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고전역학 Classical Mechanics |
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1. 개요
kinetic energy움직이는 물체가 갖는 에너지.
2. 상세
움직이는 물체가 정지 상태에서 해당 속도까지 가속하는 데 필요한 일의 양, 혹은 운동량의 속도 적분[1]으로 운동 에너지가 정의된다. 마찬가지로 움직이고 있는 물체는 정지하는 동안 가지고 있는 운동 에너지만큼의 일을 할 수 있다. 기호는 [math(T)], [math(K)] 또는 [math(E_{\rm k})]로 쓴다. 나무위키에선 [math(T)] > [math(K)] > [math(E_{\rm k})] 순으로 많이 쓰인다.실제 사례는 주변에서 수도 없이 찾아 볼 수 있다. 중력 퍼텐셜 에너지가 운동 에너지로 그리고 운동 에너지가 다시 중력 퍼텐셜 에너지로 변하는 과정이 반복되는, 롤러코스터나 바이킹과 같은 놀이기구가 좋은 예다. 다른 한편으로는 운동 에너지가 자연히 사라지는 것처럼 보이는 현상도 쉽게 관찰 할 수 있다. 평지 심지어 얼음판 위에서 움직이던 물체가 모두 자연스레 멈추는 것을 확인할 수 있다. 이것은 공기 혹은 물체가 놓여있는 표면과 움직이는 물체 사이의 마찰로 운동 에너지가 잘 보이지 않는 형태의 에너지(주로 열 에너지)로 전환되었기 때문이다.
운동에너지의 공식은 보통 지면에서 자유낙하하는 형식으로 물체를 떨어뜨려서 계산하며 그 값은 다음과 같다.
[math(K = \dfrac12 mv^2)]
[math(m)]이 질량이고, [math(v)]는 속력이다. 이는 기준면으로부터의 높이를 계산해서 구하는 퍼텐셜 에너지와 함께 역학적 에너지에 많이 다뤄진다.
한편 운동량 [math(p=mv)]임을 이용해서 표현하면 다음과 같다.
[math(K = \dfrac{p^2}{2m})]
운동 에너지는 일반적으로 보존될 필요가 없는 물리량이지만 특수한 상황에서는 거의 보존되는 것처럼 보인다. 특히 물체 간의 탄성 충돌로, 잘 근사가 되는 상황에서 운동 에너지는 거의 보존되는 것처럼 취급될 수 있다. 교과서에서도 잘 등장하는 당구판 위의 당구공이 좋은 예다.[2]
운동에너지의 단위는 [math(\rm J)](joule, 줄)이며 [math(\rm{kg\cdot m^2/s^2})]으로 나타낼수도 있다.
운동 에너지라는 용어는 1849년경 켈빈 경이 처음 제안하였다. 그 이전에는 'vis viva'라는 이름으로 불리는 경우가 많았다.
3. 고전적 운동 에너지
이 경우는 물체가 매우 작지 않고, 빛의 속도에 비해 물체의 속도가 매우 느린 경우를 다룬다.3.1. 병진 운동[3] 에너지
일-운동 에너지 정리은(는) 여기로 연결됩니다.
등가속도 운동을 이용한 일-운동 에너지 정리 증명에 대한 내용은
등가속도 운동 문서 참고하십시오.| 인하대학교 물리학과 교수이자 작가인 차동우 교수의 설명[4] |
3.1.1. 변위를 통한 설명
1차원에서[5] 물체에 알짜힘 [math(F)]가 가해졌다하자. 이것이 점 [math(x_{1})]에서 점 [math({x_{2}})]로 이동했을 때, 알짜힘이 한 일 [math( W )]은[math( \displaystyle W= \int_{x_{1}}^{x_{2}} {F} \boldsymbol{\cdot} d {x} )]
이때, 질량이 바뀌지 않는다면,
[math( \displaystyle {F}= \frac{d{p}}{dt} =\frac{d (m{v})}{dt}=m \frac{d{v}}{dt} )]
로 표현된다. 따라서 적분은
[math( \displaystyle W= \int_{x_{1}}^{x_{2}} m \frac{d{v}}{dt} \boldsymbol{\cdot} d{x}= \int_{x_{1}}^{x_{2}} m \frac{d{v}}{d{x}} \boldsymbol{\cdot} \frac{d{x}}{dt}\,{d{x}} = \int_{v_{1}}^{v_{2}}m{{v}} \,d {v} )]
으로 바뀌고, 마지막 부분은 적분 계산 공식에 의해
[math( \displaystyle \int_{v_{1}}^{v_{2}}m{v} \,d{v} = \frac{1}{2}mv_{2}^2-\frac{1}{2}mv_{1}^2 )]
이 되므로 최종적으로
[math( \displaystyle W= \frac{1}{2}mv_{2}^2-\frac{1}{2}mv_{1}^2 )]
이 된다. 여기서 나온 항
[math( \displaystyle \frac{1}{2} mv^{2} \equiv T )]
를 병진 운동 에너지로 정의하고, 이상에서
[math( \displaystyle W= \Delta T = \frac{1}{2}mv_{2}^2-\frac{1}{2}mv_{1}^2 )]
일-운동 에너지 정리를 얻는다. 즉, 물체의 병진 운동 에너지 변화량은 가해진 알짜힘이 한 일과 같다는 결과를 얻는다.
3.1.2. 이동 거리를 통한 설명
[math(s_1)]만큼 이동한 상태의 물체에 알짜힘 [math(F)]가 가해져서, 최종적으로 총 이동 거리가 [math(s_2)]가 되었다. 그렇다면 이 일의 값은 힘에다가 이동시킨 거리를 구하는 것이므로 다음과 같다.[math( \displaystyle W = F({s_2}-{s_1}) = F \Delta s = \int_{s_{1}}^{s_{2}} {F} \boldsymbol{\cdot} ds)]
이 식을 계속 풀어보자. 뉴턴의 운동법칙에 의하면,
[math( \displaystyle F=\frac{d{p}}{dt}=ma)]
이므로 이 식을 대입하면 다음과 같다.
[math( \displaystyle W = \int_{s_{1}}^{s_{2}} {ma} \boldsymbol{\cdot} ds = \int_{s_{1}}^{s_{2}} {m} \frac{d{v}}{dt} \boldsymbol{\cdot} ds = \int_{s_{1}}^{s_{2}} {m} \frac{d{v}}{ds} \boldsymbol{\cdot} \frac{d{s}}{dt} ds)]
[math( \displaystyle \frac{d{s}}{dt}=v)], [math(\displaystyle \frac{d{v}}{ds} ds={d{v}})]이므로 위에서 계속 논의하고 있는 일 [math(\displaystyle W)]는
[math(\displaystyle W = \int_{s_{1}}^{s_{2}} {m} \frac{d{v}}{ds} \boldsymbol{\cdot} \frac{d{s}}{dt} ds = \int_{v_{1}}^{v_{2}}m{{v}} \boldsymbol{\cdot} d{v})]
임을 알 수 있는데, [math(\displaystyle\int_{v_{1}}^{v_{2}}m{{v}} \boldsymbol{\cdot} d{v})]는 적분 계산 공식 [math(\displaystyle \int_{x_{1}}^{x_{2}} x^n \boldsymbol{\cdot} dx = \frac{1}{n+1}({x_2}^{n+1}-{x_1}^{n+1}))][6]을 이용하면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle W = \int_{v_{1}}^{v_{2}}m{{v}} \boldsymbol{\cdot} d{v} = \frac{1}{2}mv_{2}^2-\frac{1}{2}mv_{1}^2)]
즉, 일은 운동 에너지의 변화량이다. 이는 다음과 같은 간단한 식으로 쓰인다.
[math(\displaystyle W=\Delta K)]
3.2. 회전 운동 에너지
3.3. 계의 운동 에너지
따로 움직일 수 있는 여러가지 물체가 복합된 계의 운동 에너지는 계를 구성하는 각 요소의 운동 에너지를 더하면 총 운동 에너지가 된다. 총 운동에너지는 편의에 의해 계의 무게 중심의 운동 에너지와 무게 중심에 대한 운동의 운동에너지로 나눌 수 있다. 무게 중심에 대한 운동의 운동 에너지는 계 밖에서 관측할 때는 무게 중심이 움직이지 않더라도 관측되는 에너지로 상대론적으로 해석하면 복합계의 정지질량에 포함된다. 무게 중심에 대한 운동은 진동이나 회전이 주요 형태가 되나 계를 묶는 것은 순전히 편의에 의한 것이므로 실제 서로 묶여있지 않은 대상을 하나의 계로 묶어도 위의 이야기는 그대로 적용된다. 다만 실제 계를 기술하는 데에는 별로 편리함이 없을 것이다.이 두 종류의 운동 에너지는 기준 좌표계에 변화에 대해 다른 행태를 보인다. 무게 중심 운동 에너지는 기준 좌표계에 따라 에너지가 다르다. 예를 들어 투수가 던진 [math( 160 \, \textrm{km/h} )] 강속구는 포수 입장에서 역시 [math( 160 \, \textrm{km/h} )]로 포착되지만 날아오는 야구공의 속도에 수직 방향으로 [math( 120 \, \textrm{km/h} )] 날아드는 새가 있다면 새의 좌표계에선 공이 [math( 200 \, \textrm{km/h} )]로 날아가는 것으로 보이며 에너지 역시 훨씬 더 크게 측정된다. 그러나 양 좌표계에서 모두 공의 회전에서 측정되는 즉 무게 중심에 대한 운동에 대한 운동 에너지는 같게 보인다.
4. 상대론적 운동 에너지
위에서 논의했던 것은 빛의 속도보다 물체의 속도가 느릴 때 운동 에너지를 다뤘다. 그러나, 빛의 속도와 가까운 빠른 물체를 다루는 상대론적 운동 에너지는 다음과 같이 주어진다.[math(\displaystyle T = (\gamma-1) mc^{2} )]
이때, [math(c )]는 광속, [math(\gamma )]는 로런츠 인자이며, 다음과 같이 정의된다.
[math(\displaystyle\gamma\equiv\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2} } } )]
[math(v )]는 물체가 움직이는 속력이다.
이때, [math(v\ll c )]인 경우를 살펴보자. 즉, 이 경우는 고전역학적인 상황을 보는 것이다. 이때, 로런츠 인자를 전개하면,
[math(\displaystyle\gamma \approx 1+\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^{2} )][7]
이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}T &= (\gamma-1) mc^{2} \\&\simeq\left[ 1+\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^{2}-1\right]mc^{2}\\&=\frac{1}{2}mv^{2} \end{aligned} )]
으로 고전역학적 운동 에너지로 환원됨을 알 수 있다. 즉, 고전역학적 운동 에너지는 상대론적 운동 에너지의 근사임을 알 수 있다.
자세한 내용은 상대론적 역학 문서를 참조한다.
5. 양자역학의 운동 에너지
이번엔 물체 크기가 굉장히 작아지는 양자역학적 관점에서 운동 에너지가 어떻게 기술되는 지 알아보자. 단, 이 경우 또한 속도는 빛의 속도보다 굉장히 느린 비상대론적 영역만 논의한다.양자역학은 기본적으로 측정할 수 있는 물리량을 연산자로 기술할 수 있다고 가정이 깔려있다. 따라서 양자역학에서 운동량 연산자 [math( \bf{\hat{p}} )]를 이용하여, 운동 에너지 연산자 [math( \hat{T} )]를 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math( \displaystyle \hat{T}=\frac{{\hat{p}}^{2}}{2m} )]
이때, [math( \mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \boldsymbol{\nabla} )]임을 이용하면,
[math( \displaystyle \hat{T} =- \frac{{\hbar}^{2}}{2m}\nabla^{2} )]
으로 쓸 수 있다.
6. 관련 문서
[1]
[math(\displaystyle K=\int_0^v mv {\rm d}v)]
[2]
단 정말 탄성충돌이 일어난다면 당구공이 충돌하며 들리는 딱소리는 들릴 수 없다. 에너지도 보존되어야 하기때문에 소리에너지가 발생할 수 없기 때문
[3]
중고등학교에서 배우는 개념으로는 직선운동.
[4]
학부 수준의 일-운동 에너지 정리이기 때문에 물리학과 전공이 아닌 경우 이해하기 힘들 수 있다. 이럴 경우 뉴턴의 운동법칙, 미분, 적분 계산 공식들을 먼저 알아보고 보는 것이 좋다.
[5]
최대한 간단히 하기 위해 1차원을 기준으로 설명하고 벡터 표기를 안했지만, 사실 2차원 이상도 충분히 가능하다.
[6]
이것은 정적분 중 다음과 같은 식 [math(\displaystyle\int_a^b f(x) \,{\rm d}x=\displaystyle F(b)-F(a))]를 일-운동 에너지 정리를 구하는 데 편리하게 설명한 것이다.
[7]
이 다음 항은 [math(\displaystyle{\frac{3v^4}{8c^4}+\frac{5v^6}{16c^6}+\cdots})]인데, 이는 [math(v\ll c)]이므로 무시할 수 있다.