밀레니엄 문제

이 문서는 수학에서의 밀레니엄 문제를 다루고 있습니다. '밀레니엄 버그'에 대한 내용은 2000년 문제 문서 참고하십시오.

1. 개요2. 목록3. 여담4. 힐베르트의 23가지 문제5. 매체에서의 등장

1. 개요

밀레니엄 문제(Millennium Prize Problems)는 한국어로는 천년 문제라는 뜻으로, 하버드 대학교 수학자들이 클레이 수학연구소라는 단체를 만들면서 2000년 5월 23일에 제시한, 21세기 수학계에 기여할 수 있는 7가지 문제를 의미한다. 페르마의 마지막 정리를 증명한 앤드루 와일스도 문제 선정에 관여했다고 한다.[1]

각각의 문제에는 상금 100만 달러가 걸려있다. 2024년 기준 13억원이지만, 이 문제를 풀게 되면 과학, 수학 발전에 엄청난 공헌을 한 사람으로 역사에 길이 기억될 것이다. '수학계의 노벨상'이라 불리는 필즈상을 사실상 예약해 놓을 정도이고[2] 위인전이 나올 가능성도 있으며, 출신 학교에는 자신의 흉상이 세워질정도로 명예로운 일이기 때문에 돈이 중요하지가 않다. 리만 가설, 나비에-스토크스 방정식, 양-밀스 가설 같은 문제들은 물리학에도 걸쳐져 있다 보니 노벨물리학상도 수상 가능성이 있으며, 마찬가지로 P-NP 문제는 컴퓨터과학에 걸쳐있어 튜링상도 수상 가능성이 있다. 또한, 해법이 제시되었다 해도 보다 일반화한 명제를 내놓고 증명하거나, 최초의 증명과는 다른 방식으로 증명을 완성하거나, 반례가 제시되어 명제가 무너졌다 해도 반례가 존재하는 조건을 명확히 제시하고 조금 약한 조건에서는 참임을 증명하는등의 배리에이션을 해내는 성과 또한 비록 클레이 연구소가 걸어놓은 100만 달러는 못 받을지 몰라도 명문대학 교수로 스카우트되고 교과서에 이름이 길이 남을만한 업적이다. 나비에-스토크스 방정식의 경우 편미분방정식이라는 특성상 여러 조건을 달리 설정하는 방식으로 수십년에 한번쯤 간헐적으로 제한적인 증명 소식이 들려오기도 하며, 푸앵카레 정리도 원래는 푸앵카레 추측보다 일반화한 명제인 '서스턴의 기하학화 추측'의 증명에 의한 귀결로서 증명이 완료되기도 했다.

2023년 기준으로 7개의 문제들 중 푸앵카레 추측만이 완전히 증명되었다. 이 푸앵카레 추측을 증명한 러시아 수학자 그리고리 페렐만은 이에 대한 업적으로 수여된 필즈상과 상금 100만 달러를 거부하고 은둔하였다. 다만 필즈상 수상자 목록에는 확실히 등재되어 있다.

2. 목록

밀레니엄 문제
미증명 이론	호지 추측
	리만 가설
	양-밀스 질량 간극 가설
	P-NP 문제
	버치-스위너턴다이어 추측
	나비에-스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움
증명된 이론	푸앵카레 정리

P-NP 문제, 양-밀스 질량 간극 가설, 나비에-스토크스 방정식은 응용 수학 문제이다. P-NP 문제는 컴퓨터과학, 양-밀스 질량 간극 가설은 양자장론(물리학), 나비에-스토크스 방정식은 유체역학(물리학)에 관련된 문제이다. 특히 나비에-스토크스 방정식의 해법은 노벨상도 노릴 수 있을 만한 문제이고, 마찬가지로 P-NP 문제는 튜링상도 노릴 수 있다.

응용 수학 문제는 일상 언어로 해설해 내기 훨씬 쉽다. 반면에 순수 수학 문제인 호지 추측이나 버치-스위너턴다이어 추측은 적절한 일상 언어로 표현하는 것조차 힘들다. 물론 문제를 설명하기 쉽다고 증명하기 쉬운 것은 아닌데, 예를 들어 페르마의 마지막 정리 자체는 간단하게 이해할 수 있지만[3] 그 증명이 매우 어렵다.[4] "여백이 부족해 이곳에 적지 않겠다" 라는 페르마의 발언이 사실이란 듯이 증명하는 데 필요한 A4 용지는 글자 빼곡하게 200페이지가 훌쩍 넘는다.

2018년 9월 24일, 마이클 아티야가 리만 가설을 증명했다는 주장을 한다. 그러나 마이클 아티야의 증명법을 확인한 대부분의 수학자들은 해당 증명법에 대하여 회의적인 반응을 보였으며, 차라리 미세구조상수만이라도 제대로 구했으면 의미가 있었을 거란 입장이다.

3. 여담

사실 매년 밀레니엄 문제를 풀었다는 기사가 나오지만, 클레이 연구소가 그 즉시 검증 절차를 밟는 것은 아니다. #

일단, 해당 논문에 저널의 자체 심사를 통과하여 저널에 게재가 되어야 한다.
해당 논문에 출판되고 충분한 시간(적어도 2년)이 경과해야 한다.
해당 논문이 동료 학자들에게 교차 검증을 받아, 문제가 없다는 판정을 받아야 한다.

위 조건을 모두 만족해야, 클레이 연구소에서 다시 한번 검증에 들어가고, 검증 후 문제가 없다고 판정되면 문제가 해결되었음을 선언한다.

예를 들어 그리고리 페렐만이 푸앵카레 정리에 대한 논문을 발표한 건 2002년[5]이다. 다만, arXiv에 올린거라 저널의 자체 심사는 없었다. 그리고, 전세계의 내로라하는 수학자들이 달라 붙어 검증에 돌입했는데, 거진 4년간 검증을 진행했고 1000쪽에 달하는 해설서를 작성하며, 2006년 세계수학자대회(ICM)에서 페렐만의 논문에 오류가 없음을 선언하였고, 이 해 페렐만은 필즈상 수상자로 선정되었다. 그런데, 이 비범한 천재는 필즈상을 거부했다. 클레이 연구소는 그 때가 되어서야 추가 검증에 돌입하여 수 년이 흘러 이 문제가 해결되었다고 공식적으로 선언한 시기가 2010년이다. # 논문 발표에서 최종 인증까지 8년이 걸린 것이다.

그래서, 수학자가 아닌 일반인들은 언론 기사 등에서 밀레니엄 문제를 풀었다는 기사가 나오더라도 신경 쓸 필요 없고, 빡센 검증을 통과해서 최소한 동료 학자들에게 인정받았다는 소식이 전해지고 나면 그제서야 관심을 가져도 된다.

4. 힐베르트의 23가지 문제

이것이 21세기의 문제라면, 20세기에는 힐베르트의 23가지 문제가 있었다. 독일의 수학자 다비트 힐베르트(David Hilbert)가 1900년 개최된 세계수학자대회에서 제안했다.

리만 가설은 유일하게 밀레니엄 문제와 힐베르트의 문제에 연속으로 선정되었다.

골드바흐 추측처럼 아직 해결되지 않았지만 밀레니엄 문제에는 선정되지 않은 문제도 여럿 있다.

5. 매체에서의 등장

웹소설 악당은 살고 싶다의 7대 마법적 난제를 밀레니엄 문제에서 따왔다.

울트라맨 Z에서 길바리스의 AI에게 밀레니엄 문제를 주입함으로써 잠시동안 멈추게 만든다.

블루 아카이브에 등장하는 밀레니엄 사이언스 스쿨은 밀레니엄 문제를 풀고자 하는 연구자들이 모이면서 설립된 학교란 설정이다. 본작 시점에선 그 설립 이유는 잊혀졌지만 아직까지 밀레니엄 문제는 모두 해결되지 않았다는 듯.
Chaos;HEAd에서는 작중 가상 설정으로 비공개된 8번째 문제가 있는 것으로 언급되며, 이 문제의 답인 Ir2 공식(fun¹⁰×int⁴⁰=Ir2)은 작중에서 중요한 요소로 작용한다.

어메이징 메리에서 나비에-스토크스 방정식이 주요하게 등장한다.

[1] 일설에 따르면, 페르마의 마지막 정리를 증명한 후 수많은 수학자들과 아마추어 수학자들이 새 문제를 내달라고 부탁했다고 한다. 그래서 추가된 문제가 페르마의 마지막 정리처럼 타원곡선에 연관이 깊은 버치-스위너턴다이어 추측이다. [2] 만 40세 미만이라면 받을 수 있다. 그런데 이 정도 급의 문제를 해결한다면 40세가 넘더라도 와일스 교수처럼 나이 따위 무시하고 특별상을 줄 가능성이 더 높다. [3] 중학생 수준의 수학 지식만 있으면 알아들을 수 있다. [4] 수학과 대학원에서 대수 기하학을 배워야 한다. 나온 증명 두 개만 해도 타원곡선+ 모듈러, 위상수학으로 일반인이 쉽게 접할 과목은 아니다. [5] 정확히는 2002년 부터 2003년까지 3편의 논문을 작성했다.