riemann hypothesis
2018년 9월 21일 수학자
마이클 아티야(Michael Atiyah)[29]가 리만 가설의 증명법(Proof)을 발견했으며, 9월 24일(09:45~)에 이를 발표하겠다는 예고가 공개됐다."리만 가설에 대한 어떤 증명도 사람들은 믿지 않습니다. 90세 노인의 증명은 말할 것도 없고요."
“People say ‘we know mathematicians do all their best work before they’re 40’” “I’m trying to show them that they’re wrong. That I can do something when I’m 90.”
"사람들은 수학자들이 40세 이전에서야 최고의 결과를 할 수 있을 거라고 말합니다. 저는 그렇지 않다는 걸 보여주려고 합니다. 90살에도 할 수 있다는 걸 말이죠."
마이클 아티야 본인 Famed mathematician claims proof of 160-year-old Riemann hypothesis
이는 꽤나 대중적으로 이슈가 됐는데, 물론 생방송 예고 발표라는 형식이 자극적인 것도 있지만, 아티야는 기하학에서 누구 부러울 것이 없는 대가이며 이미 필즈상, 아벨상까지 수상한 전설적인 수학자 중 하나였기 때문이다. 실상 그가 전에 발표한 Atiyah-Singer 지표 정리나 위상 K-이론 등의 연구들은 리만 가설 못지 않은[30] 최중요 연구들이기도 하며 수리물리 쪽에서도 업적이 만만치 않은 인물이다.
기대하는 측에서는, 이전에 수많은 낚시 증명 발표 예고의 경우에는 자신의 이론적 근거가 되는 다른 이론을 제시하지 않았지만, 이번 마이클 아티야의 발표 예고에는 분명히 출처 이론을 제시하고 있다는 점이 매우 큰 차이점이라고 보았다. 특히 이 증명이 사실로 판명될 경우 위에 기반으로 언급한 정리들은 현대 수학의 메인스트림에 속하는 분야인 점이 매우 고무적이라는 것이다. 이전에는 많은 현대 수학자들의 증명 시도에도 별 진전이 없었기 때문에 이 가설의 증명에는 완전히 새로운 형태의 수학이 필요할 것이라는 추측이 많았는데, 위의 정리들을 기반으로 증명했다면 널리 잘 알려진 분야라 이의 응용이나 연구도 활발할 것이고 현대 수학의 발전에 큰 도움이 될 것이라는 기대가 많았다.
그러나 회의론이 오히려 더 거셌다. 대중들의 열띤 관심과는 달리, 정작 학계에서는 아티야가 정신적인 문제가 있을 수 있다는 소문이 있고, 최근 공식 석상 등에서 약간 횡설수설하는 듯한 모습을 보였다는 이야기가 나오는 등 상태가 좋지 않다는 것이 중론이었기 때문에 거의 기대하지 않았다. 몇 년 전에는 6차원 구면에서의 복소구조 연구를 발표하면서 영 이상한 것을 내놓은 것 때문에 신뢰도가 상당히 떨어져 있었다고 한다. 또한 출처 이론이라고 뜬금없이 나온 것들이 상당히 오래된 연구들이어서, 리만 가설에 대한 그간의 연구들을 무시할 정도로 대단한가에 대해 의문부호가 뜨게 하고 있으며, 또한 그가 최근 발표한 연구들이 학계에서 받아들여지지 않은 경우가 많아 의구심을 사고 있기도 했다. 또 커리어만으로 기대하기는 어려운 것이, 리만 가설을 증명했다고 했다가 물먹은 사람들 중에는 아마추어 얼치기 수학자들만 있는 것이 아니라 필즈상 수상자들도 있었다. 이런 연유로, 학계에서는 기대심을 버리지는 못하고 있지만 대부분 부정적으로 예상했다는 것이다.
물론 미세 구조 상수만이라도 제대로 순수히 수학적으로 구한 것이 맞다면 리만 가설의 증명은 따위로 만들고, 노벨물리학상을 받고도 한참 남을 엄청난 업적이 되는 것이다. 측정값인 물리상수, 그것도 양자역학에 아주 기본적인 물리상수들이 전부 포함된(전기 전하, 광속, 플랑크 상수) 이 상수[31]를 순수한 수학으로 구했다는 것이기 때문이다. 그도 그럴게, 측정값과 해석적으로 구한 수의 차이는 하늘과 땅 차이다. 아티야는 수리물리에서도 상당한 성과를 거두었기 때문에 영 가망이 없는 기대는 아니었다. 하지만 안타깝게도 공개된 문건에 따라 프로그래밍해 계산한 결과, 미세구조상수의 역수값은 0.1602598029967017 이라는 결과가 나왔다. 이는 측정을 통해 알려진 미세구조상수의 역수값인 137.035999074… 와는 확연한 차이를 보이고 있다. 레딧
HLF측에서는 해당 발표가 엄청난 파급력이 있는 만큼 인터넷 방송으로 유튜브나 페이스북 등을 통해 생중계하는 것을 검토하기로 했다. 홈페이지 유튜브 페이스북 트위터 플리커 등 HLF의 공식 온라인 채널을 주시해야 할 듯.
2018년 9월 21일 New Scientist지에 마이클 아티야 본인의 언급이 실렸다. 그러나 마이클 아티야 본인이 최근 몇년간 학계에 내놓은 제안이 받아들여지지 않았다는 사실도 곁들여놨다. 기사
미국 시간으로 9월 23일 해당 논문의 프리프린트로 추정되는 문건이 올라왔다. 하지만 레딧이나 수학 갤러리에서 첫페이지부터 오류가 보인다고 이게 진짜냐? 하면서 안 믿고 있다.[32] 레딧, 수학 갤러리 위 문서는 Héctor Martín Peña Pollastri라는 사람의 소유로 등록된 문서이다. 레딧에 이 문건을 기반으로 미세구조상수를 프로그래밍한 결과가 올라왔다.
7.1.1. 생방송, 의혹, 그리고 아티야의 사망
2018년 9월 24일 HLF 트위터를 통해 스트리밍 주소가 공개됐다. 홈페이지는 접속 폭주로 다운됐다. 해당 스트리밍 주소도 접속 폭주로 다운되고 새 링크를 제공하고 있다.영상에서의 아티야는, 수학의 역사를 갑자기 늘어놓는 등 발표 45분간 증명의 논지와 관계없이 쓸데없는[33] 이야기로 일관하는 모습이었다. 끝난 이후 브레이크 타임에 참가자의 질문을 받자 아티야는 여전히 본인이 가설을 증명한 게 맞다고 주장했다. 기사
레딧에서는 아티야의 '공개적 망신(public humiliation)'이나 아티야처럼 업적이 뛰어난 전설적인 수학자에게 이런 불미스러운 일이 일어난 것은 포럼을 기획한 organizer의 잘못이라는 말까지 나오는 등 부정적인 주장이 강세다. 레딧 한국 웹에서는 HLF 역시 책임이 있고 무슨 생각이었는지 알 수 없다는 성난 목소리도 있었다. 일단 논문과는 별개로 방송 내용만 보면 확실하게 망했다. 원래 정말 본인이 증명한 내용이라면 앞에 역사 얘기를 전혀 할 이유가 없다. 열심히 본인의 증명을 컴퓨터와 화이트보드에 수식을 써가면서 설명해도 45분이라는 시간은 엄청 부족할 테니까. 참고로 앤드루 와일스가 페르마의 마지막 정리를 처음 발표할 때는 동료 수학자에게 증명 전체를 이해시키기 위해 1 대 1 강의를 몇 주 동안 해야만 했고 다른 수학자들 앞에서 한 발표회는 3일에 걸쳐 진행됐는데, 시작부터 끝날 시간까지 수식만 엄청나게 썼다. 그마저도 당장 오류를 발견하지 못하고, 나중에 오류가 발견돼서 그것을 고친 완성본을 논문으로 따로 냈다.
발표 직후 그와 관련된 수학자들의 경우 대부분 논평을 거부했다. 굳이 논평을 해보지 않아도 아티야의 증명이 엉터리라는 것은 자명한 사실이었기에, 공개적으로 수학계의 거물인 아티야에게 망신을 주고 싶지 않았기 때문이다. 으레 예의상 하는 '증명은 되지 않더라도 유용한 연구로 발전하는 계기가 되길 바란다'라는 식의 멘트 정도가 있었다. 보통 어떤 증명, 특히 밀레니엄 문제에 올라갈 정도로 난이도 있는 증명에 대한 검증이 완전히 이루어지기 위해서는 짧게는 일주일, 길게는 몇 개월까지 걸릴 수도 있지만 이번 건의 경우 애초에 프리프린트부터가 아카이브에서 거절당했다고도 하고, 진지하게 받아들이는 연구자가 거의 전무했다.
마이클 아티야를 존경하던 전공자들은 그의 위대한 업적 대신 말년에 망신당한 수학자로 기억될까봐 안타까워하기도 했다. 상식적으로 생각해봐도 아티야 정도 되는 수학자[34]가 저런 발표가 어떤 자리인지, 어떠한 이야기를 해야 하는지 모를 리 없다. 증명 생방송을 보면 아티야가 두서없는 말을 하고 횡설수설거리는 등 정신이상이나 치매가 의심될 지경이었으며, 때문에 일각에서는 "리만 가설이 또 하나의 위대한 수학자를 골로 보냈구나."라는 말까지 나왔다.
그리고 마이클 아티야는 2019년 1월 11일, 89세의 나이로 사망했다. 수학적인 증명이라고 볼 수 없는 증명을 내놓고 나서 얼마 지나지 않아 사망한 것을 봐서는 건강 이상에 따른 해프닝이 맞는 것으로 보인다.
2022년 출간된 김민형 교수의 책 <수학의 기쁨 혹은 가능성>에서 김민형 교수와 말년의 아티야가 교류하던 이야기가 부고와 같은 형식으로 실려있다. 말년의 리만 가설 소동에 대해 김민형 교수가 직접적으로 언급한 바는 없으나, 아티야는 말년에 수학과 물리학을 통합할 수 있는 통일 이론이 존재할 것만 같은 영감에 늘 흥분한 상태였으나 그 열정이 지나치며 수학적 오류를 제법 범해 젊은 수학자들에게 많은 비난을 받았고, 수학적 영감만을 중시하느라 구체적 논리의 오류는 중요치 않다는 외골수적 태도를 보였다고 회고했다.
8. 리만의 비화
상술했다시피 위 리만의 논문은 겨우 10페이지에 현대 정수론의 정수를 담아내었다. 대부분의 중간 과정과 계산 과정이 생략된 이 논문은 당연히 매우 어려웠지만, 그 파장은 엄청났다. 또한 이와 더불어 리만은 실제로 제타함수의 첫 4개의 근을 정말 뜬금없이 제시했다.(논문에서 진짜로 갑자기 툭 하고 튀어나온다) 그래서 이 논문이 나온 후, 주위 수학자들은 리만을 엄청나게 직관적인[35] 수학자라고 취급했고, 그를 칭찬하기 시작했다.[36]|
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리만의
계산 노가다 과정이 고스란히 적힌
깜지. 참고로 리만 가설이 아니라 미분기하학 관련 내용이다. |
사실 리만이 계산 과정을 모두 생략해버린 건 스승인 가우스의 영향이 크다. 어떠한 의미있는 결론에 도달하면 그에 필요했던 사소한 과정은 생략하도록 가르침을 받았다. 가우스는 심지어 복소평면을 이용한 복소수의 표현과 계산법을 만들어냈음에도, 복소평면이라는 개념을 대중에 내놓지 않았다. 당시 득세하던 프랑스 수학계에는 <수학은 수식과 방정식으로만 표시돼야 한다>라는 생각이 있었고, 가우스도 이를 의식한 것으로 여겨진다. 그리고 수백 년 동안 수학자들이 그림에는 사람을 오도하는 힘이 있다고 믿어왔던 탓도 있다.
흥미로운 사실은, 이 리만의 10쪽짜리 논문의 한 구절에서 대부분의 영점들이 특이선 위에 있다는 사실을 스스로 증명할 수 있으리라 믿었다고 썼다는 점이다. 하지만 완벽주의 때문인지 아직 출판할 정도에는 이르지 못했다는 글귀만 남겼다. 논문의 해당 부분은 아래와 같다.
Certainly one would wish for a stricter proof here; I have meanwhile temporarily put aside the search for this after some fleeting futile attempts, as it appears unnecessary for the next objective of my investigation. 독자들은 보다 엄밀한 증명을 원할 것이다. 나는 몇 가지 증명을 시도했으나 당장은 해결하지 못했다. 지금 논의를 진행하는 데 필수적이진 않으므로 일단 넘어가겠다.
9. 대중매체
여러 유명한 수학 난제들 중 가장 유명한 문제라서 각종 천재 수학자를 묘사하며 리만 가설에 도전하고 있다, 리만 가설을 풀어냈다, 풀다가 미쳤다는 등의 다양한 클리셰가 있다. 1980년대까지는 페르마의 마지막 정리가 그 이상의 악랄한 난제로 유명세를 타며 인기도 높은 소재였지만 앤드루 와일스가 대업을 이뤄낸 후로는 리만 가설이 그 포지션을 물려받았다.- < Q.E.D. 증명종료>의 주인공 토마 소의 전공이 이 리만 가설과 관련된 것이며 작중 여기에 한 번 홀려서 모든 걸 팽개칠 뻔했으나 미즈하라 가나 덕분에 다시 일상으로 돌아올 수 있었다.
- 히가시노 게이고의 용의자 X의 헌신에서는 유카와 마나부가 자신의 동창인 이시가미를 만나러 올 때 리만 가설을 부정하는 논문을 가져와 대학 때 '달마'라는 별명을 가졌던 이시가미를 시험해본다. 이시가미는 논문을 받고 거의 5~6시간 만에 그 논문의 오류를 찾아냈고, 유카와는 이를 보고 '달마는 건재하다'며 만족하고 돌아간다. 유카와가 들은 바로는 상당히 잘나가는 수학자도 그 논문의 오류를 찾아내려면 고생 꽤나 할 거라고 한다. 또한 같은 작가의 작품인 위험한 비너스에서는 후천성 서번트 증후군을 앓다가 돌아가신 아버지가 그리신 그림이 리만 가설을 풀 수 있는 열쇠로 나온다.
- 영국 작가 매트 헤이그의 SF 소설 <휴먼 - 어느 외계인의 기록>에서 작중 저명한 수학자 앤드루 마틴이 리만 가설을 증명하게 된다. 그러나 지구를 관찰하던 우주적 존재 '호스트'는 인간이 도달해서는 안 되는 지식의 영역에 도달했다고 판단하여 앤드루 교수를 납치하고는, 외계인 중 하나를 앤드루 교수의 모습으로 바꿔치기하여 지구로 보낸다. 이 외계인의 임무는 교수가 리만 가설을 증명했다는 사실을 알고 있는 지구인들을 죽이는 것. 이는 소설의 도입부에 해당한다.
- 키랏토 프리☆챤 28화 후반 앙주의 VIP 파티에서 과학자 3명이서 언급을 한다. 대신 피만의 가설로 바꿨으며 시도 메루가 복소해석학, 공업수학에 나오는 유수 이론으로 풀어버린다. 만화니까 가능한 일이지 실제로 유수 이론을 접한다 해도 풀리지 않는다. 현재의 가설에서 근을 구하는 과정 자체가 유수이론을 이미 적용한 상태이기 때문.
- 인간의 온도에선 도운이 이걸 풀어낸다.
- 이상한 나라의 수학자에서는 은둔 탈북 수학자 이학성이 남몰래 리만 가설을 증명해낸 것으로 설정됐다. CIA 같은 흔한 정보기관도 아니고 NSA가 직접 등판하여 이학성의 신변을 확보하려 들 정도인데, 위에서 언급했듯이 전산학 및 암호학 전문가들이 그렇게까지 미쳐 날뛸 정도의 데우스 엑스 마키나급 사건은 아니므로 극적 과장으로 봐야 할 것이다.
- 블루 아카이브의 스노하라 코코나는 본인도 어린이면서 어린 아이들이 다니는 매화원의 교관이라는 설정인데, 매화원 원생들이 앞다투어 어려운 질문을 던지며 코코나를 곤란하게 하는 가운데 그 중 한 명이 "정말 리만 제타 함수의 근이 소수 계량 함수의 진동을 결정할까?"라는 도저히 유치원생 수준이 아닌 질문을 던진다.
10. 여담
- 페르마의 마지막 정리, 골드바흐 추측와 함께 인지도가 가장 높은 수학 문제로 여겨진다.
- 밀레니엄 문제 중 가장 이른 시기부터 주목을 받아 왔던 문제이다. 정확히 1900년에 독일의 다비트 힐베르트가 제정한 23개의 힐베르트의 문제들에도 포함되어 있었다.[40][41] 그리고 100년 뒤로 이월된 유일한 문제다.
- 리만 가설을 해결하면 시뮬레이션으로 이루어진 세상을 이해할 수 있거나 우주가 어떻게 설계됐는지를 알 수 있다는 음모론이 퍼져 있기도 하다. 닉 보스트롬의 주장인데, 그는 우리 세상이 시뮬레이션된 모의실험 가상현실이라고 했는데 그렇다면 그 기본 법칙의 바탕은 수학일 가능성이 매우 크며 역으로 발상을 뒤집는다면 소수의 존재는 이 시뮬레이션 세상 속 무한 루프나 우주 속에 똑같은 가상 우주를 만드는 재귀적 행위를 막기 위한 일종의 알고리즘적 안전 장치라는 것.
-
대한민국의 이공계열 대학생들 사이에서 펭귄문제를 변형해 이 패러디를 만들었다. 워낙 펭귄 프사를 하는 학생들이 많다보니 이에 반발하여 만들어 진 것으로 보인다. 해당 문제는 아직까지 증명되지 않은 난제기 때문에 강제적으로 '너 3년간 펭귄 프사해라.'라는 것과 마찬가지이다.사실 맞게 풀었다고 해도 감히 검증할 능력이 안 된다
[1]
이후 [math(\displaystyle \int_0^x \frac{{\rm d}t}{\ln t} \approx \pi(x))]로 정의가 갈음됐다.
[2]
현재까지 증명된 내용은 다음과 같다. [math(S = \{s\mid \zeta\left(s\right) = 0\})]라는 복소수의 집합(=리만 가설의 비자명근)을 생각할 때, 임의의 양의 실수 [math(\delta > 0)]에 대해 [math(\displaystyle S_{\delta} = \{z\mid \left\vert \Re(z) - \frac{1}{2}\right\vert < \delta\})]인 띠 모양의 구역을 가정하면 [math(\left\vert S_{\delta} \cap S \right\vert = \aleph_{0})]라는 수준까지는 증명이 되어 있다. 문제는 이 부분 때문에 지금까지 리만 가설을 증명할 수 없다는 점이었다. 리만의 근 뒤로 일직선 상에 무수히 근이 있다는 것은 증명됐지만, 일직선 상에 근이 있다는 것과 일직선상에만 근이 있다는 것은 전혀 다른 문제이다. 즉, 일직선상 근 이외의 다른 반례가 없다는 것을 증명해야 한다. 일단 비자명근이 가산집합이라는 것 까지는 증명이 끝난 상태이나 한 무한집합의 부분집합으로 무한집합을 취했다고 하더라도, 이 무한집합의 여집합이 공집합이라는 보장은 절대 없기 때문.
[3]
높은 원자량을 지닌 원자에서 전자들의 오비탈 준위의 반발성과 제타 함수의 근의 반발성이 동질적이라는 사실이
밝혀졌다. 즉, 어떤 두 입자의 에너지 차이를 서술하는 식과 제타함수에서 두 근 사이의 거리를 서술하는 식이 동일하다는 것이다.
[4]
공간 부족으로 아래 표에는 나와있지 않으나 30의 경우 2 × 3 ×5 3개의 소인수로로 소인수분해 되므로 T가 된다. 예시로 든 30은 소인수분해 시, 소인수의 개수가 3 이상의 홀수 개인 수 중 가장 작은 수이다.
[5]
단 주의하여야 할 게,
이는 "동전을 1000회 던졌을 때 가장 높은 확률로 앞면이 정확히 500회 나온다."는 것을 부정하는 의미가 아니다. 이는 앞 뒷면이 같은 횟수로 나오는 경우의 수는 단 하나(500회 : 500회)지만, 앞면(또는 뒷면)이 근소하게 많이 나오는 경우의 수는 정의에 따라 굉장히 많아질 수 있다는 걸 의미한다. "근소하게 많이"를 "동전을 1000회 던져서 앞면이 501회~600회(50.1~60.0%) 나오는 경우"로 정의할 경우 경우의 수 개수는 100개로 정확히 500회가 나올 경우의 수보다 100배 더 많아진다. 근소하다의 의미를 강조하여 "앞면이 501회~510회(50.1~51.0%) 나오는 것"으로 좀더 범위를 좁혀 정의하여도 경우의 수 개수는 10배나 된다.
[6]
위 이야기는 수학적으로 리만 가설과 동치인 [math(M(k)=O(k^{{1 \over 2} + \epsilon}))]을 풀어서 설명한 것이다. M(k)는 메르텐스 함수이며 [math(M(k)=\displaystyle \sum^{k}_{n=1}\mu(n) )]으로 정의된다. [math(\mu(k))]는
뫼비우스 함수로 자세한 내용은
위키백과 문서를 참고하기 바란다.
[7]
레온하르트 오일러가 증명한
바젤 문제이다.
[8]
복소해석학에서 정칙함수의
해석적 확장은 유일하다.
[9]
왜 자명한 근이라고 부르는 지는
문서 참고.
[10]
식을 보면 아무리 봐도 '[math(s<1)]인 곳에서는 정의되지 않을 것 같은데...' 하는 의문이 든다면 다음의 예를 참고해 보자. 등비수열의 무한합 [math(1+r+r^2+\cdots)]은 [math( r)]의 절대값이 1보다 작을 때에만 의미가 있는 식이다. 하지만 공식을 사용해 이를 [math(\frac{1}{1-r})]로 나타내면, 이는 1을 제외한 복소수 범위에서 항상 정의되는 식이다. 이런 과정을 일반적으로는 해석적 확장(analytic continuation)이라고 한다. 리만이 제시한 제타 함수의 해석적 확장은 그의 천재적인 직관을 통해 비교적 간단한 방식으로 나타나게 된다.
[11]
리만의 논문에는 이보다는 [math(\pi(x))] 자체에 대한 좀 더 복잡한 공식 위주로 소개됐고, 이는 나무위키에선
소수 정리에서 확인 가능하다. 이를 하단의 공식으로 정리해 증명한 것이 폰 망골트이다.
[12]
원문을 보면 정말로 첫 식 다음에 바로 계산 결과가 적혀 있다.
[13]
정확히는 [math(\mathrm{li}(x))]
[14]
나중에 수학자
에르되시 팔 등에 의해서 복소해석을 사용하지 않는 초등적(elementary) 증명법이 발견됐다. 하지만 이 '초등적' 증명은 제타 함수를 사용하는 증명보다 훨씬 어렵다! 당연한 게, 비유를 들자면 제타 함수나 복소 해석을 사용한 증명법을
포크레인이라 한다면 초등적 증명은
티스푼으로 볼 수 있기 때문이다.
[15]
정확히는 멜린 역변환을 통해
[16]
오일러의 황금열쇠(Euler's golden key)라 빈번히 칭해지기도 하지만 표준적 용어는 아니다.
[17]
여기서 (...) 안의 항은 최대 상수 크기로, 공식에 큰 영향을 주지 못한다.
[18]
n의 모든 약수를 합한 값이다
[19]
리만 가설보다도 강하다
[20]
필즈상은 원래 40세 이하의 젊은 수학자만 수상이 가능하지만,
페르마의 마지막 정리 증명이라는 큰 업적을 통해 43세의 나이로 특별상을 수상한
앤드루 와일스의 사례와 같이 리만 가설을 증명한 사람은 나이가 몇 살이든지 특별상을 수상하게 될 것이다.
[21]
물론 증명 불가능한 문제일 가능성도 있다. 하지만 그렇다면 리만 가설이 왜 증명 불가능한 문제인지를 증명해야 된다. 즉, 리만 가설로 100만 달러를 버는 방법은, 참임을 증명하거나, 거짓임을 증명하거나, 증명 불가능한 문제임을 증명하는 3가지 방법이 있는데 셋 다 엄청나게 어렵다. 놀랍게도 "어떤 명제는 증명 불가능하다."라는 명제 또한 증명할 수 있다.
선택공리 참고.
[22]
Generalized Riemann hypothesis. 리만 제타 함수뿐만 아니라 모든 디리클레 L-함수에 대해 근의 실수부가 1/2라는 가설이다.
[23]
결정론적 알고리즘들은 보통 비슷한 분류의 확률적 알고리즘이 존재한다면 그에 비해 느린 경우가 많다. 더 이론적으로 유용한 성질을 얻는 대신 속도가 희생되는 것이다. 그리고 사실 복잡도는 실용적인 부분에서의 유용성을 판단하기에 그다지 좋지 않은데, 예를 들면 소수 판별 알고리즘은 리만 가설에 기반하지 않는 완벽한 결정론적(+ 다항 시간) 알고리즘이 2002년에 만들어졌으나(AKS 소수판별법) 실제로 이것을 쓰는 경우는 없다. 이유는 매우 느리기 때문이다. 시간복잡도(특히 빅오표기법)라는 개념은 어디까지나 "입력이 무한히 커진다고 가정할 때" 의 속도를 나타내는 것이다. 즉 O(n^2) 의 알고리즘과 O(n^3) 의 알고리즘이 있는데, n 이 작으면 O(n^3) 가 더 빠를 수도 있다는 것이며, n 이 어느 정도 커져야 O(n^2) 가 더 빨라질 수도 있다. 우리가 실제로 암호화 알고리즘 등에 쓰는 소수의 크기는 기껏해야 4096bit 정도인데, 이 정도의 크기에서는 AKS 소수판별법은 다른 소수판별법보다 느리다.(복잡도로는 더 빠른데도!)
여기에 나와있는 입력-시간 그래프를 보면, AKS 판별법은 유일하게 "직선"(다항 시간) 을 가지는 알고리즘이고 이는 곧 입력이 계속 커지면 결국 가장 빨라질것임을 추측할 수 있다. 그러나 1000자리 숫자까지도 APR-CL 이나 ECPP 처럼 "거의 직선" 에 근접하는 알고리즘들의 속도를 전혀 따라가지 못한다(다만 ECPP나 APR-CL은 대부분의 소수에 대해 다항 시간이고 빠르지만 AKS 와 달리 모든 소수에 대해 다항 시간인지는 증명되지 않았다). 따라서 실용적으로는 쓰지 않는 것이다.
[24]
같은 분류의 알고리즘이라면 보통 나중에 복잡도로 더 빠른 알고리즘이 연구돼서 나오는 경우 작은 수에서는 기존의 알고리즘보다 더 느린 경우가 많다. 소수판별법 외의 좋은 예시로 곱셈 알고리즘이 있는데, 최초로 발견된 효율적인 곱셈 알고리즘인
카라추바 알고리즘의 경우 우리가 보통 손으로 하는 곱셈 알고리즘보다 복잡도로는 더 빠르지만 컴퓨터로 구현할 때 실제 속도가 더 빨라지려면 숫자가 최소 2^320 이상이어야 한다. 또한 그보다 더 빠른
쇤하게-슈트라센 알고리즘의 경우에도 카라추바 알고리즘보다 실제 속도가 더 빨라지려면 n이 더욱 더 커져야 한다. 마찬가지로 다음으로 더 개선된
퓌러 알고리즘의 경우에도 n이 최소 2^2^64 라는 엄청난 숫자가 돼야 더 효율적이다.
[25]
원래는 리만 가설이 아닌 '소수 가설을 풀면 영생을 얻게 된다'라는 소문이었으며, 실제로 소수 가설을 증명한 수학자들은 터무니없이 오래 수학자로서 활동했다.
[26]
하디-바인베르크 법칙의 그 하디.
[27]
역대 수능 수학 중 최강의 킬러문제로 꼽히는 2017학년도 가형 30번을 출제한 사람이기도 하다. 난제를 연구하다보니 학생들에게도 대단한 난제를 선물한 셈이다.
[28]
프리드리히 히르체부르흐.
막스플랑크 수학연구소의 초대 소장이자 아티야와 함께 위상 K이론을 창시했다.
[29]
2018년 기준 89세로, 1966년에
필즈상, 2004년에
아벨상을 수상했으며 1983년 수학에 대한 공헌이 인정되어
기사작위(Knight Bachelor)를 받았다.
[30]
리만 가설이 증명하기 어렵고 뭔가 떡밥이 많아서 대중적으로 유명해서 그렇지, 아티야의 다른 연구들이 수학적으로는 동등하거나 혹은 더 의미가 있는 연구들이다.
[31]
미세구조상수란 온갖 물리상수를 짬뽕해서 무차원으로 만든 숫자이기 때문에, SI단위계, 자연단위계, 미국 단위계 어느 단위계를 사용하더라도 같은 수가 나오게 된다. 또한, 이 미세구조상수를 수학적으로 구하는데 성공했다면, 물리상수 중 하나만 왜 그런 수치가 나오는지를 결정짓기만 해도 다른 물리상수가 줄줄히 유도될 수 있다는 특징도 있다.
[32]
그도 그럴것이 마이클 아티야는 과거 논문의 내용에 오류가 있었던 적은 있었지만 형식에서는 오류가 있었던 적이 없었다. 반면 구글 드라이브에서 아티야 본인이 올린 것도 아닌 아티야의 논문이라고 주장하는 논문은 형식에서도 오류가 있다. 물론 아티야가 오락가락하는 상황이라면...
[33]
일반인 기준으로 너무 어려운 내용이라 뭔 소리인지 알 수가 없다는 것이 아니고, 수학자들 입장에서 증명의 논지나 흐름이 보이지 않고 쓸데없는 소리를 했다는 뜻이다.
[34]
고대 그리스 이래 가장 위대한 수학자를 꼽을 때 아티야는 21세기까지 활동한 학자임에도 감히 역사상 가장 위대한 100인 중에 꼽히는 몇 안되는 인물이다. 동시대에 활동하며 21세기까지 생존한 수학자들 중 아티야보다 확실히 높은 평가를 받는 인물은 알렉산더 그로텐디크와 장 피에르 세르 정도만이 있을 뿐이며, 그나마도 그로텐디크는 42세부터 혁명과 악의 문제에 몰두하느라 아티야만큼 평생에 걸쳐 정력적으로 활동한 학자는 아니었다.
[35]
중간과정 없이 답을 찍어내는 괴수라 생각한 것.
[36]
사실 논문상 중간 과정이 빠져 있는 경우 직관에 치중해 나온 경우는 거의 없다. 생략하거나 소실된 경우가 대다수이다. 쉽게 생각해봐도 합당한 타당성을 제시할 수 없이 막연한 연산 값은 증명을 필연적으로 요구한다. 즉 머리로 시뮬레이션을 돌려 오차범위를 파악하거나 하는 경우는 증명 과정 자체가 복잡난무하지 않은 케이스이다.
[37]
다만 리만 사후, 그의 전기를 기술한 동료 수학자 데데킨트의 증언에 따르면 실제로도 리만은 엄청나게 직관적인 수학자였다고 한다.
[38]
리만의 집을 청소하던 가정부가 그냥 종이인 줄 알고 다 태울 뻔했고, 반 이상의 자료가 날아갔던 것이다.
[39]
몇몇 수학자들이 이 자료를 보고도 무슨 뜻인지 못 알아보다가, 독일의 수학자
지겔에 의해서 의미가 밝혀졌다. 누이들을 키우느라 늘 가난했던 리만은
종이에 여백이 없을 정도로 계산을 해댔다.
[40]
힐베르트는 사실 리만 가설의 중요성을 인식하고 있었지만 실제로 간절히 증명되기 원했던 것은 2번 문제인 수학의 완전성과 관련이 있는 문제였다. 그런데 이건 괴델이
불완전성 정리를 완성하면서 무너지게 된다.
[41]
또 다른 미스테리는 힐베르트는 생전에 풀리리라 예측한 (미해결 문제 중에서는) 난이도 下 정도 문제인데 보기 좋게 거꾸로 됐다. 자세한 내용은
수학 문서 참고.