|
정수론 Number Theory |
|||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
공리 | ||
| 페아노 공리계 · 정렬 원리 · 수학적 귀납법 · 아르키메데스 성질 | |||
| 산술 | |||
| 나눗셈 | 약수· 배수 | 배수 · 약수( 소인수) · 소인수분해( 목록 · 알고리즘) · 공배수 · 공약수 · 최소공배수 · 최대공약수 | |
| 약수들의 합에 따른 수의 분류 | 완전수 · 부족수 · 과잉수 · 친화수 · 사교수 · 혼약수 · 반완전수 · 불가촉 수 · 괴짜수 | ||
| 정리 | 베주 항등식 · 산술의 기본정리 · 나눗셈 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 호제법 · 서로소 | ||
| 디오판토스 방정식 | 페르마의 마지막 정리 · 피타고라스 세 쌍 · 버치-스위너턴다이어 추측(미해결) | ||
| 모듈러 연산 | |||
| 잉여역수 · 2차 잉여 · 기약잉여계 · 완전잉여계 · 중국인의 나머지 정리 · 합동식 · 페르마의 소정리 · 오일러 정리 · 윌슨의 정리 | |||
| 소수론 | |||
| 수의 분류 | 소수 · 합성수 · 메르센 소수 · 쌍둥이 소수( 사촌 소수 · 섹시 소수) · 페르마 소수 · 레퓨닛 수 | ||
| 분야 | 대수적 정수론( 대수적 정수론/심화) · 해석적 정수론 | ||
| 산술함수 | 뫼비우스 함수 · 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 소수생성다항식 | ||
| 정리 | 그린 타오 정리 · 페르마의 두 제곱수 정리 · 디리클레 정리 · 소피 제르맹의 정리 · 리만 가설(미해결) · 골드바흐 추측(미해결)( 천의 정리) · 폴리냑 추측(미해결) · 소수 정리 | ||
| 기타 | 에라토스테네스의 체 · 윌런스의 공식 | ||
|
특수함수 Special Functions |
||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="letter-spacing: -1px" {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all" |
[math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | |
| <colbgcolor=#383B3D> 적분 | 오차함수(error function)( 가우스 함수 · 가우스 적분 함수) · 베타 함수( 불완전 베타 함수) · 감마 함수( 불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수 | |
| 미분방정식 | 르장드르 함수[math(^\ast)] ( 구면 조화 함수) · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수 | |
| 역함수 | 브링 근호 · 람베르트 W 함수 · 역삼각함수 | |
| 급수 | 제타 함수 · 후르비츠 제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 폴리감마 함수 · 바이어슈트라스 타원 함수 | |
| 정수론 | 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 피 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수 | |
| 기타 | 헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션( 무한 지수 탑 함수) · 지시함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수 | |
1. 정의
체비쇼프 함수(Chebyshëv function)는 소수와 관련된 두 가지 특수함수로, 제1종 체비쇼프 함수 [math(\vartheta(x))]와 제2종 체비쇼프 함수 [math(\psi(x))]가 있으며 정의는 다음과 같다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
\vartheta(x) &\equiv \sum_{p\le x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor} \bold{1}_{\mathbb{P}}(n) \ln n \\ \psi(x) &\equiv \sum_{p^k\le x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor} \Lambda(n) \qquad (k\in\N)
\end{aligned} )]
위에서 [math(p)]는 소수, [math(\bold{1}_{\mathbb{P}}(n))]은 지시함수, [math(\Lambda(n))]은 폰 망골트 함수, [math(\lfloor x\rfloor)]는 바닥함수이다.
정의대로 제1종 체비쇼프 함수는 소수의 자연로그값을 합하며, 제2종 체비쇼프 함수는 소수와 소수의 거듭제곱수의 소인수 자연로그값을 합한다.[1]
함수 표기에 주의할 필요가 있다. 각각 세타 함수[2]와 디감마 함수와 겹치기 때문에, 사전에 이것이 체비쇼프 함수라고 알려주어야 혼동이 없다.
2. 소수 계승
소수 계승(primorial[3][4])은 다음과 같이 정의되는 함수이다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
n\# = e^{\vartheta(n)} = \prod_{p\leq n, \,p\,\in\,{\mathbb P}} p
\end{aligned} )]
즉, 소수 계승 [math(n\#)]은 자연수 [math(n)] 이하의 모든 소수를 곱한 값이다.
소수 정리에 의해, 체비쇼프 함수는 [math(\lim\limits_{n\to\infty} \vartheta(n)/n = 1)]을 만족시킨다. 따라서 양 변에 [math(\rm exp)] 함수[5]를 취하면 소수 계승은 [math(\lim\limits_{n\to\infty} (n\#)^{1/n} = e)]를 만족시킨다.
2.1. 리만 제타 함수와의 관계
[math(p_n)]을 [math(n)]번째 소수라고 하자. 소수 계승은 [math(s=2, 3, \cdots)]일 때 다음과 같은 리만 제타 함수와의 관계를 만족시킴이 알려져 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
\zeta(s) &= \frac{2^s}{2^s-1} +\sum_{n=2}^\infty \frac{(p_{n-1}\#)^s}{J_s(p_n\#)} \qquad \cdots(1) \\
J_s(n) &= n^s \prod_{p|n} \biggl( 1-\frac1{p^s} \biggr)
\end{aligned} )]
여기서 [math(J_s)]는 Jordan's totient function이라고 부른다. [math(s=1)]일 때 [math(J_s)]는 오일러 파이 함수와 같아진다.
[math(s=1)]이면 좌변 [math(\zeta(s))]는 당연히 양의 무한대로 발산하고, 우변 또한 양의 무한대로 발산한다. [math(s=1)]일 때 우변이 발산한다는 사실은 다음과 같이 증명된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{n=2}^\infty \frac{p_{n-1}\#}{J_1(p_n\#)} &= \sum_{n=2}^\infty \frac{p_{n-1}\#}{p_n\# \cdot \displaystyle\prod_{k=1}^n \biggl( 1-\frac1{p_k} \biggr)} \\
&= \sum_{n=2}^\infty \frac1{p_n} \cdot \frac1{\displaystyle\prod_{k=1}^n \biggl( 1-\frac1{p_k} \biggr)} \\
&\ge \sum_{n=2}^\infty \frac1{p_n}
\end{aligned} )]
소수의 역수의 합은 발산하므로, 따라서 [math(\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{p_{n-1}\#}{J_1(p_n\#)})]도 비교판정법에 의해 발산한다.
또한, 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 [math(s)]에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\zeta(s) &= \frac{2^s}{2^s-1} +\sum_{n=2}^\infty \frac{(p_{n-1}\#)^s \cdot\zeta_n(s)}{(p_n\#)^s} \qquad \cdots(2) \\ \zeta_n(s) &= \prod_{i=1}^n \frac1{1-{p_i}^s} \end{aligned} )] |
두 식의 출처는 이곳이다. 여기에서 [math((2))]번 식의 유도 과정을 알아볼 수 있다.
[math((1))]번 식은 [math((2))]번 식에 비해 [math(s)]의 범위가 상당히 제한되어 있다는 단점이 있다. 그러나 이는 다른 [math(s)]값들에 대해 증명이 안 됐을 뿐일 수도 있다. 왜냐하면 실제로 계산해봤을 때 자연수가 아닌 실수 [math(s)]에 대해서도 해당 식이 성립하는 것처럼 보이기 때문이다. 아래 Mathematica 코드를 통해 직접 계산해볼 수 있다.[6]
|
p[0]=1; p[n_]:=p[n-1]*Prime[n] J[k_,n_]:=p[n]^k*Product[1-1/Prime[i]^k,{i,1,n}] z1[k_,n_]:=Sum[p[r-1]^k/J[k,r],{r,2,n}]+2^k/(2^k-1)//N |
p[0]=1; p[n_]:=p[n-1]*Prime[n] zeta[s_,n_]:=Sum[1/i^s,{i,1,n}] z2[k_,n_]:=Sum[p[r-1]^k*zeta[k,r]/p[r]^k,{r,2,n}]+2^k/(2^k-1)//N |
| [math((1))] | [math((2))] |
[math((1))]번 식을 증명한 논문[7]이 사라져 있다. 해당 저널을 들어가 보면 다른 논문이 있고, 저자 사이트의 해당 논문 링크로 들어가보면 오류가 뜬다. 위키피디아와 위 출처에서 해당 논문을 인용하고 있는 것을 보면 어느 순간 내려간 듯한데, 이 부분에 대해서는 자세한 확인이 필요하다.
2.2. 목록
| [math(n)] | [math(p_n\#)] | 식 |
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 6 | 2×3 |
| 3 | 30 | 2×3×5 |
| 4 | 210 | 2×3×5×7 |
| 5 | 2,310 | 2×3×5×7×11 |
| 6 | 30,030 | 2×3×5×7×11×13 |
| 7 | 510,510 | 2×3×5×7×11×13×17 |
| 8 | 9,699,690 | 2×3×5×7×11×13×17×19 |
| 9 | 223,092,870 | 2×3×5×7×11×13×17×19×23 |
| 10 | 6,469,693,230 | 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29 |
[1]
제2종 체비쇼프 함수는 [math(x)] 이하의 모든 자연수에 대한
최소공배수의 자연로그값에 해당한다.
[2]
세타 함수는
이변수 함수이기 때문에 그나마 혼동이 적은 편. 참고로 이 세타 함수의 풀네임은 '
야코비 세타 함수(Jacobi theta function)'이다.
[3]
prime(소수)과
factorial(계승)을 합친 단어다.
[4]
기호인
[math(#)]은
위상수학에서
연결합(Connected sum)을 나타내는 용도로 쓰이므로 헷갈리지 않도록 주의.
[5]
밑이 [math(e)]인
지수함수
[6]
아래 코드를 복붙하여 실행한 이후 [math(z1)], [math(z2)] 함수의 값을 보면 된다. [math(z1)], [math(z2)]의 변수 [math(k)]에는 [math((1))]번 식과 [math((2))]번 식의 [math(s)] 값을 입력해주고, 변수 [math(n)]에는 몇 번째 항까지 계산해줄지를 입력해주면 된다.
[7]
Mező, István (2013). "The Primorial and the Riemann zeta function". The American Mathematical Monthly. 120 (4): 321.