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최근 수정 시각 : 2022-07-23 17:37:01

양자 전기역학

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1. 개요2. 설명
2.1. 라그랑지안2.2. 양자화
3. 관련 문서

1. 개요


Quantum electrodynamics, QED
( 이 Q.E.D.가 아니다.)
양자 전기역학. 양자 역학(quantum dynamics)이 아니다. 물론 양자역학의 한 갈래가 맞긴 하지만.

리처드 파인만, 도모나가 신이치로, 쥴리안 슈윙거는 서로 각자 나름의 방법으로 양자 전기역학을 완성했고, 이 공로가 인정되어 세 사람 모두 1965년에 노벨상을 공동 수상했다. 다른 두 사람은 기존의 역학과 수학으로 양자 전기역학을 설명해 냈는데, 파인만은 경로적분이라는 자기만의 새로운 수학적 도구를 만들어 설명해 냈다고 한다. 경로적분이란, 입자들이 모든 경로를 지나간다고 가정하고 이를 모두 종합해서 계산한다고 보면 된다. 이 양자 전기역학을 통해 특수 상대성 이론 양자역학이 성공적으로 통합되었다.[1]

리처드 파인만이 쓴 동명의 책이 있다. Q.E.D.에 대한 파인만의 일반인 대상 강의를 옮긴 것인데, 경로적분같은 파인만 고유의 도구를 처음부터 써대고, 기존 물리학의 설명과는 다른 각도에서 바라보는 파인만스러운 설명이 가득한지라 물리 교양서를 읽겠단 가벼운 맘으로 덤볐다간 꽤나 곤혹스러워진다. 그렇다고 어려워서 못 읽을 책은 아닌 게, 설명이 직관적이고 단순해서 '난 바보다'라는 식으로 맘을 비우고 읽어가면 역설적으로 쉽게 이해가 된다. 여러 모로 신기한 책.

2. 설명

2.1. 라그랑지안

먼저 양자 전기(동)역학이라는 단어부터 찬찬히 뜯어보자. 이름만 놓고 보면 "전기동역학(Electrodynamics)"을 양자화(quantize)하여 얻은 이론이라는 뜻이다. 이미 고전 물리에서 완성되어 있었던 전기동역학을 양자역학 레벨로 끌어들인 것이라고 이해하면 될 것이다. 사실 고전적 전기동역학은 맥스웰 방정식이 등장하는 것으로 양자역학이 도래하기 전부터 이미 상당 부분 완성된 상태였다. 양자역학이 생기고 나서는 고전적으로 설명되던 모든 현상들을 양자적으로 설명해야 할 필요가 생겼고, 전기동역학도 예외일 수는 없었다.

앞에서 고전적 전기동역학이 상당 부분 완성되어 있다고 했는데, 이는 이미 맥스웰 방정식이 있었기에 나온 말이다. 하지만 맥스웰 방정식 만으로는 우리가 아는 전기동역학을 양자화하기 어렵다. 왜냐하면 맥스웰 방정식에는 전자기 소스(source)에 대한 구체적인 내용이 없기 때문이다. [math(j^\mu)]와 같은 단순한 (4차원) 전류 밀도 만으로는 양자화하기에 역부족이었다. 더군다나 보통 알려진 맥스웰 방정식에서 기술되는 소스는 점입자스러운 것들로만 다루는 반면, 후술하겠지만 몇몇 이유로 인해 상대론적 양자역학에서 그런 단순한 점입자스러운 대상은 취급하기가 곤란했다.

이 상황에서 소스에 해당하는 구체적인 것으로 뭐가 좋을까 생각해 보면 일단 먼저 떠오르는 것이 바로 전자일 것이다. 당시 잘 알려진 전하를 띈 입자 중 가장 만만한(?) 걸로 전자를 고를 수 있기 때문이다. 따라서 이 참에 전자도 같이 양자역학적으로, 더 구체적으로는 양자장론적으로 표현하면 좋겠다는 것이 기본적인 아이디어이다.

그래서 전자기장과 전자 각각을 기술하는 가장 기본적인 라그랑지안을 먼저 써 보도록 하자. 다음과 같다. (이 문서 전체에서 자연 단위계를 사용할 것이다.)
[math(\displaystyle \mathcal{L}_{EM} = -\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu})]

[math(\displaystyle \mathcal{L}_{matter} = i \overline{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \overline{\psi} \psi)].

여기서 [math(F_{\mu \nu})]는 전자기 응력-에너지 텐서 (electromagnetic stress-energy tensor), [math(\psi)]는 전자를 기술하는 디랙 장, [math(\gamma^\mu)]는 감마 행렬, [math(m)]은 전자의 질량이다. 참고로 [math(F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)]이다. 이들 라그랑지안들을 단순히 합치기만 하는 것을 생각할 수도 있겠지만 그러면 이 전자기장과 전자는 아무런 상호작용도 하지 않을 것이다. 우리가 원하는 모습을 만들기 위해 다음과 같은 추가항을 넣어주자.
[math(\displaystyle \mathcal{L}_{int} = -e A_\mu \overline{\psi} \gamma^\mu \psi)].

이들을 전부 합치면 전자의 전기동역학을 기술하는 라그랑지안이 다음과 같게 됨을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \mathcal{L} = \mathcal{L}_{matter} + \mathcal{L}_{int} + \mathcal{L}_{EM} = i \overline{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \overline{\psi} \psi -e A_\mu \overline{\psi} \gamma^\mu \psi - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu})].

조금 더 정리하여 다음과 같이 쓰도록 하자.
[math(\displaystyle \mathcal{L} = i \overline{\psi} \gamma^\mu ( \partial_\mu + ieA_\mu) \psi - m \overline{\psi} \psi - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu})].

이렇게 해서 양자 전기역학을 위한 라그랑지안을 손에 넣었다.[2] 하지만 이건 준비 단계일 뿐이다. 사실 지금까지 나온 내용들 중에서 양자역학 내용은 단 하나도 나오지 않았다. 혹자는 디랙 장을 써 놓고서 무슨 말을 하는 거냐고 할텐데, 디랙 방정식에서 서술되었다시피 현대적인 해석으로 따질 때 디랙 장 그 자체는 고전물리에 속할 수 있다. 여기다 양자화 같은 걸 끼얹어줘야 비로소 '양자' 전기역학이 되는 것이다. 다음 내용에서는 이렇게 주어진 라그랑지언을 가지고 어떻게 양자화할 것인가를 기술할 것이다.

2.2. 양자화


3. 관련 문서




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[1] 하지만 일반 상대성 이론은 포함이 안 되었다. 시공간의 휘어짐까지 양자역학에 고려하는 것은 당시는 물론 지금도 제대로 하고 있지 못 하고 있는 것이다. [2] 다만 여기까지 오기 위한 상당히 많은 스토리들이 생략되었다. 일단 추가항에 대한 설명이 매우 부실하고 (특히 게이지 대칭성에 대한 이야기가 빠졌다), 왜 라그랑지안들이 저렇게 생겨먹어야 하는지에 대한 설명이 빠졌다. 물론 저것들을 제대로 이해하려면 상대성 이론을, 그것도 4-벡터와 텐서 등으로 표현되는 로런츠 변환에 대한 가장 널리 쓰이는 포멀리즘(formalism)을 먼저 배워야 할 것이다. 그래도 나무위키 내에서 상대론적 전자기학, 디랙 방정식, 게이지 장 등을 읽으면 개괄적인 내용들을 접할 수 있을 것이다.