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고전역학 Classical Mechanics |
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1. 정의
circular motion / 圓 運 動원운동이라는 이름에서 볼수 있듯이 운동하는 궤적이 원 모양을 그리면서 일정 주기마다 시작 위치에 복귀하는 순환 운동을 지칭한다. 원 모양의 궤적, 즉 궤도를 회전하는 모든 운동은 원운동이며 전자 궤도, 원심 분리기, 단진동에 이르기까지 폭넓게 적용된다.
모든 원운동은 가속운동, 즉 시간에 따라 속도가 변하는 운동이다.[1] 등속 원운동의 경우 속력이 변하지 않아 등속운동으로 생각할 수 있으나 속도벡터의 방향이 바뀌기 때문에 힘[2]이 작용해야하는 가속운동이다. 하지만 힘이 작용한다는 것이 일(work)을 하는 것을 의미하지는 않는다. 그래서 정확히 말하면 등속력 원운동이다.
2. 용어 및 물리량
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물리량 기호 |
단위 | 설명 |
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반지름 [math(r)] |
[math(\rm m)] | 원 궤도의 반지름.[3] |
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각변위 [math(\theta)] |
[math(\rm rad)] | 원 궤도를 따라 회전한 각[4] |
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주기 [math(T)] |
[math(\rm s)] | 원 궤도를 따라 한 바퀴 도는 데 걸린 시간. 진동수와는 [math(T=\dfrac1f)], 즉 역수 관계이다. |
|
진동수 [math(f)] |
[math(\rm s^{-1})] | 단위 시간(1초)당 원 궤도를 따라 회전한 횟수. 주기와는 [math(f=\dfrac1T)], 즉 역수 관계이다. |
|
각속도 [math(\bm\omega)] |
[math(\rm rad/s)] |
단위 시간당 각변위로 유사벡터(pseudovector)[5]이다. 보통 오른손 법칙에 따라 엄지가 향하는 방향을 각속도 벡터의 양의 방향으로 잡으며, 이를 테면 [math(xy)]평면 상의 반시계 방향 회전의 경우 [math(z)]축 양의 방향이 각속도 벡터의 양의 방향이 된다. 그 크기 [math(\|{\bm\omega}\|=\omega)]는 진동수에 [math(2\pi\,\rm rad)]을 곱한 물리량으로서 [math(\omega = \dfrac{2\pi{\rm\,rad}}T = 2\pi f{\rm\,rad})]을 만족한다. |
|
각가속도 [math(\bm\alpha)] |
[math(\rm rad/s^2)] | 단위 시간당 각속도의 변화율. |
|
관성 모멘트 [math(I)] |
[math(\rm kg{\cdot}m^2/{\rm rad^2})] |
물체가 기존의 회전 운동을 유지하려는 척도를 수치화한 개념. 에너지를 각속도 제곱의 두 배로 나눈 물리량으로 정의된다. |
|
각운동량 [math(\bf L)] |
[math(\rm kg{\cdot}m^2/(s{\cdot}{\rm rad}))] |
물체의 회전 운동 상태를 수치화한 척도. 각속도와 마찬가지로 유사벡터이다. 돌림힘을 시간에 대해 적분한 물리량이기 때문에 회전량당 액션(에너지[math(\times)]시간)으로 정의된다.[6] |
|
토크 [math(\bm\tau)] |
[math({\rm N{\cdot}m/rad} \\ = \rm J/rad)] |
물체의 회전 운동 효과를 수치화한 척도. 돌림힘에 의해 강체가 회전하면 회전 운동 에너지가 발생하기 때문에 회전량당 에너지([math(\rm J/rad)])로 정의된다. |
3. 병진 운동과의 대응관계
| 병진 운동(직선 운동) | 원운동(회전 운동) |
|
이동 거리 [math(\|{\bf l}\| = \|{\bf v}t\| = \|\bm{\omega\times\bf r}t/{\rm rad}\| \\ = r\omega t/{\rm rad} = r\theta/{\rm rad})] |
각변위 [math(\theta)] |
|
선속도[7] [math(\begin{aligned}{\bf v} &= \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta\bf r}{\Delta t} = \dfrac{{\rm d}\bf r}{{\rm d}t} = \bm{\omega\times r}/{\rm rad} \\ \|{\bf v}\| &= v = \dfrac{{\rm d}(r\theta/\rm rad)}{{\rm d}t} = r\dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}/\rm rad \\ &= r\omega/\rm rad\end{aligned})] |
각속도 [math(\bm\omega \\ \|\bm\omega\| = \omega = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t} = \dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t})] |
|
선가속도[8] [math(\begin{aligned}{\bf a_t} &= \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta\bm\omega/\rm rad}{\Delta t}\bm\times{\bf r} = \dfrac{\rm d\bm\omega/rad}{{\rm d}t}\bm\times{\bf r} \\ &= \bm{\alpha\times \bf r}/{\rm rad} \\ \|{\bf a_t}\| &= \dfrac{{\rm d}(r\omega/\rm rad)}{{\rm d}t} = r\dfrac{{\rm d}\omega}{{\rm d}t}/{\rm rad} \\ &= r\alpha/\rm rad\end{aligned})] |
각가속도 [math(\begin{aligned} \bm\alpha &= \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta\bm\omega}{\Delta t} = \dfrac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t} \\ \|\bm\alpha\| &= \alpha = \dfrac{{\rm d}\omega}{{\rm d}t} \end{aligned})] |
|
관성 질량 [math(m)] |
관성 모멘트 [math(I = m\|{\bf r}\|^2/{\rm rad^2} \\ = \displaystyle \iiint_Q {\left\{\rho(x,\,y,\,z)\|{\bf r}\|^2/{\rm rad^2}\right\}}{\rm\,d}V)] |
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선운동량 [math({\bf p} = m{\bf v})] |
각운동량 [math(\begin{aligned}{\bf L} &= {\bf r\bm\times p}/{\rm rad} = {\bf r}\bm\times(m{\bf v})/{\rm rad} = m{\bf r\bm\times v}/{\rm rad} \\ &= m{\bf r}\bm\times(\bm{\omega\times\bf r}/{\rm rad})/{\rm rad} = {\left\{m\|{\bf r}\|^2/{\rm rad^2}\right\}}\bm\omega \\ &= I\bm\omega\end{aligned})] |
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알짜힘 [math(\displaystyle \sum {\bf F} = \frac{{\rm d}\bf p}{{\rm d}t})][9] [math(= \dfrac{{\rm d}(m\bf v)}{{\rm d}t} = m \dfrac{{\rm d}\bf v}{{\rm d}t} \\ \phantom{\displaystyle \sum {\bf F}}= m\bf a)] |
토크 [math(\begin{aligned}\sum \bm\tau &= {\bf r\bm\times F}/{\rm rad} = {\bf r}\bm\times\dfrac{{\rm d}\bf p}{{\rm d}t}/{\rm rad}\end{aligned})] [math(\begin{aligned}\phantom{\sum\bm\tau} &= {\left({\bf r}\bm\times\dfrac{{\rm d}\bf p}{{\rm d}t} + \dfrac{{\rm d}\bf r}{{\rm d}t}\bm\times{\bf p}\right)}/{\rm rad} \\\end{aligned})][10] [math(\begin{aligned}\phantom{\sum\bm\tau} &= \dfrac{{\rm d}(\bf r\bm\times p/\rm rad)}{{\rm d}t} = \dfrac{{\rm d}\bf L}{{\rm d}t} = \dfrac{{\rm d}(I\bm\omega)}{{\rm d}t} = I\dfrac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t} \\ &= I\bm\alpha\end{aligned})] |
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일 [math(\displaystyle W = \int_{x_i}^{x_f} \bf F\bm\cdot{\rm d}x)] |
일 [math(\displaystyle W = \int_{\theta_i}^{\theta_f}\bm{\tau\cdot{\rm d}\theta})] |
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병진
운동 에너지 [math(K = \dfrac12m\|{\bf v}\|^2)] |
회전 운동 에너지 [math(\begin{aligned} K &= \dfrac12m\|{\bf v}\|^2 = \dfrac12m\|\bm{\omega\times r}/{\rm rad}\|^2 \\ &= \dfrac12(m\|{\bf r}\|^2/{\rm rad^2})\|\bm\omega\|^2 \\ &= \dfrac12I\omega^2\end{aligned})] |
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일률 [math(\begin{aligned}P &= \dfrac{{\rm d}W}{{\rm d}t} = \dfrac{\bf F\bm\cdot{\rm d}x}{{\rm d}t}= \bf F\bm\cdot v\end{aligned})] |
일률 [math(\begin{aligned}P &= \dfrac{{\rm d}W}{{\rm d}t} = \dfrac{\bm{\tau\cdot{\rm d}\theta}}{{\rm d}t} = \bm{\tau\cdot\omega}\end{aligned})] |
4. 구심력
어떤 물체가 원운동을 하게 해주는 힘을 구심력이라고 한다. 병진 운동과의 관계 표에서 선속도의 미분으로 얻어지는 식 중 반지름 벡터의 미분으로 얻어지는 구심가속도 [math(\bf a_c)]에 의해 생기는 힘이다.| [math(\begin{aligned}{\bf a_c} &= \lim_{\Delta t\to 0}{\left(\bm\omega\bm\times\dfrac{\Delta\bf r}{\Delta t}/{\rm rad}\right)} = \bm\omega\bm\times\dfrac{{\rm d}\bf r}{{\rm d}t}/{\rm rad} \\ &= \bm\omega\bm\times(\bm{\omega\times\bf r}/{\rm rad})/\rm rad \\ &= \{\bm\omega(\bm{\omega\cdot\bf r})-r(\bm{\omega\cdot\omega})\}/\rm rad^2 \\ &= -\|\bm\omega\|^2\bf r/\rm rad^2 \\ &= -\omega^2\bf r/\rm rad^2 \end{aligned})] |
[math({\bf a_c} = -\omega^2\bf r/\rm rad^2)]이라는 식에서 알 수 있듯이 구심력은 반지름 벡터의 역방향, 즉 원 궤도의 중심 방향으로 작용한다.
물체의 운동 방향(즉, 속도 벡터 [math(\bf v)]의 방향)과 물체에 작용하는 구심력 벡터 [math(\bf F_c)]의 방향이 서로 수직이므로 구심력은 물체에 일을 하지 않는다.
어떤 물체 계에서 관측되는 원운동이냐에 따라 중력, 전자기력 등이 구심력 역할을 수행할 수 있다.
5. 원심력
원운동하는 물체가 느끼는 관성력을 원심력이라 한다. 구심력과 크기가 같으며 방향은 반대이다.
[1]
속도는 속력(순간속도의 크기)과 방향을 모두 포함하는 물리량, 즉 벡터량이다. 속력과 방향 중 적어도 하나가 변하면 속도가 변한다고 말한다.
[2]
물체의 모양을 변형시키거나 운동 상태를 변화시키는 원인. 물체를 입자로 가정하면(입자 모형, particle model) 물체의 크기를 무시하므로 후자만 적용한다.
[3]
단 [math(\bf r)]은 원운동하는 물체의 위치를 가리키는 반지름 벡터를 의미한다.
[4]
참고로 각변위는 일반적으로
벡터가 아니다. 벡터의 대수적 정의에 의하면 덧셈에 대해
항등원과 역원이 존재하고
교환법칙과
결합법칙이 성립해야
벡터 공간에 속하는데, 각변위의 경우 교환법칙이 성립하지 않아 조건을 만족하지 않는다.
지금 당장 주변의 아무 네모난 것이나 집어 들어서(책이든 휴대폰이든 좋다.) 한번은 [math(x)]축을 중심으로 반시계 방향으로 [math(90degree)] 돌린 다음 [math(y)]축을 중심으로 반시계 방향으로 [math(90degree)] 돌리고, 한번은 [math(y)]축을 중심으로 반시계 방향으로 [math(90degree)] 돌린 다음 [math(x)]축을 중심으로 반시계 방향으로 [math(90degree)] 돌려보자. 그러면 결과가 서로 같지 않음을 알 수 있다. 단, 회전축이 변하지 않는 경우라면 교환 법칙이 성립하기 때문에 벡터로 간주할 수 있고, 미소 각 변위의 경우에도 회전축이 일정한 것으로 근사할 수 있기 때문에 미소 변화량에 대해 논할 때 역시 벡터로 다룰 수 있다. 자세한 것은
각 문서의 각 변위 항목 참고.
[5]
중심이 되는 축 벡터(axial vector)와 함께 회전하는 성분을 별도로 갖기 때문에 일반적인 극성 벡터(polar vector)와는 성질이 다르며, 회전하는 방향에 반사(reflection) 연산을 적용하면 반전되기 때문에 축 벡터의 부호가 바뀌는 특징이 있다. 일반적인 벡터의 경우 회전 성분이 없기 때문에 반사 연산이 가해져도 부호가 바뀌지 않는다.
[6]
양자역학에서 각운동량이
[math(hbar)][math(\biggl()]엄밀하게는 [math(\cfrac h{2\pi{\rm\,rad}}\biggr))]의 배수로 나타나는 것도 여기에 이유가 있다.
[7]
선속도의 벡터식에 대한 유도 과정은
등속 원운동 문서 참조.
[8]
아래 식에서도 알 수 있듯이 선가속도는 선속도의 미분식에 분배법칙을 적용한 것 중 각속도의 미분식에 대한 항으로, 원운동을 하는 물체의 속력을 변화시키는 성분이다. 나머지 반지름 벡터에 대한 미분식으로 얻어지는 것이 바로 구심가속도이며 구심가속도는 오로지 선속도의 방향에만 영향을 준다. 원운동의 가속도는 선가속도와 구심가속도의 합과 같다.
등속 원운동은 각속도가 일정하여 선가속도가 [math(\rm0\,m/s^2)]이 되고 구심가속도만 남은 특수한 경우이다.
[9]
아이작 뉴턴이 저서
프린키피아에서 밝힌 알짜힘의 진짜 정의다.
[10]
[math(\dfrac{{\rm d}\bf r}{{\rm d}t} = \bf v)]이고 [math({\bf p} = m{\bf v}~ (m>0))]이므로 선속도 벡터 [math(\bf v)]와 선운동량 벡터 [math(\bf p)] 사이에는 양의 실수배 관계가 성립하는데(
고전역학에서는 물체의 질량이 양수인 경우만 상정하기 때문이다.), 이는 벡터의 성질에 의하여 두 벡터의 방향이 서로 같음을 의미한다. 그런데 방향이 같은 두 벡터의
벡터곱은 [math(0)]이므로 [math(\dfrac{{\rm d}\bf r}{{\rm d}t}\bm\times{\bf p} = {\bf v\bm\times p} = 0)]이며, 두 번째 행에서 [math(\dfrac{{\rm d}\bf r}{{\rm d}t}\bm\times{\bf p} = 0)]을 더하는 것은
벡터곱의 미분에서 성립하는
분배법칙을 이용하기 위함이다.
벡터곱은
스칼라곱과 달리
교환법칙과
결합법칙이 성립하지 않는다.