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1. 개요2. 분석
2.1. 1차원 충돌2.2. 고차원 충돌
2.2.1. 실험실 좌표계에서 분석2.2.2. 질량중심 좌표계에서 분석2.2.3. 반발 계수
3. 기타4. 관련 문서

1. 개요

collision · 衝 突

움직이는 여러 물체가 접촉하여 짧은 시간 내에 강한 상호작용으로 서로 힘을 미치거나, 그런 현상을 말한다.

2. 분석

2.1. 1차원 충돌

파일:namu_일차원충돌_모식도.svg

위 그림과 같이 질량 [math(m_{1})], [math(m_{2})]가 각각 일차원상에서 속도 [math(u_{1})], [math(u_{2})]로 운동하고 있다. 이때, 두 물체의 충돌이 일어난 후 각각의 속도를 [math(v_{1})], [math(v_{2})]라 하자.

두 물체계에 가해진 외력이 없으므로 두 물체계의 운동량은 보존된다.[1]

[math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} \end{aligned} )]

또, 모든 과정에서 에너지는 보존되어야 한다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}+Q\end{aligned} )]

[math(Q)]는 충돌 과정에서 운동 에너지를 잃거나 얻을 수 있어 붙은 양이다. 위 식은

[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{0}=T+Q \quad \to \quad \Delta T=-Q \end{aligned} )]

으로 변형할 수 있는데, [math(Q>0)]이면 에너지를 잃었음을, [math(Q=0)]이면 에너지가 보존되었음을, [math(Q<0)]이면 에너지를 얻었음[2]을 의미하고 특히 [math(Q=0)]인 경우를 탄성 충돌이라 부른다.[3]

더 쉬운 분석을 위해 반발 계수 [math(\varepsilon)]이라는 물리량을 도입한다. 이것은 아래와 같이 충돌 전후 상대 속력의 비로 이루어져 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \varepsilon \equiv \frac{|v_{2}-v_{1}|}{|u_{2}-u_{1}| }\end{aligned} )]

반발 계수는 [math(0 \leq \varepsilon \leq 1)] 사이의 값을 가지며 다음을 의미한다.
<colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\boldsymbol{\varepsilon=0})]
(완전 비탄성 충돌) 		두 물체가 충돌 후에 완전히 융합하여(엉겨붙어) 튕겨져 나가지 않는 경우.
[math(\boldsymbol{0<\varepsilon<1})]
(비탄성 충돌) 		열 방출, 전자기파 복사, 내부 에너지 변화 등이 수반되어 충돌 후 운동 에너지가 보존되지 않는 경우.
[math(\boldsymbol{\varepsilon=1})]
(탄성 충돌) 		운동 에너지가 충돌 후에 변하지 않는 충돌.

반발 계수를 이용하여 [math(Q)]를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} Q=\frac{1}{2}\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(v_{2}-v_{1})^{2}(1-\varepsilon^2) \end{aligned})]

또, 반발 계수를 이용하여 [math(v_{1})], [math(v_{2})]를 구해보면[4]

[math(\displaystyle \begin{aligned} v_{1}&=\frac{(m_{1} - m_{2} \varepsilon )u_{1}+(m_{2} + m_{2} \varepsilon) u_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\ v_{2}&=\frac{(m_{1} + m_{1} \varepsilon )u_{1}+(m_{2} - m_{1} \varepsilon) u_{2}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned})]

와 같은데, 특수한 경우 [math(\varepsilon=0)], [math(\varepsilon=1)]이며 같은 질량일 때, 그 속력을 구해보면
<colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\boldsymbol{\varepsilon=0})] [math(\displaystyle \begin{aligned} v_{1}=v_{2}=\dfrac{m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned})]
[math(\boldsymbol{\varepsilon=1})]
(같은 질량) 		[math(\displaystyle \begin{aligned} v_{1}&=u_{2} \\ v_{2}&=u_{1} \end{aligned})]

2.2. 고차원 충돌

파일:namu_이차원_충돌_모식도_NEW.svg

많은 충돌을 다루는 문제는 2차원 상황으로 국한시킬 수 있다. 2차원 충돌의 경우에는 목표 물체는 정지시키고, 다른 물체를 가속시켜 산란시키는 문제를 많이 사용한다. 이 문서에서도 해당 내용에 대하여 다룰 것이다.

분석의 용의성 때문에 실험실 좌표계와 질량중심 좌표계를 각각 도입하는데, 전자의 경우 목표 물체에 대하여 정지해있는 좌표계를 의미하며, 후자의 경우 두 물체의 질량중심을 원점으로한 좌표계를 의미한다. 두 좌표계에서 같은 충돌에 대한 과정은 위 그림에서 확인할 수 있다.

앞으로 소문자의 경우 실험실 좌표계에서 측정된 물리량, 대문자의 경우 질량중심 좌표계에서 측정된 물리량을 의미한다.

수준 상 고차원 충돌은 탄성 충돌하는 경우만 다루도록 한다.

2.2.1. 실험실 좌표계에서 분석

그림 (a)와 같이 [math(m_{1})]이 [math(\mathbf{u}_{1})]의 속도로 진행하다 정지한 [math(m_{2})]와 충돌 후 [math(m_{1})]은 산란각 [math(\theta_{1})], 속도 [math(\mathbf{v}_{1})]으로 [math(m_{2})]는 산란각 [math(\theta_{2})], 속도 [math(\mathbf{v}_{2})]로 진행한다.

일반적으로 실험실 좌표계에서 탄성 충돌 문제를 다루는 경우는 아래를 이용한다.
  1. 운동량은 보존된다.
    {{{#!wiki style="text-align: center"

    [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}\mathbf{u}_{1}=m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{2}\mathbf{v}_{2} \end{aligned} )] }}}
  2. 운동 에너지 또한 충돌 전 후 보존된다.
    {{{#!wiki style="text-align: center"

    [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} \end{aligned} )] }}}
  3. 그 외 문제 상황을 잘 이해하여 속력과 시간 등의 관계를 이용한다.

외력이 가해지지 않았기 때문에 계의 운동량은 충돌 전 후 보존된다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}\mathbf{u}_{1}=m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{2}\mathbf{v}_{2} \end{aligned} )]

이것을 [math(x)]축 성분과 [math(y)]축 성분으로 써보면

[math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}u_{1}&=m_{1}v_{1}\cos{\theta_{1}}+m_{2}v_{2}\cos{\theta_{2}} \\ 0&=m_{1}v_{1}\sin{\theta_{1}}-m_{2}v_{2}\sin{\theta_{2}} \end{aligned} )]

양변을 제곱 후 두 식을 더하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}^{2}u_{1}^{2}&=m_{1}^{2}v_{1}^{2}+m_{2}^{2}v_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}v_{1}v_{2}(\cos{\theta_{1}}\cos{\theta_{2}}-\sin{\theta_{1}}\sin{\theta_{2}}) \\ m_{1}^{2}u_{1}^{2}&=m_{1}^{2}v_{1}^{2}+m_{2}^{2}v_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}v_{1}v_{2}\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})} \end{aligned} )]

조금 더 간단한 경우를 다루기 위해 질량이 같은 경우 [math(m_{1}=m_{2}=m)]인 경우를 살펴보자. 그 경우

[math(\displaystyle \begin{aligned} m^{2}u_{1}^{2}&=m^{2}v_{1}^{2}+m^{2}v_{2}^{2}+2m^{2}v_{1}v_{2}\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})} \end{aligned} )]

탄성 충돌의 경우 운동 에너지가 보존되므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}mu_{1}^2=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}mv_{2}^{2} \quad \to \quad v_{2}^{2}=u_{1}^2-v_{1}^{2} \end{aligned} )]

이것을 위 식에 대입함으로써 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} 2m^{2}v_{1}v_{2}\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}=0 \end{aligned} )]

이것이 일반적으로 만족하려면 [math(\theta_1+\theta_2=\pi/2)]여야 함을 얻는다. 즉, 질량이 같은 두 물체를 비스듬이 충돌시키면 두 산란각의 합은 직각이 된다.

2.2.2. 질량중심 좌표계에서 분석

질량중심 좌표계에서 측정한 계의 운동량의 합은 영벡터이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}\mathbf{U}_{1}+m_{2}\mathbf{U}_{2}=m_{1}\mathbf{V}_{1}+m_{2}\mathbf{V}_{2}=\mathbf{0} \end{aligned} )]

이렇게 되는 이유는 질량중심을 원점으로 잡았기 때문이다. 다르게 설명하면 위 식에서 계의 총 질량을 나눈 것은 곧 질량중심의 속도가 되는데, 우리는 질량중심을 원점으로 잡고, 그 원점에서 물체를 관측하는 프레임을 사용하기 때문에 [math(\bf{0})]인 것이다. 따라서

[math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}\mathbf{V}_{1}=-m_{2}\mathbf{V}_{2} \end{aligned} )]

이고, 이것은 단순히 속도에 상수배를 한 것이므로 곧 충돌 후 물체는 평행하게 나아감을 의미한다. 그림에서도 산란각을 [math(\psi)] 하나만 쓴 것도 두 물체 모두 동일하기 때문이다.

질량중심의 속도는

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{v}_{\sf{CM}}=\frac{m_{1}\mathbf{u}_{1}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{1}\mathbf{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )]

인데, 성립한 운동량 보존 법칙 [math(m_{1}\mathbf{u}_{1}=m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{1}\mathbf{v}_{1})]에 따라 질량중심은 충돌 전 후 같은 속도로 [math(\boldsymbol{x})]축 방향으로 이동함을 알 수 있다.[5] 이것은 물체계의 질량중심은 외력이 없는 한 보존되기 때문이다.

파일:namu_CM_4.svg

단, 벽에 충돌하는 상황 등 외력이 가해지는 순간이 오면 더 이상 질량중심의 운동량은 보존되지 않음에 유의한다.

[math(\mathbf{U}_{1})]은 곧 질량 중심에 대한 [math(\mathbf{u}_{1})]의 상대속도이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{U}_{1}=\mathbf{u}_{1}-\mathbf{v}_{\sf{CM}}=\frac{m_{2}\mathbf{u}_{1}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )]

[math(\mathbf{U}_{2})] 또한 마찬가지 논리로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{U}_{2}=-\mathbf{v}_{\sf{CM}}=-\frac{m_{1}\mathbf{u}_{1}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )]

이 또한 쉽게 증명 가능하다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{V}_{1}&=\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{\sf{CM}} \\ \mathbf{V}_{2}&=\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{\sf{CM}}=-\frac{m_{1}}{m_{2}}\mathbf{V}_{1} \end{aligned} )]


또한 이 좌표계에서도 에너지는 보존되어야 함에 따라서 탄성 충돌의 경우

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{P_{1}^{2}}{2m_{1}}+\frac{P_{2}^{2}}{2m_{1}}=\frac{Q_{1}^{2}}{2m_{1}}+\frac{Q_{2}^{2}}{2m_{1}} \end{aligned} )]

[math(P)]는 충돌 전, [math(Q)]는 충돌 후 운동량의 크기이다. 한편, 위 과정에서 질량중심 좌표계에서는 충돌 전후 각각의 운동량은 서로 반대 방향으로 평행하고, 그 크기는 같다고 했으므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{P_{1}^{2}}{2} \left( \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}} \right)=\frac{Q_{1}^{2}}{2} \left( \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}} \right) \quad \to \quad {P_{1}^{2}}={Q_{1}^{2}} \end{aligned} )]

이 말을 다시 말하면 [math(U_{1}=V_{1})]임을, 같은 논법으로 [math(U_{2}=V_{2})]임을 얻는다.

위의 내용을 반영한 (a) 벡터 관계도, (b) 성분 관계도이다.
파일:namu_고차원충돌_2_NEW_NEW.svg

위 삼각형에 사인 법칙을 적용해보도록 하자.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\dfrac{m_{2}}{m_{1}}v_{\sf{CM} }}{\sin{\theta_{1} }}=\frac{v_{\sf{CM} }}{\sin{(\pi-(\theta_{1}+2\theta_{2}))}} \qquad \left( v_{\sf{CM}}=\frac{m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}} \right) \end{aligned} )]

한편, [math(2\theta_{2}+\psi=\pi)]이므로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\dfrac{m_{2}}{m_{1}}v_{\sf{CM} }}{\sin{\theta_{1} }}=\frac{v_{\sf{CM} }}{\sin{(\psi-\theta_{1})}} \end{aligned} )]

이것을 정리함으로써 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \psi=\theta_{1}+\arcsin{\biggl(\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin{\theta_{1}} \biggr)} \end{aligned} )]

위의 결과에서

[math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{2}&=\frac{\pi}{2}-\frac{\psi}{2} \\&=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta_{1}}{2}-\frac{1}{2}\arcsin{\biggl(\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin{\theta_{1}} \biggr)} \end{aligned} )]

이상에서 두 산란각의 합은

[math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{1}+\theta_{2}&= \frac{\pi}{2}+\frac{\theta_{1}}{2}-\frac{1}{2}\arcsin{\biggl(\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin{\theta_{1}} \biggr)} \end{aligned} )]


이상의 결과로부터 동일 질량이라면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{1}+\theta_{2}&= \frac{\pi}{2}+\frac{\theta_{1}}{2}-\frac{1}{2}\arcsin{(\sin{\theta_{1}})} \\&=\frac{\pi}{2} \end{aligned} )]

이는 실험실 좌표계에서 유도했던 것과 동일하다. 또한

[math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{1}=\frac{\psi}{2} \end{aligned} )]

로 질량중심 좌표계의 산란각과 실험실 좌표계의 산란각의 간단한 관계를 얻는다.

또 하나의 유용한 관계식으로 위 그림에서

[math(\displaystyle \begin{aligned} v_{1}\cos{\theta_{1}}&=v_{\sf{CM}}+V_{1}\cos{\psi} \\ v_{1}\sin{\theta_{1}}&=V_{1}\sin{\psi} \end{aligned} )]

이상에서

[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta_{1}}&=\frac{\sin{\psi}}{\dfrac{v_{\sf CM}}{V_{1}}+\cos{\psi}} \end{aligned} )]

인데, 한편

[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{v_{\sf CM}}{V_{1}}&=\frac{u_{1}}{U_{1}}\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )]

이다. 위에서

[math(\displaystyle \begin{aligned} U_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \end{aligned} )]

이었으므로 곧 식의 값은 [math(m_{1}/m_{2})]가 된다. 즉, 다음의 관계식을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta_{1}}&=\frac{\sin{\psi}}{\dfrac{m_{1}}{m_{2}}+\cos{\psi}} \end{aligned} )]


이번에 살펴볼 내용은 운동 에너지와 관련된 것이다. 질량중심계에서 측정했기 때문에 운동 에너지는 실험실 좌표계에서 측정한 것과 상이함에 유의하여야 한다.

이 문단에서는 실험실 좌표계에서 측정한 운동 에너지는 기호 [math(T)]를, 질량중심 좌표계에서 측정한 운동 에너지는 기호 [math(K)]를 썼다.

충돌 전 실험실 좌표계에서 측정한 운동 에너지는

[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{0}=\frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2} \end{aligned} )]

이다. 마찬 가지로 질량중심 좌표계에서 측정한 운동 에너지는

[math(\displaystyle \begin{aligned} K_{0}&=\frac{1}{2}m_{1}U_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}U_{2}^{2} \\&=\frac{1}{2}m_{1}\left( \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \right)^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\left( \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \right)^{2}\\&=\frac{1}{2} \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} u_{1}^2 \\&=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}T_{0} \end{aligned} )]

이다. 즉, 해당 상수배(1보다 작음)만큼의 운동 에너지로 측정된다. 탄성 충돌을 다루고 있기에 이 값은 충돌 전후 모두 같다.

추가적으로 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} K_{1}&=\frac{1}{2}m_{1}V_{1}^{2} \\&=\frac{1}{2}m_{1} \left( \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \right)^2 \\&=\left( \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \right)^2 T_{0} \\ K_{2}&=\frac{1}{2}m_{2}V_{2}^{2} \\&=\frac{1}{2}m_{2} \left( \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}u_{1} \right)^2 \\&= \frac{m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}} T_{0} \end{aligned} )]

2.2.3. 반발 계수

2차원 이상에서 반발 계수는 아래와 같이 정의된다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \varepsilon=\frac{|\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1}|}{|\mathbf{u}_{1}-\mathbf{u}_{2}|} \end{aligned} )]


우리가 다뤘던 탄성 충돌이고, [math(\mathbf{u}_{2}=\mathbf{0})]인 경우를 살펴보자. 이 경우 [math(|\mathbf{u}_{1}-\mathbf{u}_{2}|=u_{1})]이다.

윗 문단의 벡터 관계도 및 성분 관계도를 참조해보면

[math(\displaystyle |\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{2}|=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}u_{1}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}u_{1}=u_{1})]

이다. 따라서 2차원의 경우라도 탄성 충돌의 경우 [math(\varepsilon=1)]을 가지며, 충돌 후 상대 속도는 충돌 전 상대 속도와 같음을 알 수 있다.

[math(\mathbf{u_{2}=\mathbf{0}})]인 경우만 살펴보았지만, 그것이 아닌 경우에도 성립한다. 단, 이 경우에는 [math(|\mathbf{u}_{1}-\mathbf{u}_{2}|=|\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{2}|=u_{1}-u_{2})]임에 유의한다.

====# 예제 #====
파일:2018_09_수능모의고사_물리2_19번.png
2018학년도 9월 수능 모의평가 물리 II 19번 (오답률: 76.6%)

[1] 실험실 좌표계에서 분석[6]
(가)에서 운동량 보존을 적용한다. 충돌 후 [math(m_{j})]의 속력을 [math(v_{j})]라 놓으면

[math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}v&=m_{1}v_{1}\cos{30^{\circ}}+m_{2}v_{2}\cos{30^{\circ}} \\ 0&=m_{1}v_{1}\sin{30^{\circ}}-m_{2}v_{2}\sin{30^{\circ}} \end{aligned} )]

위 식에서

[math(\displaystyle \begin{aligned} v_{2}=\frac{m_{1}}{m_{2}}v_{1} \end{aligned} )]

이상에서

[math(\displaystyle \begin{aligned} 2m_{1}v&=\sqrt{3}(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}) \\ &=2\sqrt{3}m_{1}v_{1} \\ \\ \therefore v&=\sqrt{3}v_{1} \end{aligned} )]

탄성 충돌하였으므로 충돌 전 후 운동 에너지는 보존된다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}m_{1}v^{2}&=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} \\ 3m_{1}v_{1}^{2}&=m_{1}v_{1}^{2}+\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}}v_{1}^{2} \\2m_{1}&=\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}} \\\\ \therefore m_{1}&=2m_{2} \qquad (\because m_{1}m_{2} \neq 0) \end{aligned} )]


(나)에서 운동량 보존을 적용한다. 충돌 후 [math(m_{j})]의 속력을 [math(V_{j})]라 놓으면

[math(\displaystyle \begin{aligned} 2m_{2}v&=2m_{2}V_{1}\cos{\theta}+m_{2}V_{2}\cos{60^{\circ}} \\ 0&=2m_{2}V_{1}\sin{\theta}-m_{2}V_{2}\sin{60^{\circ}} \end{aligned} )]

게산을 조금 하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} 4v&=4V_{1}\cos{\theta}+V_{2} \\ 0&=4V_{1}\sin{\theta}-\sqrt{3}V_{2} \end{aligned} )]

운동 에너지 보존을 사용하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} m_{2}v^{2}&=m_{2}V_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}V_{2}^{2} \\ v^{2}&=X^2+Y^2+\frac{1}{2}V_{2}^{2} \end{aligned} )]

이 문제에서는 연립 방정식의 변수를 [math(V_{1}\cos{\theta} \equiv X)], [math(V_{1}\sin{\theta} \equiv Y)], [math(V_{2})] 이 세 개로 잡는다.

[math(\begin{cases}4v=4X+V_{2} \\4Y=\sqrt{3}V_{2} \\ 2v^2=2X^2+2Y^2+V_{2}^2 \end{cases})]

이 방정식의 해는

[math(\displaystyle \begin{aligned} X&=\frac{5}{6}v \\ Y&=\frac{v}{2\sqrt{3}} \\ V_{2}&=\frac{2}{3}v \end{aligned} )]


이상에서

[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta}=\frac{Y}{X}=\frac{\sqrt{3}}{5} \end{aligned} )]


[2] 질량중심 좌표계에서 분석
질량중심의 속력을 먼저 구하자.

[math(\displaystyle \begin{aligned} v_{\sf{CM}}=\frac{m_{1}v}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )]


(가), (나)에서 속도 벡터 성분의 관계를 나타내는 삼각형은 각각 (a), (b)이다.

파일:namu_이차원충돌_예제.svg

(a)로부터

[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{m_{1}v}{m_{1}+m_{2}}\sin{30\degree}=\frac{m_{2}v}{m_{1}+m_{2}} \end{aligned} )]

으로부터 [math(m_{1}=2m_{2})]를 얻는다.

(b)를 살펴보자. 관계식

[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta}&=\frac{\sin{\psi}}{\dfrac{m_{1}}{m_{2}}+\cos{\psi}} \end{aligned} )]

를 사용하면 된다. [math(\psi=180\degree-2\cdot 60\degree=60 \degree)]이고, [math(m_{1}=2m_{2})]이므로 다음을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta}&=\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2+\dfrac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{5} \end{aligned} )]

3. 기타

4. 관련 문서


[1] 충돌하는 극히 짧은 시간 동안 정지한 물체에 힘이 가해졌다고 생각할 수도 있으나, 아니다.해당 계 안에서 별도로 외부에서 작용한 힘은 없으므로 외력은 없다. 단 정지한 물체에만 입각해서(계를 축소해서) 본다면 외력이 작용했다고 볼 수 있다. 이 경우, 정지한 물체는 운동량이 0에서 충돌 후(외력 작용 후) 일정 운동량을 가지며, 축소된 계를 기준으로 보면(충돌전 정지한 물체기준으로 보면) 운동량은 외력이 작용했으므로 보존되지않음을 알 수 있다. [2] [math(Q<0)]인 경우는 물체의 충돌 시 폭발같은 게 일어나는 경우이다. [3] 대표적으로 당구공을 예시로 많이 드나, 이 역시 엄밀히 말하면 탄성 충돌은 아니다. 에너지가 완벽히 보존되지 않기 때문인데, 물론 마찰이나 공기 저항 때문에 그런 것도 있지만 무엇보다 큰 원인은 바로 소리이다. 운동 에너지의 일부가 소리 에너지로 변환되어 버리기 때문에 진정한 탄성 충돌이 아니다. 탄성 충돌이 이상적으로 진짜 일어난다면 소리마저 나지 않는다. [4] 초기 조건에서 [math(u_{1}>u_{2})]여야 충돌이 일어날 수 있음에 유의한다. [5] [math(\mathbf{u}_{1})]이 [math(x)]방향의 벡터이기 때문이다. [6] 꽤 정석적인 풀이이다. 수능 예비 응시생들은 한 번 자신만의 풀이를 만들어보는 것을 추천한다. [7] 가령, 옷 두 벌을 공중에서 충돌시켰을 경우 자체 변형이 일어나면서 훨씬 복잡하게 운동하는 것을 볼 수 있다.

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