1. 개요
곱측도는 주어진 측도공간들에 대하여 각 측도공간들의 [math(\sigma)]-대수들의 곱인 곱 [math(\sigma)]-대수 위에서 정의되는 측도이다. 푸비니-토넬리 정리는 곱공간에서 정의된 적분을 반복적분으로 계산할 수 있음을 의미한다.2. 정의 및 성질
2.1. 곱 σ-대수
가측공간족 [math(\{(X_\alpha,\ \mathcal{m}_\alpha)\}_{\alpha\in\Gamma})]에 대하여 [math(X=\prod_{\alpha\in\Gamma}X_\alpha)]라고 하자. [math(X)] 위의 곱 [math(\sigma)]-대수는 좌표사상 [math(\pi_\alpha:X\to X_\alpha)]에 대하여 집합[math(\{\pi_\alpha^{-1}(E_\alpha):E_\alpha\in\mathcal{M}_\alpha,\ \alpha\in\Gamma\})]
로 생성된 [math(\sigma)]-대수이다. 곱 [math(\sigma)]-대수는 [math(\bigotimes_{\alpha\in\Gamma}\mathcal{M}_\alpha )]로 나타낸다. 첨수집합 [math(\gamma)]가 가산집합인 경우 위 정의의 생성집합족은 좌표사상을 사용하지 않은 정의로 다음과 같이 대체할 수 있다.
[math(\{\prod_{\alpha\in\Gamma}E_\alpha:E_\alpha\in\mathcal{M}_\alpha,\ \alpha\in\Gamma\})]
각 [math(\alpha\in\Gamma)]에 대하여 [math(\sigma)]-대수 [math(\mathcal{M}_\alpha)]가 집합족 [math(\mathcal{E_\alpha})]로 생성되는 경우, 위 정의의 생성집합족의 원소는 [math(E_\alpha\in\mathcal{E_\alpha})]로 한정할 수 있다.
- [math(\{\pi_\alpha^{-1}(E_\alpha):E_\alpha\in\mathcal{E}_\alpha,\ \alpha\in\Gamma\})]
- [math(\{\prod_{\alpha\in\Gamma}E_\alpha:E_\alpha\in\mathcal{E}_\alpha,\ \alpha\in\Gamma\})], ([math(\Gamma)]가 가산집합인 경우)
보렐 [math(\sigma)]-대수가 주어진 거리 공간의 경우 다음과 같은 관계가 성립한다. 거리 공간 [math(X_k\ (k=1,\ \ldots\ ,\ n))]에 대하여 [math(X=\prod_{k=1}^n X_k)]가 곱 거리 공간이면 [math(\bigotimes_{k=1}^n\mathcal{B}_{X_k}\subseteq\mathcal{B}_X)]이다. 만약 모든 [math(X_k)]가 가분공간이면 [math(\bigotimes_{k=1}^n\mathcal{B}_{X_k}=\mathcal{B}_X)]이다. 따라서 [math(\mathcal{B}_{\mathbb{R}^n}=\bigotimes_{k=1}^n\mathcal{B}_\mathbb{R})]이다.
곱 [math(\sigma)]-대수로의 가측 함수는 곱공간으로의 연속함수와 유사하게 정의된다. 가측 공간 [math((Y_\alpha,\ \mathcal{N}_\alpha)\ (\alpha\in\Gamma))]에 대하여 [math(Y=\prod_{\alpha\in\Gamma}Y_\alpha)]이고 [math(\pi_\alpha:Y\to Y_\alpha)]가 좌표사상이라 하자. [math((X,\ \mathcal{M}))]에 대하여 함수 [math(f:X\to Y)]가 가측일 필요충분조건은 모든 [math(\alpha)]에 대하여 [math(f_\alpha=\pi_\alpha\circ f)]가 [math((\mathcal{M},\ \mathcal{N_\alpha}))]-가측인 것이다.
두 측도 공간 [math((X,\ \mathcal{M}))], [math((Y,\ \mathcal{N}))]와 [math(a\in X,\ b\in Y)]에 대하여 [math(E\subseteq X\times Y)]의 [math(a)]-단면과 [math(b)]-단면을 다음과 같이 정의한다.
[math(E_a=\{y\in Y:(a,\ y)\in E\},\quad E^b=\{x\in X:(x,\ b)\in E\})]
[math(X\times Y)] 위의 함수 [math(f)]에 대한 [math(a)]-단면과 [math(b)]-단면 또한 동일한 방식으로 정의한다.
[math(f_a(y)=f(a,\ y),\quad f^b(x)=f(x,\ b))]
가측 집합과 가측 함수의 절단면은 각각 다시 가측 집합과 가측 함수를 이룬다. 즉 다음이 성립한다.
- 집합 [math(E)]가 [math(\mathcal{M\otimes N})]-가측이면 모든 [math(a\in X)]와 [math(b\in Y)]에 대하여 [math(E_a \in \mathcal{N})], [math(E^b \in \mathcal{M})]이다.
- 함수 [math(f)]가 [math(\mathcal{M\otimes N})]-가측이면 모든 [math(a\in X)]와 [math(b\in Y)]에 대하여 [math(f_a)]와 [math(f^b)]는 각각 [math(\mathcal{N})]-가측 함수와 [math(\mathcal{M})]-가측 함수이다.
2.2. 곱측도
두 측도 공간 [math((X,\ \mathcal{M},\ \mu))]와 [math((Y,\ \mathcal{N},\ \nu))] 위의 곱측도는 대수 위에서 구성된 예비 측도의 확장으로 정의된다. 예비 측도의 구성을 위해 [math(X\times Y)]위의 대수를 정의한다. [math(A\in\mathcal{M},\ B\in\mathcal{N})]에 대하여 [math(A\times B)]를 직사각형이라고 한다. [math((X,\ \mathcal{M})\times (Y,\ \mathcal{N}))]의 직사각형족 [math(\mathcal{A})]는 대수를 이루며, 곱 [math(\sigma)]-대수 [math(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N})]을 생성한다. 서로소 직사각형 [math(A_1\times B_1,\ \ldots\ ,\ A_n\times B_n)]의 합을 [math(E)]라고 할 때,[math(\displaystyle\pi(E)=\sum_{k=1}^n \mu(A_k)\nu(B_k))]
으로 정의된 함수 [math(\pi:\mathcal{A}\to[0,\ \infty])]는 [math(\mathcal{A})] 위의 예비측도이다. 대수 [math(\mathcal{A})] 위의 예비측도 [math(\pi)]는 곱 [math(\sigma)]-대수 [math(\mathcal{M}\otimes\mathcal{N})] 위의 측도 [math(\mu\times\nu)]로 확장되며, 이 측도는 임의의 직사각형 [math(A\times B)]에 대하여 [math(\mu\times\nu(A\times B)=\mu(A)\nu(B))]를 만족시키는 유일한 측도이다.
두 측도 공간 [math((X,\ \mathcal{M},\ \mu),\ (Y,\ \mathcal{N},\ \nu))]가 모두 [math(\sigma)]-유한이면 곱측도 [math(\mu\times\nu)]는 [math(E\in \mathcal{M\otimes N})]에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.
[math(\begin{aligned}\mu\times\nu(E)&=\int_X\int_Y1_E\,d\nu(y)\,d\mu(x)\\
&=\displaystyle\int_X \nu(E_x)\,d\mu(x)\\
&=\int_Y \mu(E^y)\,d\nu(y)\end{aligned})]
&=\displaystyle\int_X \nu(E_x)\,d\mu(x)\\
&=\int_Y \mu(E^y)\,d\nu(y)\end{aligned})]
3. 적용
3.1. 푸비니-토넬리 정리
푸비니-토넬리 정리는 곱공간에서의 적분을 반복 적분으로 계산할 수 있음을 보장한다.|
푸비니-토넬리 정리 (The Fubini-Tonelli Theorem) [math(\sigma)]-유한 측도 공간 [math((X,\ \mathcal{M},\ \mu),\ (Y,\ \mathcal{N},\ \nu))]에 대하여 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}\int f\, d(\mu\times\nu)&=\int\left[\int f(x,\ y)\, d\nu(y)\right]\, d\mu(x)\\ &=\int\left[\int f(x,\ y)\, d\mu(x)\right]\, d\nu(y)\end{aligned})]
[math(\begin{aligned}\int f\, d(\mu\times\nu)&=\int\left[\int f(x,\ y)\, d\nu(y)\right]\, d\mu(x)\\ &=\int\left[\int f(x,\ y)\, d\mu(x)\right]\, d\nu(y)\end{aligned})] |