| 밀레니엄 문제 | |
| 미증명 이론 | 호지 추측 |
| 리만 가설 | |
| 양-밀스 질량 간극 가설 | |
| P-NP 문제 | |
| 버치-스위너턴다이어 추측 | |
| 나비에-스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움 | |
| 증명된 이론 | 푸앵카레 정리 |
1. 개요
Yang - Mills existence and mass gap|
양-밀스 이론의 존재와 질량 간극 임의의 콤팩트하고 단순한 게이지 군(compact simple gauge group) G에 대해서, [math(\mathbb{R}^4)] 속 자명하지 않은 양-밀스 이론이 존재하여, Δ > 0 인 질량 간극을 가짐을 증명하시오. 존재의 증명은 적어도 몇몇 논문에 인용한 것만큼 강한 공리적 체계를 구성하는 것을 포함해야 한다. |
- 4차원 시공간 ([math(\mathbb{R}^4)])에 '양-밀스 이론'이 실제로 존재함을 증명해야 한다.
- 그 이론은 자명하지 않아야 한다.
- 이론 존재의 증명은 수학적 공리체계하에 엄밀하게 설계되어야 한다.
- 그 이론 아래서, 질량 간극은 0보다 커야 한다.
2. 양-밀스 이론
양전닝과 로버트 밀스가 동위적인[1] 국소 범위에서의 게이지 불변성이 타당함을 밝히는 과정에서 도출된 이론으로, 포멀리즘의 단계에서 게이지 불변성이 성립되도록하는 양자장론 모델이다.아래 문단에 기술된 양-밀스 텐서를 보면, 게이지 변환에 따라 포텐셜간 교환자 항이 기술되었는데, 전자기 상호작용같은 장 포텐셜의 상호작용이 교환법칙이 성립되는 가환군을 따를 경우 교환자는 0이되어 무시되지만, 약력 및 강력과 같은 교환법칙이 성립되지 않는 비가환군을 따르는 상호작용일 경우, 포멀리즘을 다루는데 있어서 양-밀스 이론이 매우 중요하게 취급된다. 이런 이유로 표준 모형의 일부로 포함된다.
양자역학에서 언급되는 입자들이 빛의 속도에 가깝게 움직이면, 결국 상대성 이론이 적용되어야 한다. 이것을 상대론적 양자역학이라고 한다. 그것을 아우르는 이론이 ' 양자장론'이다.
참고할 만한 기사
2.1. 양자장론에 따른 설명
슈뢰딩거의 파동함수를 4차원 시공간으로 확장하면 스피너라 불리는 시공간에 관련된, 성분이 4개인 파동함수가 된다. 스피너 [math(ψ(t, \vec x))]의 로런츠 변환은 감마 행렬로 표현되며 스피너로 만들어지는 로런츠 불변한 라그랑지언은 아래 식이 된다.
[math(\mathcal{L}=\bar ψ(iγ^μ∂_μ-m)ψ)]
이 [math(ψ)]가 (시공간과 상관 없는) n차원 자유도를 가진 입자[2]이며, 위상변환 [math(ψ→ψ'=e^{iΛ}ψ)]를 따른다 할 때, 위상 Λ는 저 라그랑지언이 위상(게이지) 변환에서 변하지 않는 n×n 정방행렬 함수이다. 양전닝과 로버트 밀스의 “동위체 스핀과 동위체 게이지 불변성의 보존”[3]에 따르면 동위체 게이지 불변에 따른 입자장의 라그랑지언은 아래와 같이 전개된다.
미분연산자 [math(∂_μ)]에 위 위상변환과 관련된 게이지 변환 [math(A_μ→A_μ'=(e^{iΛ}A_μ + \dfrac {i∂_μe^{iΛ}}g)e^{-iΛ})]을 따르는 n×n 정방행렬 4차원 벡터 입자 [math(A_μ(t,\vec x))]를 더해 만든 새로운 연산자
[math(D_μψ=∂_μψ-igA_μψ)][4]
로 위 라그랑지언 속 미분항을
[math(\mathcal{L}=\bar ψ(iγ^μD_μ-m)ψ)]
로 교체할 수 있고, 이 연산자의 반대칭 성분을 나타내는 식
[math(F_{μν}ψ=\frac {i[D_μD_ν-D_νD_μ]ψ}g)]
을 계산하면서 도출되는 양-밀스장
텐서
[math(F_{μν}=∂_μA_ν-∂_μA_ν+ig[A_μ,A_ν])]
를
아인슈타인 합 규약에 맞춰 제곱한 항을 위 라그랑지언에 추가하면 아래와 같은 라그랑지언을 얻는다.
[math(\mathcal{L}=\bar ψ(iγ^μD_μ-m)ψ-\dfrac {\text{Tr}(F^{μν}F_{μν})}8)]
이 라그랑지언을
경로적분 기법으로 양자화하여 실용적인 물리량들을 계산할 수 있다. 경로적분은
양자역학을 포괄하도록
오일러-라그랑주 방정식을 일반화시킨 기법이다. 문제의 핵심은 물질항이 없는 순수 양-밀스 장
[math(\mathcal{L}=\dfrac {-\text{Tr}(F^{μν}F_{μν})}8)]
이 질량을 가질 것으로 예상된다는 사실이다. 이는 실험결과를 설명하기 위해 널리 통용되는 가정이지만 수학적으로 증명된 적은 없다. 이를 증명하는 것이 밀레니엄 문제의 핵심 요구사항이다.
2.2. 질량 간극
Mass Gap양-밀스 이론의 질량 간극이란 양-밀스 이론에서 예측하는 가장 가벼운 입자가 존재할 때, 그 입자의 질량을 의미한다. 이를 비상대론적 용어로 설명하면 해밀토니안이 가지는 첫 번째 들뜬 상태와 바닥상태의 에너지 차이가 질량 간극이다. 예를 들어 양자 조화 진동자는 [math(\hbar\omega)]의 질량 간극을 보인다고 말할수도 있다. 상대론적인 양자장이론에서 질량 간극은 경로적분을 이용하여 표현된다. 다만 경로적분기법은 수학적으로 엄밀하지 않아서, 계산되는 질량간극이 정확하다는 것을 보장할 수 없다는 커다란 문제점이 존재한다. 문제의 요구사항은 양-밀스 장의 질량 간극이 0 보다 크다는 것을 보이는 것이다. 즉 양-밀스 장의 에너지 스펙트럼이 연속이 아니라, 최소 단위가 존재함을 보이라는 것이다.
2.3. 문제의 특징과 중요성
수학적으로는 함수해석학에 속하는 문제이다. 함수해석학적으로 말하면 양-밀스 장의 해밀토니안 연산자를 대상으로 하여 스펙트럼 정리를 증명하고 스펙트럼이 불연속함을 보이는 문제라고도 할 수 있다.양-밀스 이론을 만든 양전닝, 로버트 밀스 둘 다 '이론물리학자'이며, 이 문제 또한 물리학(양자장론)으로부터 파생한 문제다. 핵심은 양-밀스 이론에 대한 수학적 토대를 만들라는 것이기 때문에, 이 문제는 분명히 수학 문제이다. 동시에 문제의 목적이 물리학의 난점을 해결하는데 있기 때문에 수리물리학 문제기도 하다.
쉽게 말해서 아이작 뉴턴이 자신의 물리학을 설명하기 위해서 미적분이란 걸 만들었는데, 물리학자들이 양-밀스 이론을 잘 정의된 수학적 체계에서 잘 다룰 수 있게끔 수학자들에게 비슷한 행위를 하라는 의미이다. 이것이 페르마의 마지막 정리처럼 자주 회자되는 '난제'와는 근본적으로 다른 점으로, 이를 이해하기 위해서는 이 문서에서 말하는 '이론'이 단순히 교과서 제목명으로서의 이론이 아닌 별개의 용어임을 이해할 필요가 있다. 이 문제는 쉽게 말하면, 프레임워크를 만들 것을 요구하는 문제이다.[5] 수학에 익숙지 못한 비전공자들은 스타 수학자 아무개를 논할 때면 흔히 '난제를 풀어내고 오랜
한편, 수학자들 사이에서는 너무 특정한 분야에 치중된 문제라서 해결된 후 어떤 수학적 응용이 가능할지 감도 잡히지 않는다는 평가도 나온다. 다양한 수학 문제들과 연결되어 있다고 밝혀진 리만 가설과 대조되는 점이다. 에드워드 위튼이 천-사이먼스 이론을 통해 이론물리학에서 혁명적인 성과를 냈지만 정작 그 기초가 되는 천-사이먼스 형식을 도입한 천싱선과 짐 사이먼스는 물포자(...)였던 사례와는 반대로 이론물리학의 발전이 수학을 앞질러간 격이라 함수해석학 박사급의 인재가 양자장론에 대해서도 상당한 지식을 갖고 있어야 한다는 진입장벽이 부담스럽기도 하다. 하지만 물리를 복수전공씩이나 하지는 않은채 논문 읽을만큼만 익힌 순수수학자들에 의해서도 Breakthrough라 할만한 연구는 꾸준히 이뤄지고 있다. 오히려 4차원 미분다양체 연구로 필즈상을 받은 사이먼 도널드슨이나 그 스승인 마이클 아티야 등 함수해석학이라는 분야에 국한되지 않고 다양한 분야의 수학자들이 많이 뛰어들고 있는 핫한 분야이다. 특히 아티야의 경우 자신이 필즈상을 받던 시절까지만 해도 고등학교를 넘는 수준의 물리학적 지식이 없는 상태였지만 자신이 가르친 위튼이 이론물리학을 선도하기 시작한 1970년대를 기점으로 디랙 방정식 및 양자장론에 빠져들며 남은 평생을 순수수학자라기보다는 '기하물리학자'로 불리는게 어울릴법한 수리물리 연구에 빠져들었으나, 그 때문에 통일이론에의 영감에 흥분하여 수학적 오류를 거듭하는 바람에 젊은 수학자들에게 비난받기도 했다.[6]
물리학적으로는 강입자의 성질을 설명하고 테크니컬러 입자나 프리온 입자의 세부적인 성질을 예측하는 데에 응용될 수 있다. 추후에는 중력의 재규격화에 응용될 가능성이 점쳐지기도 한다.
이 문제를 다룬 물리학적인 배경 설명은 게이지 장 문서에 설명되어 있다
3. 관련 업적
3.1. 조용민
2013년 4월 17일에는 건국대 조용민 교수가 양-밀스 질량 간극 가설 문제를 풀었다는 기사가 나왔다.그러나, 수학계에서는 조용민 교수의 논문이 물리학적인 성과는 인정하지만, '밀레니엄 문제를 풀었는가?'라는 질문에 대해서는 한결같이 '아니오'라는 입장을 내고 있다. 이 문제는 해당 분야에 관한 새로운 수학 체계를 쌓아 올릴 것을 요구하기 때문에, 조용민 교수의 연구가 도움이 될 수는 있지만, 수학적으로 엄밀한 해결에 이르기에는 아직 갈 길이 멀다고 보고 있다. 더 정확히 말하면, "수학적으로 엄밀한 해결에 이르는 길"에는 단 한 발짝도 들여놓지 못했다는 입장이다.
관련 게시물
http://www.tenelux.com/bbs/board.php?bo_table=diary&wr_id=70
https://www.facebook.com/sangmin.lee.142687/posts/557853757588115
http://pomp.tistory.com/883
http://slownews.kr/10111
3.2. 카렌 울렌벡
2019년 아벨상 수상자로 카렌 울렌벡이 선정되었다. 게이지 이론에 대한 업적이 인정받아 수상된 것인데, 실제로 양-밀스 이론과 관련이 있는 분야이다.4. 관련 있는 내용
불완전성 정리가 적용된 물리학 문제가 발견되었다. 2015년 12월 네이처에 기고된 논문에 의하면, 특정 물질의 전자들이 가지는 가장 낮은 에너지 값들 사이의 간격을 계산하는 것이 불가능하다는 사실을 밝혔다. 이 발견을 주도한 런던 대학의 양자물리학자 토비 큐빗은 양-밀스 질량-간극 가설 역시 이와 유사한 방법으로 풀 수 있을지 모른다고 말했다. 네이쳐 기사 번역 및 설명5. 참고 문헌
- C. N. Yang and R. L. Mills, Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance, Phys. Rev. 96, 191(1954)
[1]
isotopic, 동위원소의 라는 뜻이다. 양성자와 중성자 사이의 대칭을 보존시키는 게이지 변환을 연구했기에 이러한 수식어가 붙었다. 실제 양-밀스 이론은 더욱 광범위한 대칭에 적용시킬 수 있다.
[2]
이러면 이 입자는 총 성분수가 (시공간 성분수) 4 × (전하량 성분수) n = 총 4n개가 된다.
[3]
C. N. Yang and R. L. Mills, Phys. Rev. 96, 191(1954).
[4]
이 식에다 아까 얘기한 위상변환을 적용해보면 아래 식을 따르는 걸 알 수 있다.
[math(D_μψ→(D_μψ)'=e^{iΛ}D_μψ)]
위 식에서, 상수 g는 커플링 상수로 디랙 장과 게이지 장의 커플링 세기를 나타낸다. [5] 불멸의 업적으로 회자되는 위대한 물리학자 알베르트 아인슈타인 역시 근본적으로는 수학교육, 물리교육 복수전공자로서 수학의 언어로 현실을 잘 설명하기 위한 이론을 도입한 것이다. 특수 상대성 이론 및 일반 상대성 이론이란 이름의 앞에 붙어있는 '특수'와 '일반'의 의미가 수학적으로는 무엇인지 생각해보자. 단지, 현실에 얽매일 필요 없이 오로지 인간의 사고만으로도 무모순이 용납하는 그 어떤 것도 해낼 수 있기에 이론이 기각당할 일은 별로 없는 (실상은 모순이 있으면 아예 이론이라 불리지도 않기 때문에 이론으로 불리기 시작한 후에 뒤늦게 기각당할 일이 드물 뿐인) 수학과 달리, 물리학에선 현실 우주에 잘 들어맞지 않아보이는 이론은 끊임없이 도전당하고 폐기당하고 보완당하기를 반복하는 것이다. [6] 아티야의 경우 그 위대한 업적과는 별개로 비전공자들에게는 리만 가설 미세구조상수 증명법 발표 논란으로만 알려진 학자이나, 말년의 아티야와 가깝게 지내던 기억을 한 챕터에 걸쳐 회고한 김민형 에든버러대학 교수의 저서 <수학의 기쁨 혹은 가능성>에서는 아티야와 리만 가설 이야기에 대한 언급은 별로 없고 1970년대 이래 양자장론에 과몰입하여 통일이론에의 기대에 날뛰며 수학적 엄밀성으로부터 멀어지던 모습이 주로 묘사되어 있다. 이 시선에서 본다면 아티야를 그 지경(?)으로 만든 원흉은 리만 가설이 아니라 물리학이었을지도...
[math(D_μψ→(D_μψ)'=e^{iΛ}D_μψ)]
위 식에서, 상수 g는 커플링 상수로 디랙 장과 게이지 장의 커플링 세기를 나타낸다. [5] 불멸의 업적으로 회자되는 위대한 물리학자 알베르트 아인슈타인 역시 근본적으로는 수학교육, 물리교육 복수전공자로서 수학의 언어로 현실을 잘 설명하기 위한 이론을 도입한 것이다. 특수 상대성 이론 및 일반 상대성 이론이란 이름의 앞에 붙어있는 '특수'와 '일반'의 의미가 수학적으로는 무엇인지 생각해보자. 단지, 현실에 얽매일 필요 없이 오로지 인간의 사고만으로도 무모순이 용납하는 그 어떤 것도 해낼 수 있기에 이론이 기각당할 일은 별로 없는 (실상은 모순이 있으면 아예 이론이라 불리지도 않기 때문에 이론으로 불리기 시작한 후에 뒤늦게 기각당할 일이 드물 뿐인) 수학과 달리, 물리학에선 현실 우주에 잘 들어맞지 않아보이는 이론은 끊임없이 도전당하고 폐기당하고 보완당하기를 반복하는 것이다. [6] 아티야의 경우 그 위대한 업적과는 별개로 비전공자들에게는 리만 가설 미세구조상수 증명법 발표 논란으로만 알려진 학자이나, 말년의 아티야와 가깝게 지내던 기억을 한 챕터에 걸쳐 회고한 김민형 에든버러대학 교수의 저서 <수학의 기쁨 혹은 가능성>에서는 아티야와 리만 가설 이야기에 대한 언급은 별로 없고 1970년대 이래 양자장론에 과몰입하여 통일이론에의 기대에 날뛰며 수학적 엄밀성으로부터 멀어지던 모습이 주로 묘사되어 있다. 이 시선에서 본다면 아티야를 그 지경(?)으로 만든 원흉은 리만 가설이 아니라 물리학이었을지도...